精品解析：河南洛阳市洛宁县2025-2026学年第二学期期中学情调研九年级数学试题

2025-2026学年第二学期期中学情调研九年级 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，3大题23小题；时间100分钟，满分120分；闭卷考试． 2．本试卷设有答题卡，请将答案写涂在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 四个有理数，0，，4，其中最小的有理数是（ ） A. B. 0 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ，，， ∴ ， ∴ 四个数中最小的有理数是． 2. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键． 根据俯视图是从物体的上面看得到的图形即可解答． 【详解】解：由题意可得，从物体上面看到的图形如下： 故选：C． 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式；根据整式的加减，同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：A． ，故错误； B． ，故错误； C． ，故正确； D． ，故错误； 故选：C． 6. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及满足两个实数根的条件，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系． 一元二次方程有两个实数根需满足判别式且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，且， 即，解得， ∴且． 故选：C． 7. 如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接CD， 因为， 所以CD为直径， 在Rt△OCD中，CD=6，OC=2， 根据勾股定理得OD=4 所以tan∠CDO=， 由圆周角定理得，∠OBC=∠CDO， 则tan∠OBC=， 故选C． 8. 如图，线段，连接，交于点C，若，，，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】证明，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， 解得． 9. 小亮和小新准备在篮球和足球两种课程里各随机选择一门进行选修，则两人恰好选择同一门选修课程的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先列出所有等可能的选择结果，找出两人选同一课程的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】记篮球为，足球为， 根据题意，小亮和小新所有等可能的选择结果为，共种， 其中两人恰好选择同一门课程的结果为，共种， ， 两人恰好选择同一门选修课程的概率为． 10. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数图象先求出函数解析式，再结合图象逐项判断即可得解． 【详解】解：设：浸在液体中的高度关于液体的密度的反比例函数解析式为， 将代入可得， 反比例函数解析式为， 根据反比例函数图象可得： 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 当液体密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误，不符合题意； 根据反比例函数图象可得，浸在液体中的高度随着液体密度变大而变小， 当浸在液体中的高度时，该液体的密度， 选项说法正确，符合题意； 根据反比例函数图象可得， 当液体的密度时，浸在液体中的高度， 选项说法错误 ，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，解题关键是结合反比例函数图象解题． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 二次根式有意义，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 12. 不等式组的整数解有__________个． 【答案】3 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集中的整数，统计个数即可． 【详解】解：解不等式， 移项得； 解不等式， 移项得， 因此原不等式组的解集为， 满足的整数为，共个． 13. 如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得到，根据平行四边形的性质，推出是的中位线，进而得到，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵点F为的中点， ∴； 故答案为：4． 14. 如图，在中，，点O在上，与相切，切点分别为点D，E．若，则阴影部分的面积为______． 【答案】π 【解析】 【分析】连接与交于点F，证明四边形为正方形，得到，再证，则，可得，由即可得到答案． 【详解】连接与交于点F， ∵与相切， ∴，， 又∵，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了不规则图形面积，用到了扇形面积公式、切线的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，转化思想是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，．点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D的对应点恰好落在直线上，则的长为_________． 【答案】4或16 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质． 分点Q在线段上，由翻折得；和点在的延长线上，由翻折得，两种情况讨论，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：①当点Q在线段上时，如图1， 四边形是矩形， ， ． 由翻折得， ． ． 在中，， ． ②当点在的延长线上时，如图2， 四边形是矩形， ， ． 由翻折得， ， ． 在中，， 综上所述，的长度为4或16 故答案为：4或16． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）5；（2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，立方根，负整数指数幂，分式的加减乘除混合运算，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． （1）根据零指数幂公式，立方根，负整数指数幂公式计算，解答即可． （2）根据分式的加减乘除混合运算计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17. 计算能力是数学的基本能力，为了进一步了解学生的计算情况，初2020级数学老师们对某次考试中第19题计算题的得分情况进行了调查，现分别从A、B两班随机各抽取10名学生的成绩如下： A班10名学生的成绩绘成了条形统计图，如下图， B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：9，8，9，10，9，7，9，8，10，8 经过老师对所抽取学生成绩的整理与分析，得到了如下表数据： A班 B班 平均数 8.3 a 中位数 b 9 众数 8或10 c 极差 4 3 方差 1.81 0.81 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全条形统计图； （2）直接写出表中a，b，c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （3）根据以上数据，你认为A、B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由（写出其中两条即可）：　 　． （4）若9分及9分以上为优秀，若A班共55人，则A班计算题优秀的大约有多少人？ 【答案】（1）见解析；（2）8.7，8， 9；（3）B班计算题掌握的更好，理由见详解；（4）A班计算题优秀的大约有22人． 【解析】 【分析】（1）先根据A班的总人数求出成绩为 10分的人数，然后即可补全条形统计图 ； （2）利用平均数的公式和中位数，众数的概念求解即可； （3）通过对比两班的平均数，中位数，众数，极差和方差即可得出答案； （4）用总人数55乘以优秀人数所占的百分比即可得出答案． 【详解】（1）成绩为10分的人数＝10﹣1﹣2﹣3﹣1＝3， 补全条形统计图如图所示， （2）a＝（9+8+9+10+9+7+9+8+10+8）＝8.7； 中位数是将A班的10个成绩按照从小到大的顺序排列之后处于中间位置的数，此时第5个数和第6个数都是8，所以 ； 众数为B班成绩中出现次数最多的数，可以看出9出现了4次，次数最多，所以c＝9； （3）B班学生计算题掌握得更好，理由： B班的平均分高于A班，B班的中位数高于A班； （4）55×＝22人， 答：A班计算题优秀的大约有22人． 【点睛】本题主要考查数据的分析与整理，掌握平均数，中位数，众数的求法是解题的关键． 18. 如图，已知一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P为x轴上一动点，且的值最小． ①画出点P的位置，并直接写出点P的坐标； ②求出此时的面积． 【答案】（1）， （2）①，图见解析；②1 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称最短路线问题，三角形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得点的坐标，作出点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，此时的值最小，为线段的长度；②利用轴对称的性质，利用即可求得． 【小问1详解】 解：一次函数 与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点， ，， ，， 一次函数为，反比例函数为； 【小问2详解】 解：①令，则， ， 点关于轴的对称点，连接如图，点即为所求， 设直线为， 代入点得，， 解得， 直线为， 令，则， 解得， ； ②， ． 19. 如图，是矩形的对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作点关于的对称点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，交于点．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）按作过外一点的垂线的尺规作图方法作出的垂线，垂足为O，再以O为圆心，在射线上的另一侧截取，即得点关于的对称点； （2）由线段垂直平分线的性质得，由等腰三角形的性质得；再由矩形的性质及平行线的性质即可得，从而证得结论成立． 【小问1详解】 解：如图所示，点E即为所求．（作法不唯一） 【小问2详解】 证明：由对称的性质，可知垂直平分线段， ∴． ∴． ∵四边形为矩形， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线，对称的性质，垂直平分线的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，正确作图是解题的关键． 20. 数学活动课上，某课题学习小组把“测量运江河床的宽度”作为一项课题活动，并设计了以下测量方案： 课题 测量运江河床的宽度 测量工具 无人机、测角仪 方案 水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得河流右岸处的俯角为30° 无人机距地面的铅直高度 米 测量示意图 说明 点、、在同一条直线上， 参考数据\ 请你根据上表中的测量数据，求运江河床的宽度．（精确到1米） 【答案】运江河床的宽度约为米 【解析】 【分析】过点B作于点E，则四边形为矩形，解，求得，解，求得，根据，即可求解． 【详解】解：如解图，过点B作于点E，则四边形为矩形， ∴米，米， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴米． 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴ （米）， 答：运江河床的宽度约为米． 21. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 22. 图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 【答案】（1） （2）不能 （3）米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出当时y的值，再与的长进行比较即可得到结论； （3）先求出直线的解析式为．作直线轴，交抛物线于点，交直线于点，设点，则点的坐标为，求出的最大值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将点代入到中得， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∵，， 石块不能飞越防御墙． 【小问3详解】 解：由题意可知点的坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， 直线的解析式为． 如图，作直线轴，交抛物线于点，交直线于点， 设点，则点的坐标为， ， 当时，有最大值，最大值为， 在竖直方向上，石块飞行时与坡面的最大距离是米． 23. 背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为可以构造相似三角形来证明．小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得． （1）证明：请参照小红提供的思路，利用图2证明 （2）运用：如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长． （3）拓展：如图4，是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，则线段的长为 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据材料提示，证明，即可求解； （2）由（1）的结论可得，，根据平行线分线段成比例即可求解； （3）根据等弧所对圆周角相等可得是角平分线，根据（1）中的结论可得的值，设，用含的式子分别表示出长，根据直径所对圆心角为直角，运用勾股定理可得的值，由此可求出的长，再证，在中，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：是的角平分线， ． 为的中点， ． ， ， ，，． 平分，． ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ∵是半圆的中点， ∴， ∴，即平分， 由（1）的结论可得，， 设，则，， ∴，则， ∵是直径， ∴，则， 在中，， ∴，则， ∴，， ∵， ∴，即， 在中，． ∴线段的长为：． 【点睛】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，直径所对圆周角为直角，勾股定理求线段长等知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中学情调研九年级 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，3大题23小题；时间100分钟，满分120分；闭卷考试． 2．本试卷设有答题卡，请将答案写涂在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 1. 四个有理数，0，，4，其中最小的有理数是（ ） A. B. 0 C. D. 4 2. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首诗《苔》．若苔花的花粉直径约为，用科学记数法表示，则为（ ） A. B. C. 5 D. 6 4. 如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 7. 如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（ ） A. B. 2 C. D. 8. 如图，线段，连接，交于点C，若，，，则线段的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6 9. 小亮和小新准备在篮球和足球两种课程里各随机选择一门进行选修，则两人恰好选择同一门选修课程的概率是（ ） A. 1 B. C. D. 10. 综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 二次根式有意义，则的取值范围是__________ 12. 不等式组的整数解有__________个． 13. 如图，在中，对角线交于点O，，点E、F分别为的中点，连接，若，则______． 14. 如图，在中，，点O在上，与相切，切点分别为点D，E．若，则阴影部分的面积为______． 15. 如图，在矩形中，，．点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D的对应点恰好落在直线上，则的长为_________． 三、解答题：（本题共8小题，共75分．） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 计算能力是数学的基本能力，为了进一步了解学生的计算情况，初2020级数学老师们对某次考试中第19题计算题的得分情况进行了调查，现分别从A、B两班随机各抽取10名学生的成绩如下： A班10名学生的成绩绘成了条形统计图，如下图， B班10名学生的成绩（单位：分）分别为：9，8，9，10，9，7，9，8，10，8 经过老师对所抽取学生成绩的整理与分析，得到了如下表数据： A班 B班 平均数 8.3 a 中位数 b 9 众数 8或10 c 极差 4 3 方差 1.81 0.81 根据以上信息，解答下列问题． （1）补全条形统计图； （2）直接写出表中a，b，c的值：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　； （3）根据以上数据，你认为A、B两个班哪个班计算题掌握得更好？请说明理由（写出其中两条即可）：　 　． （4）若9分及9分以上为优秀，若A班共55人，则A班计算题优秀的大约有多少人？ 18. 如图，已知一次函数与轴交于点，与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点P为x轴上一动点，且的值最小． ①画出点P的位置，并直接写出点P的坐标； ②求出此时的面积． 19. 如图，是矩形的对角线． （1）请用无刻度的直尺和圆规作点关于的对称点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，交于点．求证：． 20. 数学活动课上，某课题学习小组把“测量运江河床的宽度”作为一项课题活动，并设计了以下测量方案： 课题 测量运江河床的宽度 测量工具 无人机、测角仪 方案 水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得河流右岸处的俯角为30° 无人机距地面的铅直高度 米 测量示意图 说明 点、、在同一条直线上， 参考数据\ 请你根据上表中的测量数据，求运江河床的宽度．（精确到1米） 21. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 22. 图1是某种发石车，这是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点米时达到最大高度米．将发石车置于山坡底部处，山坡上有一点，点与点的水平距离为米，与地面的竖直距离为米，是高度为米的防御墙．若以点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式． （2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙． （3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面的最大距离． 23. 背景：在数学综合实践活动中，小明利用等积法得到了关于三角形角平分线的一个结论，如图1，已知是的角平分线，可证．小红经过思考，认为可以构造相似三角形来证明．小红的证明思路是：如图2，过点B作，交的延长线于点E，从而证得． （1）证明：请参照小红提供的思路，利用图2证明 （2）运用：如图3，是的角平分线，M是边的中点，过M点作，交的延长线于点N，交于点G．若，，求线段的长． （3）拓展：如图4，是的外接圆，是直径，点D是半圆的中点，连接交于点E．若，，则线段的长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $