10 临界状态的不唯一形成的多解问题-2026届高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习

**基本信息** 聚焦电磁学临界状态多解问题，通过10道压轴题系统构建“临界条件分析-几何关系建模-多解逻辑推导”方法体系，强化科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |临界状态多解问题|10道综合题|临界轨迹相切分析、多解成因（周期性/半径变化）、几何关系与物理公式融合|洛伦兹力提供向心力→轨迹半径/周期公式→临界条件下多解拓展，体现运动与相互作用观念|

10 临界状态的不唯一形成的多解问题-2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】 一、解答题 1．如图所示，在平面直角坐标系xOy内有一直角三角形，其顶点坐标分别为（0，0），（0，d），（d，0），三角形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，x轴下方有沿着y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。一质量为m、电荷量为-q的粒子从y轴上的某点M由静止释放，粒子第一次进入磁场后恰好不能从直角三角形的斜边射出，不计粒子重力。 （1）求M点到O点的距离； （2）改变粒子在y轴上的释放点，使粒子由N点静止释放后能沿垂直于直角三角形斜边的方向射出磁场，求N点到O点的距离； （3）在（2）过程中，求粒子从N点由静止释放到射出磁场的运动时间。 2．如图所示，纸面内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，纸面内存在一半径为的圆形区域，圆心为，该区域内无磁场。处有一装置，可在纸面内垂直方向向上发射速率不同的带负电粒子，粒子质量为，电荷量的绝对值为，、间的距离为，不计粒子重力和粒子间的相互作用，。 （1）若粒子打不到圆形区域边界上，求粒子发射速率的范围； （2）求能经过圆心的粒子从发射到第一次经过圆心的时间。 3．如图所示，以OP为分界线将直角MON分为区域Ⅰ和Ⅱ，区域Ⅰ内存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域Ⅱ内存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为2B的匀强磁场，OP与OM间的夹角为30°。一质量为m、带电量为的粒子从分界线上的P点以速度v、沿与分界线OP成60°角的方向射入区域Ⅰ，在区域Ⅰ偏转后直接从O点离开磁场区域，不计粒子的重力。 （1）求OP之间的距离； （2）若粒子从P点射入的速度方向不变，大小可以改变，要使粒子仍从O点离开磁场区域，求粒子射入时速度大小的可能值。 4．在科学研究中，可以通过施加适当的磁场来实现对带电粒子运动的控制。在如图所示的平面坐标系xOy内，以坐标原点O为圆心，半径为d的圆形区域外存在范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子从P（0，）点沿y轴正方向射入磁场，当入射速度为v0时，粒子从a（，）处进入无场区射向原点O，不计粒子重力。求： （1）磁场的磁感应强度B的大小； （2）粒子离开P点后经多长时间第一次回到P点； （3）若仅将入射速度变为3v0，则粒子离开P点后运动多少路程经过P点。 5．如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于平面向外，大小为B，沿x轴放置一个垂直于平面的较大的荧光屏，P点位于荧光屏上，在y轴上的A点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m、电荷量的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，P点处在亮线上，已知，求： (1)若能打到P点，则粒子速度的最小值为多少？ (2)若能打到P点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？ 6．将电容器的极板水平放置分别连接在如图所示的电路上，改变滑动变阻器滑片的位置可调整电容器两极板间电压。极板下方三角形区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，其中，底边平行于极板，长度为L，磁感应强度大小为B。一粒子源O位于平行板电容器正中间位置，可产生无初速度、电荷量为的粒子，在粒子源正下方的极板上开一小孔F，在同一直线上且垂直于极板。已知电源电动势为E，内阻忽略不计，滑动变阻器电阻最大值为R，粒子重力不计，求： (1)当滑动变阻器滑片调节到最上端时，粒子从小孔F射出的速度； (2)调整两极板间电压，粒子可从边射出。若使粒子从三角形直角边射出且距离C点最远，两极板间所加电压应是多少。 7．静止电荷在其周围空间产生的电场，称为静电场；随时间变化的磁场在其周围空间激发的电场称为感生电场。如图1所示，在纸面内以O为圆心、半径为a的圆形区域内，分布着垂直纸面向里的磁场，磁感应强度B的大小随时间均匀增加，变化率为k。该变化磁场激发感生电场，距圆心r处的电场强度大小分布满足如下关系：。电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备。一种电子感应加速器的简化模型如图2所示，空间存在垂直纸面向里的磁场，在以O为圆心，半径小于r0的圆形区域内，磁感应强度B1=k1t，在大于等于r0的环形区域内，磁感应强度B2=k2t，其中k1、k2均为正的定值。电子能在环形区域内沿半径等于r0的圆形轨道运动，并不断被加速。 a．分别说明B1、B2的作用； b．推导k1与k2应满足的数量关系。 8．为了研究行星的磁场对宇宙高能粒子及行星生态环境的作用，研究小组研究建立了以下模型。如图所示，在圆心为、半径为R的接地的金属圆柱外，有一个匀强磁场均匀的分布在半径为R、2R的两边界Ⅰ、Ⅱ之间的圆环区域内，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B（未知）。在磁场左侧有一长为4R的带状粒子源，中点为，可以放出速度大小为v0、方向平行O1O2连线的带正电粒子。带电粒子沿线均匀分布，每单位时间放出的粒子数为n0已知带电粒子的比荷为，不计重力及任何阻力。 （1）若从O2点放出的粒子，恰好能被金属圆柱接收到，求磁感应强度B； （2）若，求圆柱在单位时间内接收到的粒子数； （3）若，在边界Ⅱ上安放探测器来统计离开磁场的粒子数，请指出探测器能探测到粒子时所处的位置，并计算探测器单位时间内探测到的粒子数n2 9．原子核碰撞是实现核反应的有效途径，其原理简化为如图1所示的模型。原子核A、C处在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，A原子核从y轴上的P孔水平向左射入磁场，经过半圆弧到达O点与从第四象限某个位置（未画）同时射入的C原子核发生正碰，恰能发生核反应。已知A原子核的质量为M、电荷量为Q，C原子核的电荷量为q，射入磁场时两核的动量大小相等，OP间距为2R，核反应的阈能为W（阈能∶刚好能够使得A、C两原子核结合在一起的最小能量）。不考虑因磁场变化而产生的影响和两原子核在磁场中运动的静电作用力。求； （1）C核的质量和速度的大小； （2）初始时刻，C核的位置以及速度与x轴的夹角； （3）若让x轴上方的磁场按图2所示B-t图像变化，B垂直纸面向里为正方向，当t=0时，原子核C恰好到达O点。只让C原子核从原处射入，要使C原子核从P孔水平向右射出，试确定x轴上方的磁场B0的大小和周期T。 10．为了使粒子经过一系列的运动后，又以原来的速率沿相反方向回到原位置，可设计如下的一个电磁场I区域（如图所示）：水平线QC以下是水平向左的匀强电场，区域I（梯形PDCQ）内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，区域II（三角形APD）内的磁场方向与I内相同，但是大小可以不同，区域III（虚线PD之上、三角形APD以外）的磁场与II内大小相等、方向相反。已知等边三角形AQC的边长为2L，P、D分别为AQ、AC的中点。带正电的粒子从Q点正下方、距离Q点为L的O点以某一速度射出，在电场力作用下从QC边中点N以速度vo垂直QC射入区域I，再从P点垂直AQ射入区域III，又经历一系列运动后返回O点（粒子重力忽略不计）。求： （1）该粒子的比荷； （2）粒子在电场中运动的时间t0； （3）粒子从O点出发再回到O点的整个运动过程所需时间。 11．如图所示，正方形区域CDEF边长为L，该区域内无磁场，区域外MN上方存在垂直于纸面向外匀强磁场，MN下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，两匀强磁场磁感应强度大小均为B。磁场边界CD中点P处有一质子源，垂直于CD以某一速率向磁场发射质子。已知质子质量为m、电荷量为q，重力不计。 （1）质子速度多大时能从DE边垂直射入正方形区域？ （2）若质子源依次向外发射的速率为（2n-1）v₀，已知，（n为发射质子的次数，数值取1，2，3…），且前一个质子返回至出口处时，恰能与后一个发出的质子发生完全非弹性碰撞，碰撞前后质子电荷量保持不变，求第n个质子与第n+1个质子发射的时间间隔。（结果用L、v₀表达）。 12．在xOy平面的第I、II象限内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1T，在x轴上P点有一放射源，将质量为kg电荷量为C的带正电粒子，以速率在纸面内沿各个方向射入磁场，已知P到O点的距离为，不计粒子重力。求 （1）垂直x轴射入磁场的粒子从y轴射出的位置与O点的距离； （2）能从O点射出的粒子在磁场中运动的时间（结果保留两位有效数字）。 13．如图甲是一种利用磁场约束离子运动的装置原理图，内、外半径分别为R和3R的圆筒共轴放置，轴线水平，在轴线正下方是一对平行金属板，上板正中间的小孔a与外筒正中间的小孔b在通过轴线的同一竖直线上，a、b间距离为d、两筒之间分布着以轴为圆心的同心磁场，各处磁感应强度大小近似相等，磁感应强度为B，从右往左看截面如图乙所示。在平行板下板中央的一个质量为m、电量为e的氢离子（）从静止加速经小孔a从小孔b进入磁场，在磁场中的轨迹恰好与内筒下边缘相切；一段时间后调节板间电压为原来的2倍，并让一个氘核（）在下极板同一位置从静止加速也进入磁场。已知离子与筒壁正碰后均原速反弹且碰撞时间极短，离子与筒壁接触其电荷量不变，筒壁光滑，忽略离子间的相互作用和它们在平行板间加速的时间。 （1）求加速氢离子时平行板间的电压U多大； （2）分析氘核是否与内筒壁碰撞，如果与内筒壁碰撞，求它与内筒壁第一次碰撞的点P（未在图中画出）与小孔b的水平距离s的大小； （3）若氢离子第一次与筒左侧壁垂直碰撞后沿直线返回，运动到P点时与氘核相遇，筒长，求氢、氘核释放的时间间隔。 14．正负电子对撞机是一个使正负电子产生对撞的设备，如图所示为一种使高能正负电子在不同位置对撞的装置。在关于y轴对称的间距为2d的MN、PQ之间存在两个有界匀强磁场，其中平行于x轴的JK下方Ⅰ区域磁场垂直纸面向外，JK上方Ⅱ区域磁场垂直纸面向里，其磁感应强度大小均为B。在x轴上有两台直线加速器1和2，关于y轴对称，且末端刚好与MN、PQ对齐。质量为m、电荷量为e的正、负电子通过直线加速器加速后同时以相同速率垂直MN、PQ进入磁场。为实现正、负电子在Ⅱ区域的y轴上实现对心碰撞（速度方向刚好相反），根据入射速度的变化，可调节JK与x轴之间的距离h，不计粒子间的相互作用及正、负电子的重力。 (1)正、负电子同时以相同速度进入磁场，仅经过直线JK一次，然后在Ⅱ区域发生对心碰撞，试通过计算求出的最小值； (2)正、负电子同时以速度进入磁场，求正、负电子在Ⅱ区域y轴上发生对心碰撞的位置离O点的距离。 15．如图所示为一质谱仪的结构简图，正对着竖直放置的两块平行金属板、间电压可以调节，相距为，、分别为、板上的小孔，、、三点共线，它们的连线垂直、，且，以为圆心、为半径的圆形区域内存在磁感应强度为、方向垂直纸面向外的匀强磁场，圆弧为记录粒子位置的胶片，上各点到点的距离以及两端点间的距离都为，两端点的连线垂直、板，粒子经进入、间的电场后，通过进入磁场，粒子在处的速度和粒子所受的重力均不计。 （1）当、间的电压为时，粒子恰好打在上的中点，求该粒子的荷质比； （2）已知一质量为的粒子恰好打在的最右侧端点，在相同的加速电压下，该粒子的一个同位素粒子恰好打在的最左侧端点，求这个同位素粒子的质量； （3）已知一质量为、带电量为的粒子从进入电场，当、间的电压不同时，粒子从到打在上经历的时间会不同，求的最小值。 16．如图所示，直线上方有垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，下方有平行于纸面的匀强电场（方向未知）。质量为m、带电量为（）的粒子1在纸面内以速度从O点射入磁场，其射入方向与的夹角；质量为m、带电量为（）的粒子2在纸面内以速度，也从O点射入磁场，其射入方向与的夹角，不计粒子重力及粒子间相互作用力对粒子运动的影响。 （1）若粒子1和2分别到达磁场边界的A、D两点（图中未画出），求粒子2在磁场中运动时加速度的大小和离边界的最大距离。 （2）若粒子1和2能在磁场中相碰，并假设相碰后结为一体（总质量和电荷量不变），求两个粒子进入磁场的时间间隔和相碰后在时间t内的路程。 （3）使粒子1的发射点在边界上向左平移，粒子2还从O点发射，两粒子发射速度大小和方向不变，已知粒子1和粒子2先后发射，两粒子恰在电场中相碰，且从发射到相碰的时间差是，其中粒子1在电场中做直线运动。求该电场的电场强度。 17．如图所示，在竖直平面内有两个同心圆，圆心在点，小圆内部区域Ⅰ和两圆之间的环形区域Ⅱ均存在匀强磁场（图中未画出），Ⅰ、Ⅱ区域磁场磁感应强度大小分别为、，已知Ⅰ区域磁场方向垂直竖直平面向外，带正电的粒子从点竖直向上射出，粒子质量为、电荷量为、速度大小为，粒子射出小圆区域时，速度方向斜向上且与水平方向的夹角为，不计粒子重力和粒子间相互作用。 (1)若仅已知Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面，方向向里或向外时为使粒子都能回到点，求大圆半径的最小值； (2)若Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面向外，粒子从点射出能回到点且速度方向竖直向下，此过程中的轨迹长度最短为多少； (3)若Ⅱ区域磁场方向垂直竖直平面向外，另有一粒子质量为、电荷量为、速度大小为，粒子从点竖直向上射出的同时，粒子从点竖直向下射出，求，两粒子从点出发到在过点的水平直径上相遇所经过的最短时间（不考虑、在其他位置相遇）。 18．如图甲所示，某多级直线加速器由横截面相同的金属圆板和4个金属圆筒依次排列组成，圆筒的两底面中心开有小孔，其中心轴线在同一直线上，相邻金属圆筒分别接在周期性交变电压的两端。粒子从圆板中心沿轴线无初速度进入加速器，在间隙中被电场加速（穿过间隙的时间忽略不计），在圆筒内做匀速直线运动。若粒子在筒内运动时间恰好等于交变电压周期的一半，这样粒子就能“踏准节奏”在间隙处一直被加速。粒子离开加速器后，从0点垂直直线边界OP进入匀强磁场区域I，OP距离为a，区域I的PO、PQ两直线边界垂直。区域I的上边界PQ与匀强磁场区域Ⅱ的下直线边界MN平行，其间距L可调。现有质子和氚核（含有1个质子和2个中子）两种粒子先后通过此加速器加速，加速质子的交变电压如图乙所示，图中、T已知。已知质子的电荷量为q、质量为m，质子和中子质量视为相等，两区域的匀强磁场方向均垂直纸面向里，磁感应强度大小为。不计一切阻力，忽略磁场的边缘效应。求： （1）金属圆筒1与金属圆筒4的长度之比l1：l4； （2）加速氚核时，若交变电压周期仍为T，则需要将图乙中交变电压调至原来的几倍；加速后，氚核在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径r等于多少； （3）为使上述先后通过此加速器的质子与氚核在匀强磁场Ⅱ中的运动轨迹无交点（只考虑两种粒子第一次进入匀强磁场Ⅱ中的运动轨迹），两磁场间距L的取值范围。 19．如图所示，xOy平面内、区域存在两个有界匀强磁场，右边界与x轴的交点为Q，x轴上方磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为3B，x轴下方磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为2B。质量为m、电荷量为的粒子，从y轴上P点以初速度沿x轴正方向射入磁场，大小可调，P点的纵坐标为d。不计粒子重力，，。 (1)若，求粒子第二次经过x轴位置的横坐标； (2)求粒子从左边界射出时的位置与P点的最大距离L； (3)若在范围内，求粒子从P点运动到Q点的最短时间t。 20．如图所示，在xOy平面内，有圆心为O、半径为L的圆形区域，圆形区域内无磁场，圆形区域外存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为＋q的粒子位于坐标为（0，2L）的P点，粒子的重力忽略不计。 (1)若该粒子沿y轴正方向从P点射出且不进入圆形区域，求粒子速度大小范围； (2)若该粒子沿x轴正方向从P点射出，经磁场后恰能经过O点，求粒子速度大小； (3)若该粒子沿x轴正方向从P点射出且不进入圆形区域，求粒子速度大小范围； (4)若该粒子沿x轴正方向以速率从P点射出，且能够再次回到P点，求该粒子从出发到再次过P点所经历的时间t和路程s。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《10 临界状态的不唯一形成的多解问题-2026年高考物理电磁学二轮压轴计算题专题复习【难点突破】》参考答案 1．（1）；（2）（n=0，1，2…）；（3）（n=0，1，2，…） 【详解】（1）设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R0，由几何关系可知 解得 由牛顿第二定律得 设M点到O点的距离为y0，由动能定理得 解得 （2）要使粒子由N点静止释放后能沿垂直于斜边的方向射出磁场，则粒子在磁场中运动轨迹的半径R满足： 由牛顿第二定律得 设N点到O点的距离为y，由动能定理有 解得 （n=0，1，2…） （3）设粒子在电场中的加速度为a，则 qE=ma 设粒子在电场中每单程的运动时间为t0，则 粒子在电场中总的运动时间t1=(2n+1）t0（n=0，1，2，…） 解得 粒子在磁场中做圆周运动的周期 粒子在磁场中总的运动时间 （n=0，1，2，……） 解得 （n=0，1，2，…） 粒子从N点由静止释放到射出磁场运动的总时间 （n=0，1，2，……） 2．（1）或；（2） 【详解】（1）能射入圆形区域的粒子速度最小时，粒子运动轨迹与圆形区域的左侧相切，速度最大时，粒子运动轨迹与圆形区域的右侧相切，运动轨迹如图甲所示 根据几何知识可知轨迹半径分别为 ， 粒子在磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有 解得对应的速度分别为 ， 若粒子打不到圆形区域边界上，则粒子速率的范围 或 （2）粒子进入圆形区域后能经过圆心，说明粒子到达圆形边界处时速度方向指向圆心，运动轨迹如图乙所示，设粒子轨迹半径为 由几何关系有 解得 又由 可得 根据几何关系可知 解得 则粒子在磁场区域的运动轨迹对应的圆心角为127°，粒子在磁场中运动的周期为 则粒子从发射到第一次经过点的时间为 解得 3．（1）（2） 【详解】（1）根据牛顿第二定律 得 粒子运动轨迹如图 OP长度为 （2）粒子从点离开一定是从区域Ⅰ与相切离开磁场区域，故 根据几何关系 即 ， 解得 4．（1）；（2）；（3）①，其中1、2、3…，②，其中0、1、2、3… 【详解】（1）粒子的运动轨迹如图所示 由题条件可判断粒子做圆周运动半径为 粒子在磁场中 解得 （2）粒子运动轨迹如图示 粒子在磁场中运动时间 粒子在磁场中运动周期为 粒子在无场区运动时间 粒子再次回到P点时间 联立方程，解得 (3)粒子运动轨迹如图所示 粒子速度变为，则在磁场中运动半径为 由P点出发后第一个圆弧的弧长 无磁场区圆的直径长度 ①粒子以沿y轴正向经过P，粒子运动路程 ，其中k=1、2、3… ②粒子以大小沿方向经过P ，其中k=0、1、2、3… 代入得 ，其中k=0、1、2、3… 5．(1)；(2) 【分析】(1)粒子在磁场中洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，当半径最小时，对应的粒子的速度最小。在各种轨迹中，最小的直径是。再根据牛顿定律求出最小的速度。 (2)能打到P点，当轨迹所对的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长。当粒子沿y轴正方向射出，恰好打在P点时，时间最长。 【详解】(1)设粒子的速度大小为v时，其在磁场中的运动半径为R，则由牛顿运动定律有 若粒子以最小的速度到达P点时，其轨迹一定是以为直径的圆（如图中圆所示），由几何关系知 则粒子的最小速度 (2)粒子在磁场中的运动周期 设粒子在磁场中运动时其轨迹所对应的圆心角为，则粒子在磁场中的运动时间为 由图可知，在磁场中运动时间最长的粒子的运动轨迹如图中圆所示，此时粒子的初速度方向竖直向上，由几何关系有 则粒子在磁场中运动的最长时间 【点睛】电荷在匀强磁场中做匀速圆周运动，关键是画出轨迹，由几何知识求出半径。定圆心角，求时间。 6．(1)；(2) 【详解】(1)当滑动变阻器调到到最上端时，两极板间电压为 设粒子加速电压为，则有 由动能定理可得 解得 (2)粒子在磁场中做匀速圆周运动，与相切，设轨道半径为r，由几何关系得 由牛顿第二定律可知 设两极板间电压为，由动能定理得 解得 7．a. B1的作用是产生感生电场，使电子加速； B2的作用是为电子做圆周运动提供向心力；b. 【详解】a．B1的作用是产生感生电场，使电子加速，B2的作用是为电子做圆周运动提供向心力； b．电子在轨道运动的瞬时速度为v，电子的质量为m，电荷量为e，由牛顿第二定律得 经极短时间 综上得 8．（1）；（2）；（3） 【详解】(1)设O2点放出的粒子在磁场中做圆周运动的半径为r1，轨迹如图所示 轨迹刚好与圆柱相切，由勾股定理得 得 因此由 得 （2）当，粒子运动半径R由几何关系知，刚好与圆柱相切的粒子的轨迹圆的圆心在边界Ⅱ上 而且沿最下方与磁场相切进入的粒子最容易被圆柱接受到，故粒子入射的位置在O1O2连线以下处，由上分析知，圆柱在单位时间内接收到的粒子数 （3）在时，粒子的轨迹圆半径为2R，我们已知，当圆柱体不存在时，粒子将全部聚焦在圆心O1正上方的边界Ⅱ上的点，因此探测器应放边界上圆心O1正上方处，由于圆柱体的存在，部分粒子将打在圆柱体上，现讨论如下两种临界情况： ①粒子的轨迹圆与圆柱体外切，画出外切时的轨迹图 设图中水平、竖直两端长度为x、y，由几何关系得 可求得 最上面的7/4R范围的粒子可以被探测到 ②粒子的轨迹圆与圆柱体内切，由作图知 如图虚线O1CD部分有一个两邻边长为2R的等腰三角形，O1E为CD的垂线，三角形O1CD的面积 可求得 最下面1/4R范围的粒子可以被探测到，探测器单位时间内探测到粒子总数为 9．（1）；（2）第一种情况∶，，；第二种情况∶，，（3）  (n=0、1、2、3…)；  (n= 0、1、2…) 【详解】（1）根据 可得 因为损失的机械能等于阈能 解出 又根据动量守恒 求出 （2）假设C核在第四象限的位置为E（x，-y）点，因为在O点速度方向水平向左，其圆心坐标可设为E1（0，-r）。分为两种情况，如图所示 第一种情况，设EE1连线与y轴夹角为a，根据几何关系，可得 ， 因为，A、C核在O点发生正碰，所以 解出 这就是C核初始速度与x轴的夹角。同时，可求出C核的初始位置为 第二种情况，设EE1连线与y轴夹角为a，根据几何关系，可得 ， 因为，A、C核在O点发生正碰，所以 解出 这就是C核初始速度与x轴的夹角。同时，可求出C核的初始位置为 ， （3）C原子核从O点进入x轴上方的磁场，此时磁场方向垂直纸面向外，经半个周期后方向垂直纸面向里且作周期性变化，磁感应强度的大小不变。设磁感应强度的大小为B0，且满足 (n=0、1、2、3…) 又 得 (n=0、1、2、3…) 磁场的方向作周期性变化，周期 （n = 0、1、2…） 10．（1）；（2）；（3），（）或，（） 【详解】（1）粒子做圆周运动的半径为L，由洛伦兹力提供向心力 得 （2）带正电的粒子在电磁场中运动的总时间包括三段：电场中往返的时间，区域中的时间，区域中的时间以及区域Ⅲ中的时间，根据平抛运动规律有 （3）在区域中的时间 若粒子在区域II中以及区域Ⅲ中的运动如图所示：则总路程为个圆周 根据几何关系有 AP= 得 ，（） 在区域II中以及区域Ⅲ中的总路程为 ，（） 时间 ，（） 总时间 ，（） 若粒子在区域II中以及区域Ⅲ中的运动如图所示：则总路程为个圆周 根据几何关系有 在区域II以及区域Ⅲ中的总路程为 ，（） 总时间 ，（） 11．（1）（n=0，1，2…）；（2） 【详解】（1）粒子做匀速圆周运动 解得 做轨迹图如图所示 由几何关系可得 （n=0，1，2…） 解得 （n=0，1，2…） （2）第一个质子做匀速圆周运动 解得 第一个质子返回至出口处时，恰能与第二个发出的质子发生完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律有 解得 由于碰撞后粒子电量变为先前的2倍，质量也变为先前的2倍，所以粒子在磁场中的轨道半径仍为不变，质子的轨迹如图所示 粒子在磁场中的时间 粒子在正方形区域内匀速直线运动的时间 可得粒子从P点射出至再次到达质子源的时间 同理，第二个粒子（质量为2m）碰撞 第三个粒子（质量为3m）碰撞 则第n个粒子（质量为nm）碰撞 解得 运动轨迹均相同 综上，第n个粒子与第个粒子发射的时间间隔保持不变，均为 12．（1）8cm；（2）见解析 【详解】（1）根据 解得 垂直x轴射入磁场的粒子其运动轨迹如图 由几何关系可得 解得 （2）粒子刚好能从O点射出的轨迹如图一和图二两种情况 由几何关系可知 即 又 如图一所示，运动时间为 如图二所示，运动时间为 13．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）过筒中间轴线的竖直截面如图所示， 氢离子的轨迹刚好与内筒相切，故其半径为 r1=2R 由洛伦兹力提供向心力 解得 由动能定理 解得加速氢离子的电压为 （2）设氘核在磁场中的运动半径为r2，速度v2，由牛顿第二定律可知 由动能定理 解得 r2=4R 因为r2>2R，则氘核会与内筒碰撞； 通过作图可得氘核与轨迹碰撞点如图中的P点所示，由 可知 θ=30° 由此可得P点与小孔沿轴方向的距离为 （3）氢离子与筒的左壁垂直碰撞后原速返弹，且沿着轴做匀速直线运动，运动轨迹如图所示 氢离子在磁场中的运动周期为 氘核在磁场中的运动周期 由上述分析可知相遇前氢原子在磁场中运动的时间为 氘核在磁场中运动的时间 两粒子释放时的时间间隔 又 v1=v2 解得 14．(1) (2)见解析 【详解】（1）正、负电子同时以相同速度进入磁场，仅经过直线JK一次，然后在Ⅱ区域发生对心碰撞；根据对称性可知，电子经过直线JK时，沿x轴方向通过的距离为，设电子的轨道半径为，由几何关系可得 整理可得 当，即时，可得 根据 解得的最小值为 （2）正、负电子同时以速度进入磁场，则有 距离总是满足 情况一：，经过分析可知只有一种情况如图，有， 情况二：，由几何关系可得 解得 则（n为1、3、5....(2k-1)） 15．（1）；（2）；（3） 【详解】（1）粒子从到的过程中，根据动能定理有 解得 粒子进入磁场后在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有 得加速电压与轨迹半径r的关系为 如图中轨迹①所示： 结合题意由几何关系知粒子在磁场中运动的轨迹半径 r=R 解得粒子的比荷为 （2）当粒子打在胶片c的最右侧端点时，如图中轨迹②所示，根据几何关系可以求得粒子在磁场中运动的轨迹半径 打在胶片c最左侧端点的粒子运动轨迹如图中轨迹③所示，轨迹半径为 由(1)可得粒子质量的通用表达式为 则 解得该同位素粒子的质量为 （3）a、b间的电压越大，粒子进入磁场时的速度越大，粒子在极板间经历的时间越短，同时在磁场中运动轨迹的半径越大，速度偏转角越小，有 可知在磁场中运动的时间也越短，离开磁场时粒子速度方向沿磁场区域半径方向，则射出磁场后到打在胶片上时的位移大小相等，粒子速度越大，所用时间也越短，所以当粒子打在胶片c的最右侧端点时，对应粒子在整个过程中经历的时间最短，此时粒子在磁场中运动的轨迹半径为 粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为 由得该粒子进入磁场时速度的大小 粒子在电场中经历的时间 粒子在磁场中经历的时间 粒子出磁场后做匀速直线运动经历的时间 粒子从进入电场到打在胶片c上经历的最短时间为 16．（1），；（2），；（3），与成30°角向上偏右 【详解】（1）粒子2在磁场中运动的加速度 粒子2的轨迹如图所示 最大距离 （2）两粒子的轨迹如图所示 粒子1运动时间 粒子2运动时间 所以 根据动量守恒可知：水平方向动量为0 竖直方向动量守恒 得得 （3）由题意电场强度的方向应与粒子1穿出磁场的方向平行。 a.若场强的方向与成30°角向上偏右，则粒子1做匀加速直线运动.粒子2做类平抛运动（） 对粒子1.2由运动定律得 在粒子1的运动所在直线上， 对粒子1和2由位移公式得 在与粒子1的运动垂直的方向上，对粒子2由位移公式得 解得 b.若场强的方向与成30°角向下偏左，则粒子1做匀减速直线运动，粒子2做类平抛运动 对粒子1、2由运动定律得 在粒子1的运动所在直线上， 对粒子1和2由位移公式得 在与粒子1的运动垂直的方向上，对粒子2由位移公式得 解得 （假设不成立） 综上所述：场强的大小为，方向为与成30°角向上偏右。 17．(1)；(2)；(3) 【详解】(1)设粒子在Ⅰ区域中运动的轨迹半径为，有 解得 画出粒子在Ⅰ区域的运动轨迹如图甲所示 根据几何关系知粒子在Ⅰ区域中运动轨迹所对应的弦与水平方向的夹角为，则 即可得 设在Ⅱ区域做匀速圆周运动的半径为，有 有 若Ⅱ区域中磁场方向垂直竖直平面向里，设大圆半径为，画出粒子运动轨迹如图乙所示 由几何关系得 此时大圆半径最小值为 若Ⅰ区域中磁场方向垂直竖直平面向外，设大圆半径为，画出粒子运动轨迹如图丙所示 由几何关系得 此时大圆半径最小值为 为使粒子都能同到点，大圆半径最小值为 (2)粒子在Ⅰ区域做圆周运动的周期为，在Ⅱ区域做圆周运动的周期为，如图丁所示 粒子从点竖直向上出发回到点且速度方向竖直向下所经过的最短时间为 解得 则运动的弧长为 (3)粒子在Ⅰ区域做匀速圆周运动的半径为，则 解得 则粒子恰好不穿出Ⅰ区域，粒子在Ⅰ区域做圆周运动的周期为 讨论：①如果、两粒子在点相遇，粒子经过的时间 ，其中 粒子经过的时间 又，解得 当，时，有最短时间 ②设粒子运动轨迹与小圆边界相切于点，如果粒子在射出小圆时与粒子在点相遇，有 ，其中 粒子经过的时间 ，则 即 无解，粒子在射出小圆时不会与粒子在点相遇 ③如果粒子在射入小圆时与粒子在点相遇，有 ，其中 粒子经过的时间 ，则 即 依然无解，可知粒子在射入小圆时不会与粒子在点相遇，、两粒子从点出发到在过点的水平直径上相遇所经过的最短时间为 18．（1）；（2）3倍，3a；（3）或 【详解】（1）设粒子进入第n个圆筒的速度为，根据动能定理得 解的 由于粒子在圆筒中运动得时间相同，则金属圆筒1与金属圆筒4的长度之比 （2）要让氚核也能“踏准节奏”在间隙处被加速，则需要氚核在每个金属圆筒中的速度与质子的相同。氚核电荷量与质子相同，但质量是质子的三倍，由 可知，要调至 由洛伦兹力提供向心力 解的 已知 代入可得质子在磁场中做匀速圆周运动得半径为 氚核质量为质子的三倍，与质子相同，可得氚核在磁场中做圆周运动的半径为 （3）氚核离开磁场区域I的速度方向与边界夹角的正切值，正弦值，如图1所示，两轨迹相较于D点 由以上各式最终解的 ②如图2所示，两轨迹外切 联立以上各式解的 综上所述，为使质子与氚核在匀强磁场Ⅱ中的运动轨迹无交点，L的取值范围为 ，或者 19．(1) (2) (3) 【详解】（1）设粒子在第一象限和第四象限做圆周运动的半径分别为和，由牛顿第二定律得， 解得， 粒子在平面内运动轨迹如答图1。 则 解得 （2）设粒子在第一象限的半径为r，则粒子在第四象限的半径为1.5r，如答图2所示。 设轨迹的圆心、的连线与y轴方向夹角为，由几何关系得，， 解得 （3）粒子的速度越大，运动到Q点的时间越短，①粒子的速度在，粒子在第一象限运动的最大半径为，粒子不能从第一象限直接到达Q点；②设粒子以速度v从P点射出，经第四象限运动到Q点，粒子在第一象限运动的半径r，粒子第一次到达x轴时偏转的角度为，如答图3 则， 解得 由此可以推断，此情形不成立（得到①、②中的一个推断即可得分）。③设粒子以速度从P点射出，粒子在第一象限运动的半径为，粒子第一次到达x轴时偏转的角度为，如答图4。 则， 解得， 则粒子达到Q点的最短时间 20．(1) (2) (3)和 (4)， 【详解】（1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有 粒子恰好不进入圆形磁场区域的轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 有 （2）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 作出粒子运动轨迹如图所示 根据几何关系有 解得 （3）若该粒子从P点沿x轴正方向射入磁场且不进入圆形无磁场区域的临界轨迹如图所示 当粒子轨迹和无磁场圆最高点相切时，由几何知识可知半径为 洛伦兹力提供向心力 解得 当粒子轨迹和无磁场圆最低点相切时，由几何知识可知半径为 洛伦兹力提供向心力 解得 粒子速度大小范围为和 （4）若该粒子从P点以初速度，沿x轴正方向射入磁场，根据洛伦兹力提供向心力可知 轨迹圆半径为 周期 能够再次回到P点，粒子运动的轨迹如图所示 轨迹与圆的交点形成一个等边三角形，边长为，粒子从P点出发回到P点经过3个240°圆弧和3条边长。经过的时间为 经过的路程为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $