带电粒子在组合场中的立体空间问题 专项训练 -2026届高考物理二轮电磁学压轴计算题专题复习

**基本信息** 聚焦带电粒子在三维组合场中的运动问题，通过分层设问系统训练运动分解、轨迹分析与场量计算，强化科学思维中的模型建构与几何推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |运动时间与轨迹|1-2题|三维坐标系下电场中类平抛、磁场中圆周运动|运动的合成与分解→轨迹方程推导→时间差计算| |场强与位置坐标|3-9题|多区域场（电/磁场）叠加，含空间几何约束|洛伦兹力提供向心力→轨迹半径与圆心角分析→位置坐标确定|

06 带电粒子在组合场中的立体空间问题�2026年高考物理二轮电磁学压轴计算题专题复习【难点突破】 一、解答题 1．如图所示，O-xyz是以O为坐标原点的三维空间坐标系，在平行于z轴、半径为r（r未知）的圆柱形空间内充满沿z轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E。在圆柱形空间外侧且z＜0的区域充满沿z轴负方向的匀强磁场，磁感应强度。在z轴上的S点（0，0，H）处有一粒子源，t=0时刻沿各个方向均匀发射质量为m、电量为+q、初速度大小为v0的带电粒子。已知所有粒子到达xOy平面前均未穿出电场，不计粒子的重力和粒子间的相互作用。 (1)求粒子到达xOy平面时在电场中运动的最大时间差； (2)平行于yOz平面发射的所有粒子进入磁场前在同一圆周上，求t时刻该圆的方程； (3)若沿y轴正方向射出的粒子，经过y轴时第一次穿出电场，求圆柱形电场横截面的半径r和粒子第二次穿出电场时的位置坐标。 2．如图空间直角坐标系O-xyz将y≥0的空间划分为四个区域，IV区域存在沿z轴负方向的匀强电场，Ⅱ、Ⅲ区域存在沿y轴负方向的匀强磁场。在xOy平面内x>0区域放置一足够大的吸收屏，吸收屏下方紧靠P（l，0，0）处有一粒子源可向x轴负方向发射速率为v0、质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）。粒子运动经过Q（0，0，）点且刚好打在屏上P点，粒子打在吸收屏上即被吸收且不影响空间电、磁场分布。 (1)求匀强电场的电场强度大小E0； (2)求匀强磁场的磁感应强度大小B0； (3)若在I区域加沿y轴正方向、电场强度大小为2E0的匀强电场，同时调节IV区域中电场强度大小为kE0（电场方向不变），求粒子打在吸收屏上落点的坐标。 3．如图所示，在三维坐标系中存在一长方体，平面左侧存在沿轴负方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场，右侧存在沿方向、磁感应强度大小为（未知）的匀强磁场。现有一带正电粒子以初速度从点沿平面进入磁场，经点垂直平面进入右侧磁场，此时撤去平面左侧的磁场，换上电场强度为（未知）的匀强电场，电场强度的方向竖直向上，最终粒子恰好打在棱上。已知、，，粒子的电量为，质量为（重力不计）。求： (1)磁感应强度的大小； (2)粒子经过平面的坐标； (3)电场强度的大小。 4．如图所示，空间直角坐标系内有一由正方体和半圆柱体拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿轴负方向的匀强磁场、分别为、的中点，、分别为、的中点，、分别为半圆弧、的中点，为的中点。质量为、电荷量为的带正电粒子在竖直平面内由点斜向上射入匀强电场，入射的初速度大小为，方向与轴正方向夹角为。一段时间后，粒子垂直于竖直平面射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，， (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间； (3)若粒子以相同的初速度自点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。 5．如图，空间坐标系O-xyz内有一由正方体和半圆柱体拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿z轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿z轴负方向的匀强磁场。M、分别为AO、的中点，N、分别为BC、的中点，P、分别为半圆弧BPC、的中点，Q为MN的中点。质量为m、电荷量为q的正粒子在竖直平面内由M点斜向上射入匀强电场，入射的初速度大小为，方向与x轴正方向夹角为。一段时间后，粒子垂直于竖直平面射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为L，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，，。 (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)求粒子在匀强磁场中运动的时间； (3)若粒子以相同的初速度自Q点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标。 6．如图所示为真空中的坐标系Oxyz，某时刻一质量为m、电荷量为（）的带电粒子以初速度v0沿x轴负方向从（，，）点经过。已知的空间存在沿z轴负方向的匀强电场（图中未画出），的空间存在沿y轴负方向的匀强磁场（图中未画出），在的空间还存在沿z轴负方向的匀强磁场（图中未画出），两区域磁场的磁感应强度大小均为。粒子第一次x坐标为零时恰好经过原点O。不计粒子重力。求： (1)匀强电场的电场强度大小； (2)粒子从离开P点，到第3次通过x轴经历的时间； (3)从粒子第二次经过x轴开始，再经时间，粒子位置与O点间的距离。 7．如图所示的空间直角坐标系中，在区域Ⅰ（）的空间分布着沿x轴正方向的匀强电场E（大小未知），在区域Ⅱ（）的空间分布着沿x轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为，在区域Ⅲ（）的空间分布着沿z轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为（大小未知）。在x轴上处有一带正电粒子，质量为m，电荷量为q，沿y轴正方向以速度进入区域Ⅰ，经过y轴上的P点进入区域Ⅱ，已知P点坐标为，从区域Ⅱ的Q点（图中未画出）穿出后，恰好不会从区域Ⅲ右边界穿出，不计粒子的重力，忽略磁场边界效应。求： (1)电场强度大小E。 (2)Q点的三维坐标。 (3)磁感应强度的大小。 8．在某空间建立如图所示三维直角坐标系，轴竖直向上，空间中存在匀强电场和匀强磁场，匀强磁场沿轴正方向，磁感应强度大小为。一质量为、带电荷量为的小球（可视为质点）从坐标原点以初速度沿轴负方向射入该空间，已知重力加速度为。 (1)若匀强电场和匀强磁场相互垂直，使小球恰好能做匀速直线运动，求电场强度的大小和方向； (2)若保持磁感应强度不变，将电场强度大小调整为，方向未知，使得小球在沿着轴负方向做匀加速直线运动的同时在平行于的平面内做匀速圆周运动，并在第一个圆周内经过点（图中未画出），求的大小和方向； (3)若将第（2）问中的匀强电场调整为竖直向上，电场强度大小不变，求小球运动过程中距离轴的最大距离。 9．如图甲所示，固定在地面上的某种离子发射装置由离子源、间距为d的中心有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口，喷口P正对着屏幕Q，Q为平行于M、N的足够大平板。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量和如图乙所示，图中可调；P、Q板之间存在足够大的匀强电场，场强与M、N板之间电场等大，方向沿y轴负方向。离子源在M板中心小孔S处无初速释放氦离子（），经M、N间电场加速进入磁场区域，从端面P射出进入P、Q间电场，经电场偏转最终打在屏幕Q上，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处速度为。已知单个离子的质量为m、电荷量为2e，忽略离子间的相互作用，不计重力。 (1)求M、N板之间匀强电场的场强大小； (2)调节的值，使得从小孔S进入的离子均能从喷口后端面P射出，求的取值范围； (3)调节，粒子从喷口P喷出后，经过匀强电场后打在屏幕Q上，打在Q上的速度与从喷口P喷出时的速度等大，求粒子打在Q屏幕上的坐标。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《06 带电粒子在组合场中的立体空间问题�2026年高考物理二轮电磁学压轴计算题专题复习【难点突破】》参考答案 1．(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，沿z轴正方向射出的粒子，其运动的时间最长，沿z轴负方向射出的粒子，其运动时间最短。在电场中，根据牛顿第二定律有 最大时间差为 联立解得 （2）设初速度方向与y轴正方向的夹角为，根据抛体运动规律，沿y轴方向有 沿z轴方向，有， 联立解得 （3）根据抛体运动规律，有，， 联立解得 粒子进入匀强磁场后，平行于平面做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，则有 解得 轨迹俯视图，如图所示 粒子在磁场中转过圈后，沿x轴正方向返回电场，在磁场中的运动时间为 沿z轴负方向的速度为 沿z轴负方向运动的距离为 再次返回电场后，第二次穿出电场前，在电场中的运动时间为 沿z轴负方向运动的距离为 沿z轴负方向运动的距离为 故第二次穿出电场时的位置坐标为 2．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P到Q做类平抛运动，设运动时间为t1 x方向有 z方向有 其中 联立三式得： （2）设粒子到达Q点时，速度方向与x轴成θ角，由得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，从Q点进入磁场，从M点离开磁场。设粒子圆周运动半径为r，速度，由洛伦兹力提供向心力有 并且 粒子打在P点，有 联立三式得 （3）调节I、IV区域的电场分布后，设粒子从Q'点进入磁场，再从M'点离开磁场 由前面分析可知，与IV区域电场强度大小无关。 粒子要进入I区域，打在吸收屏上，需满足，即 粒子到达M'点时，z方向的分速度 粒子在I区域运动，设经历时间t2，落点在吸收屏上坐标设为（x，y，0）有 得 故， 所以打在吸收屏的坐标是 3．(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子在平面左侧磁场中做圆周运动，由几何关系得 解得 由洛伦兹力提供向心力可得 解得 （2）在右侧磁场中由洛伦兹力提供向心力得 解得 则有， 即坐标为 （3）粒子在电场中做类平抛运动，轴方向上 轴方向上 解得 4．(1) (2) (3)（，，） 【详解】（1）粒子在电场中运动时，设运动时间为，沿轴方向有 解得 沿轴方向有 由牛顿第二定律可知粒子在电场中的加速度大小 解得 （2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知 解得轨迹半径 由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为，粒子在磁场中运动的周期 粒子在匀强磁场中运动的时间 故 （3）若粒子以相同的初速度自点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间 进入磁场时，沿轴方向的速度大小为 沿轴方向的速度大小为 粒子在水平面做匀速圆周运动，轨迹半径 沿轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的轨迹半径不变，故在磁场中运动的时间不变，在磁场中沿轴方向运动的位移大小为 在电场中沿轴方向运动的位移大小为 故粒子离开磁场时，坐标为 坐标为 坐标为 即粒子离开磁场时的位置坐标为（，，）。 5．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在电场中运动时，沿x轴方向 解得 沿z轴方向 由牛顿第二定律可知 解得 （2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知 解得 由几何关系可知，粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为，粒子在磁场中运动的周期 粒子在匀强磁场中运动的时间 （3）若粒子以相同的初速度自Q点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间 进入磁场时，沿x轴方向的速度大小为 沿z轴方向的速度大小为 故粒子在平行xOy的平面内做匀速圆周运动，半径 沿z轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的半径不变，故在磁场中运动的时间不变，在磁场中沿z轴方向运动的位移大小为 在电场中沿z轴方向运动的位移大小为 故粒子离开磁场时，z轴方向的坐标 y轴方向的坐标 x轴方向的坐标 即离开磁场时的位置坐标为 6．(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子从P到O过程中做类平抛运动，则有，， 联立解得 （2）粒子经过O点时， 则粒子经过O点时的速度大小 方向与z轴负方向成，在空间做半径为R的匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得 解得 粒子第二次经过x轴时的x坐标为 此时，沿x轴负方向和z轴方向的分速度均为，进入的空间后粒子一方面沿z轴做匀变速运动（先减速到速度为0后再反向加速），一方面在垂直于z轴的平面内做半径为r、周期为T的匀速圆周运动。有， 沿z轴匀减速运动到速度为0的时间 所以粒子第三次经过x轴的位置与第二次经过x轴的位置相同；粒子从P到O的时间 从O到第二次经过x轴的时间 粒子从离开P点，到第3次通过x轴经历的时间 （3）从粒子第二次经过x轴开始，再经时间，由于 此时粒子的位置坐标，， 该位置到O的距离 7．(1) (2) (3) 【详解】（1）带电粒子进入电场后，做类平抛运动，方向做匀加速直线运动，方向做匀速直线运动，有， 且 联立得 （2）带电粒子在匀强磁场中做等距螺旋运动，可分解为沿轴正方向的匀速直线运动和垂直于轴的平面的匀速圆周运动，如图： 粒子在点的速度分量为， ①在垂直于轴的平面内，粒子做匀速圆周运动有 解得 周期 ②粒子在轴正方向做匀速直线运动有 解得 即带电粒子将螺旋转动1.5圈后从点离开区域Ⅱ，结合洛伦兹力方向（沿y轴正方向、B1沿x轴负方向，由左手定则可知初始洛伦兹力沿z轴正方向，所以点的方向坐标为 故点的三维坐标为。 （3）粒子在点速度 其方向分速度与点相同，方向分速度与点相反，设带电粒子在点的速度与轴负方向夹角为，有 所以 由牛顿第二定律得 由几何关系知 解得 联立解得 8．(1)，方向竖直向上 (2)，与y轴负方向成30°角斜向上 (3) 【详解】（1）小球在重力、洛伦兹力和电场力作用下处于平衡状态，由于根据左手定则可知洛伦兹力的方向竖直向下，所以小球受到的电场力应竖直向上，且满足 解得电场强度的大小为 由于小球带正电，其受力方向与电场强度方向相同，所以电场强度的方向为竖直向上。 （2）小球在平行于平面内做匀速圆周运动，说明电场力沿z轴方向的分力与重力平衡，则有 解得 由洛伦兹力提供向心力有 解得小球在平行于的平面内做匀速圆周运动的半径为 由 解得小球在平行于的平面内做匀速圆周运动的周期为 由P点坐标，可知，小球从坐标原点运动到P点的时间为 小球沿y轴负方向做匀加速直线运动，设其加速度为，则有 根据匀变速直线运动的位移公式有 联立解得 则 方向平行于平面，与y轴负方向的夹角的正切值为 即的方向平行于平面与y轴负方向成角斜向上。 （3）因为，所以 且方向竖直向下；又因为 且方向竖直向上，所以可以把小球的运动分解成两个分运动：一个是以速度沿轴负方向做匀速直线运动；一个是以速度在平面内做匀速圆周运动，其中 则由洛伦兹力提供向心力有 解得小球做圆周运动的半径为 所以小球运动过程中距离x轴的最大距离为 9．(1) (2) (3) 【详解】（1）离子在电场中加速，根据动能定理 解得 （2）合磁感应强度大小（方向沿平面角平分线） 离子从P的边缘飞出时，由几何关系知 由洛伦兹力提供向心力得 又有 得 范围 （3）洛伦兹力提供向心力 若 代入解得 经P时，设速度与轴的夹角为θ，射出点，如图所示 根据几何关系 解得 根据几何关系有 已知P、Q板之间存在匀强电场，场强与M、N板之间电场等大，方向沿y轴负方向，到Q时速度大小与经P时相等，说明粒子经过电场后y方向的速度与原速度等大反向，则y方向速度变化量为，则有运动时间 又 代入 解得 由运动的对称性，得粒子在y方向的位移为0，则有 x轴上的位移 z轴上的位移 则坐标为 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $