精品解析：四川省德阳市广汉市2025-2026学年 下学期九年级第二次模拟考试数学试卷

2025－2026学年度下期九年级第二次模拟考试数学试卷 试卷说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，全卷共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数大小比较规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小进行解答即可． 【详解】解：∵选项B的大于，选项D的大于，均不符合要求，选项A的和选项C的均为负数， 又，，，可得， ∴， 因此比小的数是． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解一批灯泡的使用寿命，适合用全面调查 B. 从中去掉一个4，平均数发生变化 C. 数据“”的众数是5 D. 海底捞月是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查方式选择，平均数计算，众数定义，事件分类的知识逐一判断选项． 【详解】解：选项A，调查灯泡使用寿命具有破坏性，不适合全面调查，故本选项说法A错误； 选项B，原数据和为 ，原平均数为 ；去掉一个4后和为 ，新平均数为 ，平均数不变，故本选项说法错误． 选项C，数据 中5出现次数最多，众数是5，故本选项说法正确． 选项D，海底捞月不可能发生，是不可能事件，不是必然事件，故本选项说法错误． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，包括同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式，解题的关键是熟练掌握各类运算的法则，明确同类项的定义及不同公式的区别，避免运算错误． 根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A.，故运算正确． B.与，不是同类项，不能合并，不符合题意； C.，运算错误，不符合题意； D.，运算错误，不符合题意． 故选：A． 4. 如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】标记，根据题意得到，根据平行的性质，得到，即可得到答案． 【详解】解：标记，如解图所示；易得， ， , , 故选C． 5. 已知，是方程的两个实数根，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：，， ∴． 6. 某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 朝上的点数是偶数的概率 B. 朝上的点数是2的概率 C. 朝上的点数大于5的概率 D. 朝上的点数是3的倍数的概率 【答案】A 【解析】 【分析】随机掷一个均匀正六面体骰子，每一个面朝上的概率为，约为，根据频率估计概率试验统计的频率，随着试验次数的增加，频率越稳定在左右，因此可以判断各选项． 【详解】解：从统计图中可得该事件发生的可能性约在左右． A、朝上的点数是偶数的概率为，故选项A符合题意； B、朝上的点数是2的概率为，故选项B不符合题意； C、朝上的点数大于5的概率为，故选项C不符合题意； D、朝上的点数是的倍数（含）的概率为，故选项D不符合题意． 7. 若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 8. 把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用半圆弧长等于圆锥底面周长的关系，先求出圆锥底面半径，再结合勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：∵半圆的半径， ∴半圆的弧长为， ∴圆锥的底面周长为 设圆锥底面半径为，则， 解得：， ∴圆锥的高． 9. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先由折叠性质得到，，再由矩形性质得到，，结合全等三角形的判定与性质得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠性质可得，， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得， 即， ， 则， 则重叠部分的面积为． 10. 已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（ ） ①函数是“3-利普希兹条件函数”； ②函数是“5-利普希兹条件函数”； ③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026； ④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11． A. ①②③ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】 对于每个函数，需要计算，并与进行比较，看是否满足． 【详解】解： 设是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为 判断结论① ：已知函数， ∴， ， ∴． ∵，满足，此时， ∴函数是“3-利普希兹条件函数”，结论①正确； 判断结论②： 对于函数， ∴，， ∴， 当时，，，而，不满足， ∴函数不是“5-利普希兹条件函数”，结论②错误； 判断结论③： 已知函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴， ∴． ∵函数是“2026-利普希兹条件函数”， ∴，即 ． 由于， ∴，两边同时除以可得，则m的最大值为2026，结论③正确； 判断结论④： 已知函数，当时， ∴，， ∴，整理，得， ∵， ∴， ∴，即， ∴，满足，则k的最小值为11，结论④正确． 综上，正确的是①③④，答案选D． 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题有5个小题，每小题4分，满分20分，请把答案填在答题卡对应的位置上） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙、丙三种小麦的长势，数学兴趣小组从三种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得三种小麦苗高的平均数分别为，，，方差分别为，则这三种小麦长势更高更整齐的是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 【答案】丙 【解析】 【分析】平均数反映一组数据的平均水平，平均数越大，平均苗高越高，方差反映一组数据的波动程度，方差越小，数据波动越小，长势越整齐，结合数据比较平均数和方差即可得到结果． 【详解】解：首先比较三种小麦苗高的平均数， ，， ，可得乙和丙的平均苗高高于甲， 再比较乙和丙的方差， ，且 ， 丙的方差更小，长势更整齐， 因此三种小麦中长势更高更整齐的是丙． 13. 如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 14. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______． 【答案】99 【解析】 【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为： ，设重叠部分的长度为k，则，，根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：重叠部分为： ， 设重叠部分的长度为k，则，， 重叠后的总长度为：，即， 代入，得：， 解得：， ∴，， ∴， 故答案为：99． 15. 如图，点是边长为的正方形的边上一动点（不与、重合），连接，以为腰向右作等腰与交于点，连接，分别与、相交于点、，连接、．给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③若，则；④连接的最小值为．其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】②④##④② 【解析】 【分析】设，根据题意可得，，根据是动点，即可判断①；证明四点共圆，得出即可判断②；解，求得，进而可得，根据直角三角形中斜边大于直角边，即可判断③，先证明，根据轴对称的性质得出的最小值为的长，进而勾股定理，即可求解． 【详解】解：设，在正方形中，，即, ∴， 当时，，而是动点，故不一定成立，故①错误； ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴四点共圆， ∴， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ∵正方形边长为， ∴，则 ∴ 又∵在中，是斜边， ∴，即，故③错误； 如图，在上取点，使，连接，则是等腰直角三角形， ∴ ∵，，， ∴， ∴ ∴ 作点关于的对称点，连接，则，， ∴ ∴共线， 此时的最小值为的长， 在中， ∴，故④正确 三、解答题（本大题有7个小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值，求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则，熟记特殊角的三角函数值，解不等式的步骤，是解题的关键： （1）进行特殊角的三角函数值，去绝对值和零指数幂的运算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 由①，得：； 由②，得：； ∴． 17. 2025年6月，广汉市在三星湖举办了六五世界环境日暨“两山”基地创建启动仪式．为增强青少年环保意识与科技创新兴趣，某校举办了“清洁能源与可持续发展”知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析． 七年级：； 八年级：． 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 86 八年级 84 86 87 118.6 （1）上述表格中，______，______； （2）若该校七年级有300名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中七年级学生成绩超过90分的人数； （3）若从本次知识竞赛成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加市级比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是八年级学生的概率． 【答案】（1） （2）90人 （3）图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据中位数的定义和方差的计算公式解答即可； （2）用该校七年级参与了此次活动的学生人数乘以抽取的学生中超过90分的人数占比即可解答； （3）利用列表法或画树状图法得出总共的可能结果数以及两名学生恰好都是八年级学生的结果数，然后利用概率公式解答即可． 【小问1详解】 解：∵抽取了10名学生的成绩，七年级的学生成绩从小到大排列后，在第5、6位的成绩为84、86， ∴， ， 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校此次活动中七年级学生成绩超过90分的人数为90人； 【小问3详解】 解：七年级95分以上学生有2人，分别记为，八年级95分以上学生有2人，分别记为，画树状图如下： 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是八年级学生的结果有2种， （所选两名学生恰好都是八年级学生）． 18. 如图，正方形的顶点为原点，点坐标为，点在轴的负半轴上，双曲线经过的中点，交于点，直线经过点和的中点． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）点为直线上一个动点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得，，继而得到、，再根据待定系数法可确定双曲线及直线的解析式； （2）设，根据三角形面积公式得，求出的值再代入可得相应的的值，可得答案． 【小问1详解】 解：∵，四边形为正方形， ∴， ∴正方形的边长为， ∵正方形的顶点为原点，点在轴的负半轴上， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴、， ∵双曲线过点， ∴， ∴双曲线的解析式为； ∵直线过点、， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：设， ∵的面积为， ∴， 解得：， 将代入，得：， 此时点的坐标为； 将代入，得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 19. 如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． （1）设的面积为，请用含的式子表示； （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当为何值时，的长度为？ 【答案】（1） （2）当时，四边形是平行四边形 （3）当或时，的长度为 【解析】 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； 【小问2详解】 解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 20. 某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 （1）此玩具的进价是多少元？ （2）从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （3）如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？ 【答案】（1）此玩具的进价是20元 （2）日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为 （3）该益智玩具的销售单价定为30元 【解析】 【分析】（1）设此玩具的进价是m元，根据题意玩具数量相等列分式方程，然后解方程即可解答； （2）通过分析表中数据可以看出，日销售量y与销售单价x之间成一次函数关系，故可设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出k与b的值，进而得出该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （3）根据“每日利润＝（销售单价－进价）×日销售量－房租等运营成本”可得，然后解方程，再结合“要尽量减少库存”即可解答． 【小问1详解】 解：设此玩具的进价是m元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：此玩具的进价是20元； 【小问2详解】 解：通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 设该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将，代入，得： ，解得：， 答：该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：该益智玩具的销售单价定为x元， 根据题意，得：， 解得：，， 当销售单价为60元时，日销售量为个， 当销售单价为30元时，日销售量为个， ，且要尽量减少库存， ∴ 应选择日销售量较大的方案， ． 答：该益智玩具的销售单价定为30元． 21. 已知：为直径，弦交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为弧上一点，连接，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，弦交于点，，在上取一点，连接，，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可求出，结合已知，根据余角的性质得出，然后根据三线合一的性质即可得证； （2）根据和，导角可得出，结合可得出，根据圆心角、弧线的关系可得出，结合即可得证； （3）设，则，取的中点N，连接，，，过D作于Q，根据直角三角形的性质得出，根据等边对等角得出，则，根据等边对等角和三角形内角和定理并结合可得出，根据余角的性质得出，证明，得出，在中，根据勾股定理得出，求出得，则，根据正切的定义求出，根据圆周角定理得出，则，在中，求出，解求出，，在中，根据正切的定义求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ， ∵是切线， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴，； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴设，则， 取的中点N，连接，，，过D作于Q， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 22. 已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． （1）当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； （3）如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2）周长的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解函数解析式，再令求解点B坐标； （2）先求解直线，然后证明为等腰直角三角形，则，那么，故当取得最大值时，取得最大值，设，则，则，再由二次函数的性质求解的最大值，即可求解的最大值； （3）根据抛物线的解析式可得，；当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接，可得，则，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解；当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点，证明，求出，则直线的解析式为，再与抛物线的解析式联立求解点的坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，将点代入， 则 解得 ∵ ∴， ∴解析式为： 令，则 解得， ∴； 【小问2详解】 解：设直线， 则代入点得，，解得 ∴直线 ∵ ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵轴， ∴ ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值， 设，则 ∴ ∵ ∴当时，的最大值为 ∴周长的最大值为； 【小问3详解】 解：在中，当，则， 解得， ∴； ∵， ∴； 如图所示，当点在x轴上方时，过点作轴于点，设与交点为点，在射线上取点，使得，连接， ∴，， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 当点在x轴下方时，过点作交直线于点，过点作轴于点，过点作，交直线于点， 则， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得 ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∴； 综上：的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下期九年级第二次模拟考试数学试卷 试卷说明：1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，全卷共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共40分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 下列说法正确的是（ ） A. 为了解一批灯泡的使用寿命，适合用全面调查 B. 从中去掉一个4，平均数发生变化 C. 数据“”的众数是5 D. 海底捞月是必然事件 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在野外探险中，有两条东西方向的平行步道，徒步者甲在步道上，徒步者乙在步道上．若某一时刻，甲看乙的方向是北偏东，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是方程的两个实数根，则＝（ ） A. B. C. D. 6. 某班同学在抛掷正六面体骰子试验中，统计某一结果出现的频率随抛掷次数变化趋势图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 朝上的点数是偶数的概率 B. 朝上的点数是2的概率 C. 朝上的点数大于5的概率 D. 朝上的点数是3的倍数的概率 7. 若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 10. 已知是的函数，是自变量取值范围内的任意两数，其对应的函数值分别为．若存在常数，使得，则称此函数为“k-利普希兹条件函数”．下列四个结论：其中正确的是（ ） ①函数是“3-利普希兹条件函数”； ②函数是“5-利普希兹条件函数”； ③若函数是“2026-利普希兹条件函数”，则的最大值为2026； ④已知函数，当时，此函数是“k-利普希兹条件函数”恒成立，则的最小值为11． A. ①②③ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题，共110分） 二、填空题（本大题有5个小题，每小题4分，满分20分，请把答案填在答题卡对应的位置上） 11. 若有意义，则的取值范围是_____． 12. 为考察学校劳动实践基地甲、乙、丙三种小麦的长势，数学兴趣小组从三种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得三种小麦苗高的平均数分别为，，，方差分别为，则这三种小麦长势更高更整齐的是______．（填“甲”“乙”或“丙”） 13. 如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 14. 甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为，．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则______． 15. 如图，点是边长为的正方形的边上一动点（不与、重合），连接，以为腰向右作等腰与交于点，连接，分别与、相交于点、，连接、．给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③若，则；④连接的最小值为．其中正确的结论是______．（填写序号） 三、解答题（本大题有7个小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 16. （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 2025年6月，广汉市在三星湖举办了六五世界环境日暨“两山”基地创建启动仪式．为增强青少年环保意识与科技创新兴趣，某校举办了“清洁能源与可持续发展”知识竞赛．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计分析． 七年级：； 八年级：． 统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 84 86 八年级 84 86 87 118.6 （1）上述表格中，______，______； （2）若该校七年级有300名学生参与了此次活动，请估计该校此次活动中七年级学生成绩超过90分的人数； （3）若从本次知识竞赛成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加市级比赛，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是八年级学生的概率． 18. 如图，正方形的顶点为原点，点坐标为，点在轴的负半轴上，双曲线经过的中点，交于点，直线经过点和的中点． （1）求双曲线和直线的解析式； （2）点为直线上一个动点，若的面积为，求点的坐标． 19. 如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． （1）设的面积为，请用含的式子表示； （2）当为何值时，四边形是平行四边形？ （3）当为何值时，的长度为？ 20. 某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 （1）此玩具的进价是多少元？ （2）从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （3）如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？ 21. 已知：为直径，弦交于点，过点作的切线交的延长线于点，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点为弧上一点，连接，，，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，弦交于点，，在上取一点，连接，，若，，求的长． 22. 已知，抛物线与轴交于、两点，交轴于点． （1）当点坐标为时，求抛物线的表达式及点的坐标； （2）如图1，在（1）的条件下，点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，交于点，求周长的最大值； （3）如图2，抛物线顶点为点，直线经过点，与抛物线交于点，直线与直线所夹的锐角为，若，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $