精品解析：四川省德阳市广汉市2024-2025学年九年级 下学期 质量监测(二)考试数学试卷

2024—2025学年度下期质量监测（二） 九年级数学试卷 试卷说明： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔填涂在答题卡上） 1. 在下列各数中，比﹣1.5小的数是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2 D. 0 2. 最新智能芯片的运算速度达到每秒70万亿次以上．数据“70万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 4. 为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．下列说法中正确的是（ ） A. 本次调查采用的是普查 B. 1000名运动员是总体 C. 每个运动员是个体 D. 50名运动员年龄是总体的一个样本 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 7. 点和在一次函数的图象上，已知．且当时，，则一次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 8. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2025个图案中的“”的个数是（ ） A. 6072 B. 6075 C. 6076 D. 6080 9. 如图，中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点G，交的延长线于点H，若，，的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路） 在上述四个方案中最短的道路系统是方案（　　） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 11. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，满分24分，请把答案填在答题卡对应的位置上） 12. 分解因式∶_____． 13. 数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么这五次测试成绩的方差是___________． 14. 如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为_________． 15. 已知和两个有理数，规定一种新运算“*”为：（其中），若，则____． 16. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 17. 如图，过圆心，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得． 条件①：平分 条件②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是________． 三、解答题（本大题有7个小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18. （1）计算：； （2）解不等式组 19. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）________，所对应的扇形圆心角是________； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 20. 如图正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标． 21. 如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，的平分线交于点M，交于点N，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求的长． 22. 某草莓采摘园有如下消费场景：顾客采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费230元，采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费240元． （1）求甲、乙两种草莓的售价分别是每千克多少元． （2）为吸引顾客，该采摘园推出以下优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售； 采摘乙种草莓超过，超出部分按原价的六折销售．设采摘甲种草莓、乙种草莓的费用分别为元、元，请写出，关于x的函数表达式． （3）某公司为准备团建活动，准备采摘同一品种草莓不少于，请通过计算说明采摘哪种草莓更划算 23. 如图，D 是的边上一点，，以为直径的交于点E，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为3，，求、的长． 24. 【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： （1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示直角坐标系，求该抛物线的解析式； （2）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求最大值． ②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度下期质量监测（二） 九年级数学试卷 试卷说明： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题．全卷共6页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将试卷及答题卡交回． 2．本试卷满分150分，答题时间120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将正确答案用2B铅笔填涂在答题卡上） 1. 在下列各数中，比﹣1.5小的数是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. ﹣2 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】有理数大小比较的方法：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判定即可． 【详解】∵1＞﹣1.5，﹣1＞﹣1.5，﹣2＜﹣1.5，0＞﹣1.5， ∴所给的各数中，比﹣1.5小的数是﹣2． 故选C． 【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小． 2. 最新智能芯片的运算速度达到每秒70万亿次以上．数据“70万亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：70万亿． 故选：D． 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图． 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：若小正方体①去掉后，其左视图不变，即左视图依然还是两层，底层有3个正方形，上层有1个正方形． 故选：C． 4. 为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄．下列说法中正确的是（ ） A. 本次调查采用的是普查 B. 1000名运动员是总体 C. 每个运动员是个体 D. 50名运动员的年龄是总体的一个样本 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了样本、总体、个体、调查方式，关键是掌握样本、总体、个体的定义．进行分析即可．总体：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本．据此进行解答即可． 【详解】解：A选项：为了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽查了50名运动员的年龄， 本次调查采用的是抽样调查，故A选项不符合题意； B选项：参加运动会的1000名运动员的年龄情况是总体，故B选项不符合题意； C选项：每个运动员的年龄情况是个体，故C选项不符合题意； D选项：50名运动员的年龄是总体的一个样本，故D选项正确． 故选：D． 5. 随着人们对环境的日益重视，骑行单车这种“低碳”出行方式已融入人们的日常生活，如图是某单车车架的示意图，线段，，分别为前叉、下管和立管（点在上），为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由平行线的性质求角度：由平行线的性质推出，求出．即可得到的度数，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ，， ， ， ， ， ∴； 故选：C． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，二次根式的运算，根据合并同类项法则、单项式乘以单项式的运算法则、二次根式的乘除法运算法则分别计算即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 7. 点和在一次函数的图象上，已知．且当时，，则一次函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断一次函数图象经过的象限，根据一次函数的增减性求参数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先由时，，可知随着的增大而减小，得到的取值范围，然后结合，可知的取值范围，从而判断可能的图象． 【详解】解：时，， 即时，， 随着的增大而减小， ， 又， ， 一次函数的图象会经过一、二、四象限． 故选：A． 8. 观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2025个图案中的“”的个数是（ ） A. 6072 B. 6075 C. 6076 D. 6080 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，发现规律是关键．第一个有4个“”，第二个有个“”，第三个有个“”，第四个有个“”， ，利用这个规律即可求解． 【详解】解：第一个有4个“”， 第二个有个“”， 第三个有个“”， 第四个有个“”， ， 则第2025个图形有个“”． 故选：C． 9. 如图，中，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点E，F，分别以点E和点F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点G，交的延长线于点H，若，，的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，由角平分线的定义结合平行四边形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：由作图可得：平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 10. 某乡镇的4个村庄A、B、C、D恰好位于正方形的4个顶点上，为了解决农民出行难问题，镇政府决定修建连接各村庄的道路系统，使得每两个村庄都有直达的公路，设计人员给出了如下四个设计方案（实线表示连接的道路） 在上述四个方案中最短的道路系统是方案（　　） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作图-设计，正方形的性质，解直角三角形等知识，设正方形的边长为，分别计算出四种情况下需铺设的公路长，比较即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设正方形边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴方案一需铺设公路为：， 方案二：需铺设公路为：， 方案三需铺设公路为：， 方案四如图所示： ∵， ∴ ∵， ，， ∴， ∴方案四需铺设公路， 综上，方案四需铺设公路最短， 故选：D． 11. 如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④．正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系．根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点和时的函数的取值，即可判断③；根据图象可判断当时，y有最小值，且为，又可求出，结合对于任意实数m，都有，即可得出，即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，且， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象关于直线对称， ∴其对称轴为直线，即， ∴， ∴， 由图象可知该抛物线开口向上， ∴， ∴， 故②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 由图象结合题意可知当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 故③正确； 由图象可知当时，y有最小值，且为， ∵， 又∵对于任意实数m，都有， ∴，即， ∴， 故④错误． 综上所述，正确的有①③，一共2个． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共114分） 二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，满分24分，请把答案填在答题卡对应的位置上） 12. 分解因式∶_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 数学兴趣小组成员小刚对自己的学习质量进行了测试．如图是他最近五次测试成绩（满分为100分）的折线统计图，那么这五次测试成绩的方差是___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查折线图，求平均数和方差，根据平均数和方差的计算方法，进行计算即可． 【详解】解：平均数为：（分）； 方差为：； 故答案为10． 14. 如图，在长方形中，点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动，设的面积是，点经过的路线长度为，如图坐标系中折线表示与之间的函数关系，根据图象信息，长方形的周长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，理解点的运动，函数图象中点的含义是解题的关键． 根据点的运动，函数图形的信息可得，当点运动到点时，，即，则，当点从点运动到点时，的面积是，可得，根据长方形的周长计算公式即可求解． 【详解】解：点是中点，点从点开始，沿着的路线匀速运动， 当点运动到点时，，即， ∴， ∴， 当点从点运动到点时，的面积是， ∴， 解得，， ∴长方形的周长为， 故答案为： ． 15. 已知和两个有理数，规定一种新运算“*”为：（其中），若，则____． 【答案】﹣ 【解析】 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出的值． 【详解】∵， ∴，， ∴，解得：， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解分式方程，弄清题中的新定义是解题的关键． 16. 青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为_______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 17. 如图，过圆心，是的一条弦，，是的切线．再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使得． 条件①：平分 条件②： 条件③： 则所有可以添加的条件序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】连接，令交于点E，由垂径定理可知，，，则，若选条件①，可得，证，可得，若选条件②，可知，得 ，设，则，，可得，，则，可得，若选条件③，可知，即可证，进而可证，得，可知，即可判断答案． 【详解】解：连接，令交于点E， ∵经过圆心是的一条弦，， ∴， 则， 若选条件①， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故①符合题意； 若选条件②， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， 则，得 ， 设，则，，，， 则， ∴，即， 故②不符合题意； 若选条件③， ∵，即，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故③符合题意； 综上，所有可以添加的条件序号是①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角函数，能够灵活运用相关图形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题有7个小题，满分90分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤） 18. （1）计算：； （2）解不等式组 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和求不等式组的解集，熟练掌握相关运算法则和解不等式组的步骤是关键． （1）利用零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、算术平方根的性质进行化简，再计算即可； （2）求出每个不等式解集，取解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） ； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为： 19. 某校化学教学组为了提高教学质量，加深学生对所学知识的理解，采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，为检验学生对此教学模式的反馈情况，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．高温煅烧石灰石；．碳酸钠和稀盐酸反应，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： （1）________，所对应的扇形圆心角是________； （2）请你根据调查结果，估计该校九年级名学生中有________人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石” （3）某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊，若小明从上面的五个实验中任意选取两个，请求出两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率________． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了统计图表的综合运用（条形图、扇形图）、用样本估计总体以及概率的计算，准确提取图表信息、掌握概率公式是解题关键． （1）先通过“实验人数及对应百分比”求出抽取的总人数，再用总人数减去其他实验的人数得到；利用“实验人数总人数”计算对应的扇形圆心角； （2）先算出样本中“实验”的人数占比，再用该占比乘以九年级总人数，估计喜欢实验的人数； （3）先确定能产生二氧化碳的实验，再通过列表法列出所有取两个实验的可能结果，最后根据“符合条件的结果数总结果数”计算概率． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数为（人）， 选择的学生人数为（人） ， 所对应的扇形圆心角是； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校九年级名学生中有人最喜欢的实验是“．高温煅烧石灰石”． 【小问3详解】 解：本次调查的五个实验中，三个实验均能产生二氧化碳， 列表如下， 由列表可知，共有种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的情况有种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 20. 如图正比例函数与反比例函数的图象交于、B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点P是第二象限反比例函数图象上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点M、交直线于点N，若三个点P、M、N中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点P、M、N三点为“和谐点”，直接写出使点P、M、N三点成为“和谐点”的P的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式和方程的关系等知识． （1）由的A的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式； （2）分两种情况：当P在A点的下方时，，则；当P在A点的上方时，，则；分别解方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设，则， 如图1，当P在A点的下方时，，则， 解得， ∵， ∴，此时； 如图2，当P在A点的上方时，，则， 解得， ∵， ∴，此时． 综上，点P坐标为或． 21. 如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，的平分线交于点M，交于点N，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵． ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可得证； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，证明，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∵F为边的中点， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 22. 某草莓采摘园有如下消费场景：顾客采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费230元，采摘甲种草莓和乙种草莓，共花费240元． （1）求甲、乙两种草莓的售价分别是每千克多少元． （2）为吸引顾客，该采摘园推出以下优惠方案：采摘甲种草莓按原价的八折销售； 采摘乙种草莓超过，超出部分按原价的六折销售．设采摘甲种草莓、乙种草莓的费用分别为元、元，请写出，关于x的函数表达式． （3）某公司为准备团建活动，准备采摘同一品种草莓不少于，请通过计算说明采摘哪种草莓更划算 【答案】（1）甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元 （2）， （3）当采摘量为时，甲、乙两种草莓所需费用相同；当采摘量超过时，采摘乙种草莓更划算 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）根据题意求出函数表达式即可； （3）根据当时，，即可得解． 【小问1详解】 解：设甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元， 由题意可得：， 解得：， ∴甲种草莓的售价为每千克元，乙种草莓的售价为每千克元； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 当时，， 当时，， ∴； 【小问3详解】 解：当时，， ∴， 故当采摘量为时，甲、乙两种草莓所需费用相同；当采摘量超过时，采摘乙种草莓更划算． 23. 如图，D 是的边上一点，，以为直径的交于点E，若． （1）求证：是的切线； （2）若半径为3，，求、的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是的切线； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理并结合已知可求出，然后根据切线的判定即可得证； （2）连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，结合，得出，设，则，在中，根据勾股定理求出，证明，同理求出，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，过D作于F， ∵是的直径，的半径为3， ∴，， ∵ ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，符合题意． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正切的定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，明确题意，添加合适的辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 24. 【实践探究】 数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践——应用——探究的过程： （1）实践：他们对一条抛物线形拱桥进行测量，测得当拱顶高离水面时，水面宽，并画出了拱桥截面图，建立了如图1所示的直角坐标系，求该抛物线的解析式； （2）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点F，交抛物线对称轴于点E，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图2，B为直线上方抛物线上一动点，过B作垂直于x轴，交x轴于A，交直线于C，过点B作垂直于直线，交直线于D，求的最大值． ②如图3，G为直线上一动点，过G点作x轴的垂线交抛物线于点H，点P在坐标平面内．问：是否存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①最大值为；②G点坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，由图可知抛物线经过原点，即，求出a的值即可求函数的解析式； （2）①由题可知是等腰直角三角形，则，设，则，，当时，的最大值为，即可得出问题答案； ②由①可得，然后根据题意可分当时，当时，然后根据正方形的性质可分类进行求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 当时，的最大值为， ∴的最大值为； ②存在以E、G、H、P为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得， ∴当时，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴H点的纵坐标为5， ∴， 解得或， ∵G点在直线上， ∴或； 当时， ∵， ∴， 设，，如图，连接，交于点M， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 综上所述：G点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $