精品解析：山东省菏泽市鄄城县2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

2024—2025学年度第二学期阶段性质量检测 八年级数学试题 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 观察下列图形，是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ） A. 向右平移了3个单位 B. 向左平移了3个单位 C. 向上平移了3个单位 D. 向下平移了3个单位 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( ) A. 30° B. 40° C. 45° D. 36° 5. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于( ) A. ∶1∶2 B. 1∶2∶ C. 1∶∶2 D. 2∶1∶ 6. 已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是( ) A. 22cm和16cm B. 16cm和22cm C. 20cm和16cm D. 24cm和12cm 7. 如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接EF，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（ ） A. 14 B. 7 C. ﹣2 D. 2 9. 不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）． A. B. C. D. 10. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ） A. 11cm B. 2cm C. （8+2）cm D. （7+3）cm 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A=___________° 12. 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）． 13. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 14. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．若S△BFC＝1，则S△ABC＝______． 15. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 16. 求满足不等式组的所有整数解． 17. 如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证： （1）△ABC≌△ADC； （2）BO＝DO． 18. 如图，把长方形纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，点落在处． （1）求证：； （2）设，，，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． 19. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来 20. 某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位． （1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数； （2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金． 21. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD （1）求证：△ABD≌△BCE； （2）求证：AC是线段ED的垂直平分线． （3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由． 22. 某公司推出一种产品，设x是某推销员推销产品的数量，y是推销费，如图表示的是该公司每月付给推销员推销费的两种方案；解答下列问题： （1）求，的解析式； （2）解释图中的两种方案是如何支付推销费的？ （3）作为推销员，如何选择付费方案？ 23. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点 （1）求证：； （2）求的度数； （3）若于，，，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期阶段性质量检测 八年级数学试题 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 观察下列图形，是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：将D选项中的图形围绕某一点旋转180°之后能够与原图形完全重合， 所以这个图形就是中心对称图形. 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比（ ） A. 向右平移了3个单位 B. 向左平移了3个单位 C. 向上平移了3个单位 D. 向下平移了3个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据向下平移，纵坐标相减，横坐标不变解答． 【详解】∵将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变， ∴所得图形与原图形相比向下平移了3个单位． 故选D. 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； 故选：D． 4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于( ) A. 30° B. 40° C. 45° D. 36° 【答案】D 【解析】 【详解】∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∴∠BDC＝2∠A， ∵BD＝BC， ∴∠C＝∠BDC＝2∠A． ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝2∠A， 由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°， 即∠A＝36°． 故选D 5. 在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等于( ) A. ∶1∶2 B. 1∶2∶ C. 1∶∶2 D. 2∶1∶ 【答案】D 【解析】 【分析】根据角度之比可求出各角的度数，可知△ABC为直角三角形，再利用30°的直角三角形的性质即可解答． 【详解】在△ABC中，∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2， ∴∠A=90°，∠B=30°，∠C=60°， 故△ABC为含30°的直角三角形， ∴a∶b∶c=2∶1∶． 故选D． 【点睛】此题主要考查含30°直角三角形的性质，解题的关键是求出各角的度数． 6. 已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是( ) A. 22cm和16cm B. 16cm和22cm C. 20cm和16cm D. 24cm和12cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件作出图像，连接BD，根据垂直平分线的性质可得BD=AD，可知两三角形的周长差为AB，结合条件可求出腰长，再由周长可求出BC，即可得出答案． 【详解】如图，连接BD， ∵D在线段AB的垂直平分线上， ∴BD=AD， ∴BD+DC+BC=AC+BC=38cm， 且AB+AC+BC=60cm， ∴AB=60-38=22cm， ∴AC=22cm， ∴BC=38-AC=38-22=16cm， 即等腰三角形的腰为22cm，底为16cm． 故选A． 【点睛】此题主要考查垂直平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线再来解答． 7. 如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接EF，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，即得结果． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B 8. 关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（ ） A. 14 B. 7 C. ﹣2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式得到x≥m+3，再列出关于m的不等式求解． 【详解】解：≤﹣2， m﹣2x≤﹣6， ﹣2x≤﹣m﹣6， x≥m+3， ∵关于x的一元一次不等式≤﹣2的解集为x≥4， ∴m+3=4，解得m=2． 故选D 9. 不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式解集为． 故选D． 【点睛】本题考查了在数轴表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 10. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要（ ） A. 11cm B. 2cm C. （8+2）cm D. （7+3）cm 【答案】B 【解析】 【详解】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 解：将长方体展开,连接AB′，则AB′最短. ∵AA′=3+2+3+2=10cm，A′B′=6 cm， ∴AB′=cm. 故选B.. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到，交AC于点D，若，则∠A=___________° 【答案】55 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，再由直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到 ∴，， ∵， ∴ ∴∠A=55°． 故答案为：55 【点睛】本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键． 12. 如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为______海里（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【详解】解：在Rt△APC中，∵AP= 海里，∠APC=45°， ∴海里． 在Rt△BPC中，∵∠ PBC=30°， ∴海里； ∴AB=AC+BC=海里． 故答案为． 【点睛】本题考查了方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识．解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 13. △ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是____． 【答案】1<m<4 【解析】 【详解】解：延长AD至E，使AD=DE，连接CE，则AE=2m， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD， 在△ADB和△EDC中，∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD， ∴△ADB≌△EDC， ∴EC=AB=5， 在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜AC+EC，即5﹣3＜2m＜5+3， ∴1＜m＜4， 故答案为1＜m＜4． 14. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点．若S△BFC＝1，则S△ABC＝______． 【答案】4 【解析】 【详解】如图，连接BE． ∵点D、E分别为BC、AD的中点， ∴S△ABD=S△ACD=S△ABC，S△BDE=S△ABD=S△ABC，S△CDE=S△ACD=S△ABC，∴S△BCE=S△BDE+S△CDE=S△ABC+S△ABC=S△ABC， ∵F是CE的中点， ∴S△BEF=S△BFC=S△BCE=×S△ABC=S△ABC， ∴S△BFC：S△ABC=1：4． ∵S△BFC=1， ∴S△ABC=4． 故答案为4． 15. 如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_____． 【答案】x＞3 【解析】 【详解】∵直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5）， ∴由图象可得，当x＞3时，x+b＞kx+6， 即不等式x+b＞kx+6的解集为x＞3． 故答案为：x＞3 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 16. 求满足不等式组的所有整数解． 【答案】不等式组的解集：-1≤x＜2，整数解为：-1，0，1. 【解析】 【详解】解：解不等式x-3（x-2）≤8，得：x≥-1， 解不等式x-1＜3-x，得：x＜2， 则不等式组的解集为-1≤x＜2， 所以不等式组的整数解为-1、0、1． 17. 如图所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证： （1）△ABC≌△ADC； （2）BO＝DO． 【答案】见解析 【解析】 【详解】解：（1）∵∠1=∠2，AC=AC，∠3=∠4 ∴△ABC≌△ADC（ASA）； （2）∵△ABC≌△ADC ∴AB=AD ∵∠1=∠2，AO=AO ∴△ABO≌△ADO（SAS） ∴BO＝DO． 【点睛】全等三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握． 18. 如图，把长方形纸片沿折叠，使点B落在边上的点处，点落在处． （1）求证：； （2）设，，，试猜想a，b，c之间的关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得：， ， ， ； （2） ，理由如下： 四边形是长方形， ， 由折叠得： ， ， ， ， ， 在中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等； （1）由矩形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，结合等腰三角形的判定及性质，即可求解； （2）由矩形的性质及折叠的性质，结合勾股定理得，即可求解； 掌握矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来 【答案】-1≤x＜1 【解析】 【分析】首先求出每一个不等式的解集，再找出各解集的公共部分即为不等式组的解集；在数轴上表示解集时，“≥”表示实心向右，“＜”空心向左． 【详解】解得，x＜1 解得，x≥-1 ∴ 原不等式组的解集是 -1≤x＜1 在数轴上表示为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式（组）的解集，正确求出不等式或不等式组的解集是解题关键． 20. 某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位． （1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数； （2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金． 【答案】（1）175人；（2）1440元 【解析】 【详解】解：（1）设单独租用35座客车需x辆，由题意得： , 解得：. ∴（人）. 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人． （2）设租35座客车y辆，则租55座客车（）辆，由题意得： ， 解这个不等式组，得． ∵y取正整数， ∴y = 2. ∴4－y= 4－2 = 2. ∴320×2＋400×2 = 1440（元）. 所以本次社会实践活动所需车辆的租金为1440元． 21. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD （1）求证：△ABD≌△BCE； （2）求证：AC是线段ED的垂直平分线． （3）△DBC是等腰三角形吗？请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵∠ABC＝90°，BD⊥EC， ∴∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△BAD和△CBE中， ， ∴△BAD≌△CBE（ASA）， （2）证明：∵E是AB中点， ∴EB＝EA， ∵AD＝BE， ∴AE＝AD， ∵AD∥BC， ∴∠7＝∠ACB＝45°， ∵∠6＝45°， ∴∠6＝∠7， 又∵AD＝AE， ∴AM⊥DE，且EM＝DM， 即AC是线段ED的垂直平分线； （3）△DBC是等腰三角形（CD＝BD）． 理由如下： ∵由（2）得：CD＝CE，由（1）得：CE＝BD， ∴CD＝BD． ∴△DBC是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）如图，根据垂直关系可得∠1＝∠2，再根据ASA即可证明△BAD≌△CBE；（2）由（1）得AD＝AE，再求得∠6=∠7=45°，即可得证；（3）由垂直平分线的性质知CD＝CE，由（1）得CE＝BD，故△DBC是等腰三角形． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 22. 某公司推出一种产品，设x是某推销员推销产品的数量，y是推销费，如图表示的是该公司每月付给推销员推销费的两种方案；解答下列问题： （1）求，的解析式； （2）解释图中的两种方案是如何支付推销费的？ （3）作为推销员，如何选择付费方案？ 【答案】（1），（2）解释见解析；（3）见解析． 【解析】 【分析】（1）由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求出函数关系式； （2）根据两条直线的截距和斜率，可解释两种方案的推销费用； （3）由图可看出，两直线的交点为30，当x＞30时，可获得较多的推销费用，当x＝30时，两种方案获得的推销费用一样；当x＜30时，可获得较多的推销费用． 【详解】（1）设，， 根据图像可得：， 解得：， ∴， （2）方案一：没有基础工资，每销售1件产品，付推销费20元；（即） 方案二：每月发基础工资300元，每推销1 件产品，再付10元推销费； （即） （3）当时，得： 即当每月推销量超过30件时，选择方案一付费； 当时，得： 即当每月推销量等于30件时，选择两种方案付费都一样； 当时，得： 即当每月推销量不足30件时，选择方案二付费． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数，在解题过程中应注意数形结合，使求解过程变得简单． 23. 已知，如图，为等边三角形，，、相交于点 （1）求证：； （2）求的度数； （3）若于，，，求的长. 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， 又， ． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以，含角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形性质和全等三角形判定与性质是解题的关键． （1）要证明，根据等边三角形性质可知，，又已知，利用全等三角形判定定理（SAS）来证明． （2）利用（1）中全等三角形的性质，得到，再结合三角形外角性质，将转化为与等边三角形内角相关的角来求解． （3）先由（1）知，再根据（2）中以及，得出，利用含直角三角形的性质求出，进而求出（即）的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 是的外角， ， ， 是等边三角形，， ． 【小问3详解】 解：，， ， 在中，， ， ， ， ， ， 由（1）知， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $