精品解析：四川绵阳市三台县2025-2026学年高一下学期期中教学质量调研测试数学试题

2026年春高一半期教学质量调研测试 数 学 一、单选题：本大题共8小题，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则的虚部是（    ） A. B. C. D. 2. 已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（ ） A. 振幅是3，初相是 B. 振幅是3，初相是 C. 振幅是4，初相是 D. 振幅是4，初相是 3. 已知向量反向共线，且，则向量的方向（   ） A. 与向量方向相同 B. 与向量方向相同 C. 与向量方向相同 D. 与向量方向相反 4. 已知向量，，若，则=（    ）． A. B. C. 8 D. 6 5. 在中，点在边上，，记则（    ） A. B. C. D. 6. 已知三个平面向量两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A. B. 2 C. D. 1 二、多选题：本大题共3小题，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列结论正确的是（   ） A. 若复数满足，则 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 若复数是纯虚数，则实数或 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 10. 已知在四边形ABCD中，，且，为的中点.则下列说法正确的有（   ） A. 四边形的面积为 B. C. 的外接圆的周长为 D. 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. 若，则周长的最大值为 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D. 若的外心为，则 三、填空题：本答题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则的共轭复数是_____． 13. 已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点P是的重心，且，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明或演算步骤. 15. 潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． （1）根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； （2）在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 16. 已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线. （1）求实数的值； （2）若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，四边形构成平行四边形，求点的坐标. 17. 在中，角的对边分别为．已知且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，线段的中点为，求的长． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R．分别是与方向同向的单位向量 （1）若，的夹角为，且，求； （2）在（1）的条件下求的值 （3）若，，求； 19. 阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式； 在中，所对边分别为请回答下面的问题： （1）若的周长为18，且满足，求这个三角形的面积； （2）若的面积为6，其内切圆半径为1，，求、. （3）若，，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春高一半期教学质量调研测试 数 学 一、单选题：本大题共8小题，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知复数满足，则的虚部是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】的虚部为. 2. 已知一个弹簧振子的运动方程为，则该弹簧振子的振幅、初相分别是（ ） A. 振幅是3，初相是 B. 振幅是3，初相是 C. 振幅是4，初相是 D. 振幅是4，初相是 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用振动曲线的相关概念判断即得. 【详解】由弹簧振子的运动方程为，得该弹簧振子的振幅是3、初相是. 故选：B 3. 已知向量反向共线，且，则向量的方向（   ） A. 与向量方向相同 B. 与向量方向相同 C. 与向量方向相同 D. 与向量方向相反 【答案】B 【解析】 【详解】由向量反向共线，且，则可得向量的方向与向量方向相同， 与向量方向相反，与向量方向相反，故B正确. 4. 已知向量，，若，则=（    ）． A. B. C. 8 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】，，， 故，解得. 5. 在中，点在边上，，记则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由线段关系得到向量的关系，再由向量的线性运算求出结果即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，且， ∵，∴， 则 . 6. 已知三个平面向量两两的夹角相等，且满足，则向量在向量上的投影向量是（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先得到两两夹角为0或，分两种情况，结合投影向量的定义和数量积公式得到答案 【详解】两两的夹角相等，故两两夹角为0或， 当两两夹角为0时，故， 故向量在向量上的投影向量是， 当两两夹角为时，， 故向量在向量上的投影向量是 ， 故向量在向量上的投影向量是或. 7. 如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得，，得，在直角三角形中，，即可求解. 【详解】解：如图所示： 因为，， 所以， 则， 在中，由正弦定理得， ， 则， 得， 在直角三角形中，， 得. 故选：D 8. 已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值. 【详解】分别表示与同方向的单位向量， 故为的平分线所在直线， 又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得， 取的中点，则，， ，故， 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 二、多选题：本大题共3小题，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的得0分. 9. 下列结论正确的是（   ） A. 若复数满足，则 B. 复数在复平面内对应的点在第二象限 C. 若复数是纯虚数，则实数或 D. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的坐标表示求解；对于C：根据纯虚数的概念列式求解；对于D：根据复数模长的几何意义运算求解. 【详解】对于A：例如也满足，故A错误； 对于B：复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限，故B正确； 对于C：若复数是纯虚数，则满足， 解得，故C错误； 对于D：因为复数满足，则复数对应的点构成的图形为圆环， 它的面积为，故D正确． 10. 已知在四边形ABCD中，，且，为的中点.则下列说法正确的有（   ） A. 四边形的面积为 B. C. 的外接圆的周长为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用三角形面积求解判断A；先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解外接圆半径判断C；建立平面直角坐标系，利用向量夹角坐标公式求解判断B；利用数量积的坐标运算求解判断D. 【详解】连接，，且，则， 所以，，所以， 所以四边形的面积为 ，故A正确； 连接，在中，由余弦定理可得， 设的外接圆的半径为R，则由正弦定理得，即， 则外接圆的周长为，故C正确； 如图： 建立平面直角坐标系，可得， ，，所以， 又，所以，故B错误； ，，所以，故D正确. 11. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，则下列说法正确的是（    ） A. B. 若，则周长的最大值为 C. 若为锐角三角形，且，则的取值范围为 D. 若的外心为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由正弦定理可得结论；B选项，由余弦定理和基本不等式可得，B正确；C选项，先由正弦定理可得，再求出的范围，可得答案；D选项，利用向量投影的定义和三角形外心的定义计算出. 【详解】A选项，，由正弦定理得， 即，， 因为，所以，故，A正确； B选项，，由余弦定理得， 故，， 因为，当且仅当时，等号成立， 故，解得，， 故的周长最大值为3，B正确； C选项，由正弦定理得，又，， 故， 若为锐角三角形，且，则，， 结合，可得， 故，C错误； D选项，若的外心为，则在上的投影向量为， 又，故，D正确 三、填空题：本答题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知，则的共轭复数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数除法运算和共轭复数概念即可求解. 【详解】由可得：， 所以的共轭复数是， 故答案为： 13. 已知点，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，依题意可得，即可得到方程组，解得即可. 【详解】点，点在线段的延长线上，且， 设点的坐标为，则，，且， 即，解得， 所以点的坐标为． 14. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，点P是的重心，且，则___________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a即可. 【详解】， 整理得， 解得或（舍去）， 或. 又∵点P是的重心， ， 整理得. 当时，，得， 此时， 解得； 当时，，得， 此时， 解得. 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明或演算步骤. 15. 潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． （1）根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； （2）在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 【答案】（1），频率为； （2）某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为；最小值为，对应时刻为. 【解析】 【小问1详解】 由表格知，， 则，， 函数的最小正周期为，故频率为，， 故， 又，故，故， 又，故，解得， 故，频率为； 【小问2详解】 当时，， 当，即时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为1， 的最大值为， 某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为； 最小值为，对应时刻为. 16. 已知是平面内两个不共线的向量，若，，，且三点共线. （1）求实数的值； （2）若，. （ⅰ）求； （ⅱ）若，四边形构成平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1）5 （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【小问1详解】 ， 又，三点共线，设， 则，故，故； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）可知，， 故， 又，，故； （ⅱ）四边形构成平行四边形，故， 又，设，则， 故，所以，解得， 故点的坐标为 17. 在中，角的对边分别为．已知且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，线段的中点为，求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到方程，结合正弦定理得，求出答案； （2）根据三角形面积和余弦定理可得关系式，再利用向量基本定理可得，两边平方后，计算出答案 【小问1详解】 ，故， 由正弦定理得， 又， 故， 即， 因为，所以，故， 因为，所以； 【小问2详解】 由，可得， 由余弦定理得，即， 故， 线段的中点为，故，两边平方得 ， 故； 18. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，ED与AC交于点R．分别是与方向同向的单位向量 （1）若，的夹角为，且，求； （2）在（1）的条件下求的值 （3）若，，求； 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）两边平方后再开方，结合向量数量积运算法则得到答案； （2）转化为进行求解； （3）设两向量夹角为，，根据，得到，根据，得到，从而求出的值 【小问1详解】 ， 故； 【小问2详解】 因为，， 分别是与方向同向的单位向量，故， 故， ， ，故， ； 【小问3详解】 设两向量夹角为，， ， ，即， 即， 即， 因为，所以，故，， ， 则， ，故， 设，则，故， 因为，所以，故， 故，， 故 . 19. 阅读下面的两个材料： 材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式； 在中，所对边分别为请回答下面的问题： （1）若的周长为18，且满足，求这个三角形的面积； （2）若的面积为6，其内切圆半径为1，，求、. （3）若，，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，结合海伦公式进行求解； （2）根据得到，利用海伦公式进行求解； （3）先得到，结合题目条件和正弦定理得到，利用海伦公式和基本不等式进行求解 【小问1详解】 由正弦定理得， 又的周长为18，故， 故， ； 【小问2详解】 的内切圆半径为， 则，故，， 又，故， 又，， 故，，则， 联立与，又，解得； 【小问3详解】 ， 又，所以， 故， 即， 由正弦定理得 又，故，， ， 当且仅当时，等号成立，故面积最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $