精品解析：四川南充高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

南充高中高2025级高一下学期期中考试 数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各角中，与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将角度化为弧度，再根据终边相同的角关系判断可得. 【详解】因为，所以与角终边相同的角为 . 当时，，所以与角终边相同. 而，，所以与角的终边关于轴对称， 与角的终边关于轴对称，与角的终边关于原点对称. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由向量共线的坐标运算可得. 【详解】因为向量，且， 所以 ，解得. 3. 化简表达式，结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据诱导公式化简计算可得. 【详解】由诱导公式， 所以原式. 4. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对两边同时平方，再结合单位向量的性质求出，最后根据向量数量积公式求出夹角. 【详解】已知，两边平方可得. 则，所以.  因为均为单位向量，所以. 根据，，. 将其代入可得：. 则.  设与的夹角为，，且，，可得，即. 因为，所以.  则与夹角的大小是. 故选：C. 5. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍得到， 再向右平移个单位得到. 6. 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法计算即可. 【详解】 由题意可知. 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， ，因为在上单调递增， 所以，又因为，所以 即，综上. 8. 已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值，再计算得到的坐标. 【详解】设，因为正方形的边长， 所以， 四边形周长为， 其中，当时周长最大． 此时，则， 故点的坐标为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知均为非零向量．则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【详解】选项A：若，则，所以，A正确； 选项B：若，则，所以，B正确； 选项C：由可得 ，无法得到， 比如取 ，有 但，C错误； 选项D：是与共线的向量，是与共线的向量， 当与不共线且 时两向量不相等，D错误. 10. 已知函数的部分图象如图所示，点在的图象上．下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的一个对称中心是 C. 在区间单调递增 D. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象上的点求出函数的解析式，结合正切型函数的周期公式可判断A选项，根据定义域包含无定义点可判断B选项，利用正切型函数的对称性可判断C选项，利用三角函数图象变换可判断D选项. 【详解】选项A：由题意可得，因为，所以， 所以 ，又因为 ， 所以，解得， 由图象可知函数的最小正周期满足 即， 所以，又，结合可得， 所以函数的最小正周期，A正确； 选项B：由A选项的分析可知 ，令 ， 解得，取即得， 所以是的一个对称中心，B正确； 选项C：当 时， ，因为 ， 而无定义，所以在区间不单调，C错误； 选项D：将由的图象向左平移个单位长度得到 ， 所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D正确. 11. 在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（ ） A. 若为的垂心，，则 B. 若为的重心，，则 C. 若为的外心，，则 D. 若为的内心，，，（），则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，利用为垂心得到，进而有；对于B选项，利用为重心得到，再根据数量积运算律计算；对于C选项，利用为外心，得到，再根据数量积运算律计算；对于D选项，结合已知边长并运用三角形内心的相关性质计算出和，进而得到，根据平面向量的基本定理可得. 【详解】对于A选项，因为为的垂心，所以，又因为， 所以 ，A正确； 对于B选项，因为为的重心，， 可得，B错误； 对于C选项，因为为的外心，设的中点为，则垂直平分， 所以，同理，所以 ，C正确； 对于D选项，如图所示，为的内心，连接，延长交于， 因为，则点为的中点，且，因为， 可得，由内心性质得， 即，得，所以 ， 因为且不共线，所以，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出，由求解即可. 【详解】因为，所以， 即. 故答案为： 13. 已知向量，若在上的投影向量相等，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据投影向量相等的条件推导出，再利用向量数量积的坐标运算求解. 【详解】由题意可得，由于为非零向量， 从而有，整理得， 所以 ，解得. 14. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且，则的值域为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形为锐角三角形可得，再由余弦定理及对勾函数的性质可得，再将函数进行三角恒等变换为，由正弦函数的性质可得值域. 【详解】因为为锐角三角形，所以, 又，得代入上式，所以， ，得且，所以， 由余弦定理有， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，或时，， 又，当且仅当时取等号. 所以，因为，所以 故 ， 由得，所以， 因此的值域为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意角的终边过点，则， 根据任意角三角函数的定义可得，． 【小问2详解】 由诱导公式得． 16. 已知向量满足，且与的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，故； 【小问2详解】 因为与的夹角为锐角，所以， 即，解得， 若与共线，则，得，此时两向量夹角为0， 综上，的取值范围是． 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间及对称轴； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）单调递减区间为，对称轴为 （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 正弦函数的单调递减区间为， 令，则， 解得， 所以的单调递减区间为； 正弦函数的对称轴为， 令，解得， 所以的对称轴为． 【小问2详解】 令，因为，所以， 所以，即， 所以， 即函数的值域为． 18. 记直线与的边交于两点，且． [Failed to download image : https://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/editorImg/2026/5/16/7223d95c-fcb5-47d2-83d0-cdf66ed2fbf7.svg] （1）若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； （2）若直线恒过的重心，试求的最小值． 【答案】（1）（i）；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）第一小问结合已知条件运用向量的线性运算规律即可表示出，第二小问先将用表示，再根据三点共线得到； （2）利用为重心得到，再根据三点共线得到，运用基本不等式知识即可得到的最小值． 【小问1详解】 （i）因为，所以， 则． （ii）因为，所以，由（i）知， 所以， 因为三点共线，所以，所以． 【小问2详解】 因直线恒过的重心，连接并延长交于点， 则为的中点，所以， 因为，所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为3． 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点．当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：在中，角的对边分别为． （1）若是边长为的正三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）若，且是的费马点． （i）若，求； （ii）在（i）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）由三角形是正三角形得费马点在三角形内且与正三角形的中心重合，进而可得所求距离； （2）（i）由条件及正、余弦定理可得，因而可得费马点在三角形内，设 ，再由条件及数量积的定义得，再由得所求值；（ii）由（i）及余弦定理得，进而得 ，再由不等式恒成立得，用基本不等式求得最小值，进而可所求值的范围. 【小问1详解】 因为是边长为的正三角形，所以三个内角均小于， 故费马点在三角形内且与正三角形的中心重合， 所以，且， 如图：过作于，则，故 所以该三角形的费马点到各顶点的距离之和为 【小问2详解】 因为，由正弦定理， 得，即， 由余弦定理得，因为，所以． 所以的三个内角都小于 （i）由费马点定义知费马点在三角形内，且， 设 ， 所以 即，由 得：，整理得， 因此． （ii）由（i）知① 在中，，，由余弦定理，， 即② 分别在中，由余弦定理，， 将三个等式左右分别相加可得： ， 将①②代入整理得， 于是 ， 即 ， 从而 ， 依题意，当时，不等式恒成立， 即在上恒成立，因为， 当且仅当时等号成立， 故有，即实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充高中高2025级高一下学期期中考试 数学试题 （时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上. 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3．答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后将答题卡交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各角中，与角终边相同的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 化简表达式，结果为（ ） A. B. C. D. 4. 已知均为单位向量.若，则与夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位，得到的图象与下列哪一个函数图象相同（ ） A. B. C. D. 6. 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，则有（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知均为非零向量．则下列结论一定正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，点在的图象上．下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期是 B. 的一个对称中心是 C. 在区间单调递增 D. 的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 11. 在中，角所对的边分别为，为平面内一点，下列说法正确的有（ ） A. 若为的垂心，，则 B. 若为的重心，，则 C. 若为的外心，，则 D. 若为的内心，，，（），则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，则__________. 13. 已知向量，若在上的投影向量相等，则_____． 14. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，且，则的值域为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，角的终边过点． （1）求的值； （2）求的值． 16. 已知向量满足，且与的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 已知函数． （1）求的单调递减区间及对称轴； （2）当时，求函数的值域． 18. 记直线与的边交于两点，且． [Failed to download image : https://qbm-images.oss-cn-hangzhou.aliyuncs.com/QBM/editorImg/2026/5/16/7223d95c-fcb5-47d2-83d0-cdf66ed2fbf7.svg] （1）若与交于点， （i）请用向量表示； （ii）若，求的值； （2）若直线恒过的重心，试求的最小值． 19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”．费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点．当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：在中，角的对边分别为． （1）若是边长为的正三角形，求该三角形的费马点到各顶点的距离之和； （2）若，且是的费马点． （i）若，求； （ii）在（i）的条件下，设，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $