精品解析：四川省绵阳市三台县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

三台县2024年春高一半期教学质量调研测试 数学 一、单选题；本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的振幅、周期、初相为（ ） A. 、、 B. 2、、0 C. 2、、 D. 2、、0 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角,,的对边分别为,,，且，，，则为（ ） A B. C. D. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是 A. B. 1 C. D. 7. 已知中，，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 8. 已知中，，，O内一点，且满足，则（ ） A. 26 B. C. 13 D. 二、多选题：共4小题，每题5分，共20分，每个题目有两个或两个以上选项符合，错选不得分，少选得2分 9. 以下化简正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 要得到函数图象，只需将函数图象上的所有点（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍 D. 先向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 12. 如图，设，是平面内相交成45°角两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上. 13. 已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为______焦耳. 14. 求值：_____． 15. 在中，已知，是关于的方程的两个实根，则______. 16. 某手表的秒针端点到中心的距离为，秒针绕匀速旋转，当时间时，点与表面上标12的点重合，将，两点间的距离（单位：）表示成（单位：s）的函数，则______，. 四、解答题：本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，. （1）求的坐标及的值； （2）求与的夹角的余弦值. 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将图像向右平移个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的倍，得到的图像，求在区间上的值域. 19. 已知，其中，. （1）求的单调递增区间； （2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值. 20. 在中，内角、、的对边分别为、、，且. （1）求； （2）若，且，则的面积为，求、. 21. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得． （1）求BN和AM的长度； （2）求之间的距离． 22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三台县2024年春高一半期教学质量调研测试 数学 一、单选题；本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的振幅、周期、初相为（ ） A. 、、 B. 2、、0 C. 2、、 D. 2、、0 【答案】B 【解析】 【分析】求出振幅，周期，初相. 【详解】根据函数解析式知，振幅为，周期为，初相为. 故选：B. 2. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基底需为不共线的非零向量，由此依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，因为不共线， 且都是非零向量，所以A符合题意； 对于B，因为，所以与共线，故B不符合题意； 对于C，因为为零向量，所以C不符合题意； 对于D，因为，所以与共线，所以D不符合题意； 故选：A 3. 如图为正八边形，其中为正八边形的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正八边形的几何性质可知，结合向量的减法运算，可得答案. 【详解】因为，所以， 故选:A. 4. 在中，内角,,的对边分别为,,，且，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，然后结合正弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以，由正弦定理可得：， 故选：D 5. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用与倍角公式即可求解. 【详解】依题意， ∵， ∴， 两边平方可得， ∴， ∴， ∴． ， ∴， ∴． 故选：B. 6. 如图，在中，是的中点，若，则实数的值是 A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以 作为基底表示出，利用平面向量基本定理，即可求出． 【详解】∵分别是的中点， ∴. 又，∴.故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力． 7. 已知中，，，则（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合同角基本关系先求出，，然后结合诱导公式以及和差角公式进行化简即可求解. 【详解】因为在中，，，所以，， 由题意可得，为锐角且， 若，则为钝角，又可知，，此时，矛盾， 故，则， 故选：B 8. 已知中，，，O是内一点，且满足，则（ ） A. 26 B. C. 13 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，得出点为三角形的外心，根据外心的性质及数量积运算求解即可. 【详解】由，可知O是的外心，如图所示，过点作， 则，分别为，的中点，则， 所以， 故选：A 二、多选题：共4小题，每题5分，共20分，每个题目有两个或两个以上选项符合，错选不得分，少选得2分 9. 以下化简正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合二倍角公式进行化简检验各选项即可. 【详解】对A，，故A错误； 对B，，故B正确； 对C，，故C正确； 对D，，故D正确； 故选：BCD 10. 点，向量，，点是线段的三等分点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合向量的坐标运算，并分类讨论，即可求解. 【详解】设点坐标为，因为向量，，则，， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 当点为靠近点的三等分点时，则，故，解得：，，故点坐标为， 故选：AD 11. 要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度 C. 先向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍 D. 先向右平移个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意，根据函数的图象变换规律，得出结论. 【详解】要得到函数图象，只需将函数图象上的所有点先横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度; 要得到函数的图象，只需将函数图象上的所有点先向右平移个单位长度，再把横坐标伸长到原来的2倍即可； 故选：AC 12. 如图，设，是平面内相交成45°角的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记为，在该坐标系中，，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算可判断A，由模的求法可判断B；由平面向量数量积的运算和垂直的定义可判断C，由投影向量的求法计算可判断D. 【详解】由题可得：，，， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，所以与不垂直，故C错误； 对于D，在方向上的投影向量为，故D错误； 故选：BCD 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案直接填答题卷的横线上. 13. 已知力作用于一物体，使物体从点处移动到点处，则力对物体所做的功为______焦耳. 【答案】21 【解析】 【分析】根据力对物体所做的功为，求解即可. 【详解】因为力，位移，所以力对物体所做的功为焦耳， 故答案为：21 14. 求值：_____． 【答案】4 【解析】 【分析】对已知通分，逆用两角和与差的三角函数公式以及正弦的倍角公式化简． 【详解】因为． 所以 故答案为：． 15. 在中，已知，是关于的方程的两个实根，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合韦达定理与两角和的正切公式，可得，从而得解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 所以，，因为， 因为，所以， 故答案为： 16. 某手表的秒针端点到中心的距离为，秒针绕匀速旋转，当时间时，点与表面上标12的点重合，将，两点间的距离（单位：）表示成（单位：s）的函数，则______，. 【答案】 【解析】 【分析】求出，再计算、两点间的距离. 【详解】由题意知，，所以，两点间的距离， 故答案为： 四、解答题：本大题共6个小题，其中第17题10分，其余每小题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，. （1）求的坐标及的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）结合向量的线性运算，以及向量模公式，即可求解； （2）结合平面向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，. 则， 【小问2详解】 因为，， 所以 18. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将图像向右平移个单位长度，再保持纵坐标不变，将横坐标缩短为原来的倍，得到的图像，求在区间上的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数图像，利用“五点法”作图求解即可； （2）利用函数图像变换求出函数的解析式，再利用正弦函数的性质即可得解. 【小问1详解】 依题意，由图像得， ，解得，又，则， 所以， 因为点在的图像上，则， 所以，，即，，而，则， 所以． 【小问2详解】 依题意，， 因，则， 而函数在上单调递增，在上单调递减， 因此有， 故在上的值域为． 19. 已知，其中，. （1）求的单调递增区间； （2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用二倍角公式和辅助角公式进行化简，再由正弦函数的单调性可求解； （2）根据已知先求角，再将化弦整理即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 令， 解得：， 所以的单调递增区间 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， 因， 则 20. 在中，内角、、的对边分别为、、，且. （1）求； （2）若，且，则的面积为，求、. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，进而可求的值； （2）由题意利用三角形面积公式可求，由余弦定理可得，联立方程即可求解，的值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 所以， 可得：， 因为，所以， 所以， 因为，所以 【小问2详解】 因为，且，则的面积为， 所以， 又由余弦定理可得：， 所以， 由，解得：，或 因，所以 21. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得的俯角分别为，在B点测得的俯角分别为，同时测得． （1）求BN和AM的长度； （2）求之间的距离． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理即可求解出，再利用条件得到； （2）在中，利用条件和（1）中的结果，求出，在中，再利用余弦定理即可求解. 【小问1详解】 在中，由题知,，所以， 由正弦定理得，所以， 在中，又因为，得到， 所以. 【小问2详解】 在，由（1），，， 所以， 在中，，，，由余弦定理得，所以. 22. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值； （2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由； 【答案】（1） （2）存在点 【解析】 【分析】（1）根据向量的伴随函数求出，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可得解； （2）确定得到，再计算，，根据向量垂直关系，结合三角函数有界性得到答案. 【小问1详解】 向量的伴随函数为， 则，所以， 又，所以，所以， 故； 【小问2详解】 ， 相伴特征向量为， 故，则， ， 设，， 故，， ，故， 即，， ，， 故，又， 当且仅当时，和同时等于，等式成立， 故在图像上存在点，使得. 【点睛】关键点点睛：理解相伴特征向量和相伴函数的定义是解决本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$