2026年广东广州市部分学校中考二模九年级数学试卷

数 学 考生号： 姓名： 本试卷共8页，25小题，满分120分。考试用时120分钟。 注意事项： 1答题前，考生务必在答题卡第1面、第3而、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、 姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。 3.非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作 图的题目，用2B铅笔画图：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不 能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带。不按以上要求作答的答案无放。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.） 1.我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念.检测4包薯片，其中超过标准质量 的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是 () A.+0.1g B.-0.3g C.+0.2g D.-0.4g 2.如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正 方体的个数，则该几何体的主视图为 () 23 21 图1 C D 3.如图，一副直角三角板如图摆放，若∠x=55°，则∠B的度数是 图2 A.15° B.25° C.35° D.45° 4.下列各式计算正确的是 () A.5=3 B.2+√5=√5 C.5a3b-4a3'b=1 D.（-3ab)2=9a2b2 5将-次函数了=-2x子的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以 为 () A.1 B.2 C.3 D.4 6.某不等式组的解集在数轴上表示如图，从-2，-1,3，-3中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为 () -3-2-1012 图3 B C.1 7.为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线.优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板， 且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同.设优化后B生产线每小 时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是 () A.900600 B.900-600 xx-30 x+30x C.600(x-30)=900x D.+30x 600900 8.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C',若B'C⊥AC,∠BAB'=43°，则∠C的度数为 () B 图4 A.33° B.43° C.47° D.57° 9.如图，A,B是⊙0上的两点，C为劣弧AB的中点，LACB=120°，若0A=2,则四边形0ACB的面积为 () 0 B 图5 A.√5 B.25 C.35 D.45 10.已知非负实数x,y满足3x+y-4=0和2x-y+z=0,则下列式子正确的是 A.x-z=4 B.0≤x≤1 C.5y-3z-8 D.z≥0 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.）】 11.2025年，我国实名登记无人机总数突破328万架，328万用科学记数法表示为 12.如图，点D,E,F分别在△ABC的三边上，若DE∥AC,DF∥AB, 手凭的值为 EB3’ E 图6 13.某校为了解学生报名参加社团活动的情况，对2022~2025年学生参加社团活动的总人数及参加科技社 团的人数的情况统计并作出如下统计图： 参加社团活动总人数 参加科技社团人数 人数4 人数 500H 500 120 120 400 100 300 300 80 63 200 60 200 100 40 30 100i 20 20H 02022202320242025年份 02022202320242025年份 图7 该校参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数中占比最高的年份是 年，其最高占比为 %. 14.已知点P(1,m),Q(3,m)都在抛物线y=ax2-bx+1上，则b= （用含a的代数式表示). 15.我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.“幻圆”各圆周上的数字之和相 同，同一圆两条直径上的数字之和也相同.如图是一个关于有理数的幻圆模型，则α+b的值为 a (6 (3 图8 图9 16.如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E,F分别是BC,CD边的中点，作点E关于CD的对称点G,连接 DE,AF,CG,DG,AF交BD于点P,延长AF交DG于点Q 则下列结论： ①AF=DG; ②AF⊥DE; ③BG=2BP; ④AP=DQ. 其中正确的结论有 ,(填写所有正确结论的序号) 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17.(本小题满分4分)解方程：2(x+1)=5-3x. 18.(本小题满分4分)如图，在口ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD,BC于点E,F. 求证：AE=CF 图10 19.(本小题满分6分)已知P=y:(x-2y士). (1)化简P; (2)若点(x,y)在函数y=x+3的图象上，求P的值. 20.(本小题满分6分)某校引人AI学情分析系统辅助数学教学，为评估效果，随机抽取20名学生，统计使 用系统后成绩提升及知识点掌握度评分，数据统计表如下： 个人成绩提升分组(x/分) 频数 知识点掌握度评分（分） 0<x≤5 3 88 5<x≤10 5 82 10<x≤15 m 75 15<x≤20 4 68 根据以上信息，解答下列问题： (1)m= 成绩提升的中位数所在分组为 (2)AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升≥10分，请通过计算判断是否达标（求平均数取组 中间值)； (3)AI系统提示：知识点掌握度≥80分，但成绩提升≤5分的学生可能存在“高原现象”，请针对该群体 提出一条教学干预建议，并说明理由. 21.(本小题满分8分)如图，已知△ABC. (1)尺规作图：△ABC和△ABD关于AB所在直线对称，请画出△ABD(保留作图痕迹，不用写作法)； (2)在(1)的条件下，过点B作BE∥AC交AD于点E,若线段BE和DE的长是方程x2-6x+5=0的两个实 数根，求AC的长 图11 22.（本小题满分10分)某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线=之+b,需与一条洋流边界线⅓=华(x >0)交汇以采集水样.无人机与洋流边界在交汇点A(3,2)相遇 (1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k; (2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的 坐标 y4北 东 0 图12 23.(本小题满分10分)当光从介质1射人介质2时，会发生折射现象.物理学中把人射角日，与折射角日，的 正弦之比称为介质2相对介质1的“相对折射率”，即相对折射率几= sin 6 当外部环境不变时，两种介 sin 0, 质的相对折射率是固定的， 如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部B点光源发出的一束光线到达液面C点后，折 射光线为CA,入射点为C点，MN为法线.测得BN=12mm,液体深度为16mm,∠ACM=60°， (1)求空气相对该液体的相对折射率；（注：入射角，折射角指入射光线，折射光线与法线的夹角，法线与 液面垂直，结果保留根号) (2)另一束光线BE经该液体折射，折射光线为ED,入射点为E点，PQ为法线，若折射角∠DEP=45°，求 CE的长； (3)若<1，当人射角增大到一定程度时，会出现全反射现象，即不再出现折射光线.请利用三角函数的 知识来解释这一现象」 NO B 图13 24.(本小题满分12分)已知平面直角坐标系x0y中，抛物线的表达式为y=ax+bx-2(a>2). (1)证明：该抛物线与x轴一定有2个交点； (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A,B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点E为x轴下方抛物 线上的一点，且∠AEB=90°. ①若点E的纵坐标为-1，求a的值； ②作点E关于原点的对称点P,过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q.求证：P,A,Q,B四点共圆. 25.（本小题满分12分)【阅读材料】德国数学家约翰内斯·米勒在1471年提出了一个有趣的问题：如图①， 一根竖直悬挂的杆AB,在地面（直线）上的哪个点P能让杆AB看起来最长（也就是∠APB最大）.这个 最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一 利用圆的知识，其实这个问题并不难解决.如图②，作⊙0过点A,B且与直线1相切于点C,当点P 异于点C时，容易证明∠ACB>∠APB,所以当点P与点C重合时，∠APB最大，也就是说，当△PAB的外 接圆与L相切时，∠APB最大。 【解决问题】 (1)请完成材料中∠ACB>∠APB的证明； (2)材料中的最大视角问题，设AB=a,点B到直线l的距离为b,当∠APB最大时，点P到AB所在直线 的距离是多少？（用含a,b的代数式表示) (3)如图③，E是射线AM上的一点，AB⊥AM,AB=2W5,C是AE的中点.把CB绕点C顺时针旋转60°得 到CD,连接DE.求当∠CDE最大时，AC的长， 图① 图② 图③ 图14 数学 一、选择题 7.B【解析】设优化后B生产线每小时组装x块太 快速对答案：1~5 ABCDD6~10 ABCBC 阳能板，优化后A生产线比B生产线每小时多组装 30块太阳能板，.优化后A生产线每小时组装(x+ 1.A【解析】小1+0.11=0.1,1-0.31=0.3,1+0.21= 30)块太阳能板，优化后A生产线组装900块太阳 0.2,1-0.41=0.4,而0.1<0.2<0.3<0.4，.最接近 标准的是+0.1g 能板所用时间为0，优化后B生产线组装600块 2.B【解析】：共3列，从左到右各列最高为2,3,1， 主视图为B. 太阳能板所用时间为○”优化后A生产线组装 3.C【解析】由图形可知，一个三角板的直角顶点落 900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所 在另一个三角板的边上，、∠α+∠B=90°，.∠B 用时间相同， 900600 =35° x+30x 4、D【解析】开立方开不尽，.≠3，故A选项：8.C【解析】由旋转的性质得LCAC=∠BAB=43°， 不正确；√2和√3不是同类二次根式，不能合并，故B B'C'⊥AC,LC'=90°-43°=47°，.∠C=∠C 选项不正确；5a3b-4a'b=ab≠1，故C选项不正确； =47°. (-3ab)2=9a2b2,故D选项正确. 9.B【解析】如解图，连接OC,AB交于点D,C为 5.D【解析]将-次函数y=-2x乙的图象向上平移 劣弧AB的中点，∠ACB=120°，.∠AC0=∠BC0= 60°，：OA=0C=0B,∴.△A0C和△B0C为等边三 m个单位长度，得到)=-2x子+m,由题意知-次 角形，.∠A0C=∠B0C=60°，四边形OACB是菱 形，AB⊥OC,.AD=BD,OA=2,∴.OD=1,CD 函数y=-2x 2+m的图象不经过第三象限，：m- =1,∴.AD=0A·sin∠AOC=√3，.AB=2AD=25, 7 1 ?≥0，m≥。，故m的值可以为4 2 .S网边形04C8= AB,00=x2x2=25 P解题技巧 一次函数图象的平移 向左平移 m(m>0)个 B 单位长度 →y=k(x+m)+b C 向右平移 第9题解图 m(m>0)个 直线 单位长度 简记为 10.C【解析】3x+y-4=0,y=4-3x,x,y为非 →y=k(x-m)+b y=kx+b 向上平移 “左加右减， (k≠0) m(m>0)个 上加下减” 负实数y=4-3≥0，解得气有05气手 单位长度 y=kx+b+m 已知2x-y+z=0,将y=4-3x代人，得2x-(4-3x)+ 向下平移 z=0,化简，得z=4-5x.逐一验证选项：选项A.x- m(m>0)个 =4,把z=4-5x代人，得x-(4-5x)=6x-4=4,解 单位长度 →y=kx+b-m 4 注：左（右）平移时，只变“x”,给“x”加（减）m;上 得x=子，并非对所有满足条件的x都成立，因此 (下)平移时，给等号右端整体加（减）m 6.A【解析】：从-2，-1,3，-3中任选一个数，有4 A结误：选项B.0≤≤1,0≤≤号选项B错 种等可能的结果，其中是不等式组的整数解的悄况 误；选项C.5y-3z=8,把y=4-3x,z=4-5x代入左 有2种，.从-2，-1,3，-3中任选一个数，是该不等 边，得5(4-3x)-3(4-5x)=20-15x-12+15.x=8, 式组的整数解的概率为了 与右边相等，因此C正确；选项D.z≥0，当x=1 时，z=4-5×1=-1<0,因此D错误 二、填空题 -22 11.3.28×10° =3AB,:点E,G关于CD对称，∠DCE= 12 AE 4 AE CD 4 ∠DCG=90°，CE=CG,∴.E,C,G三点共线，点E ,【解析1：DEMC,EB3EBBD3 DF∥AB, AF BD 3 是BC的中点，BE=BC=CG,BG=子BC= FC DC 4 8，C0-28肌放③猫误如解 3 13.2023,30 【解析】2022年参加科技社团的人数 200×10% 在该年参加社团活动总人数的占比为 图，连接CP,:四边形ABCD是正方形，.AD= CD,∠ADP=∠CDP,又DP=DP,.△ADP≌ =10%,2023年参加科技社团的人数在该年参加 △CDP(SAS),AP=CP,∠DAP=∠DCP,由①知 社团活动总人数的占比为80×10%=30%，2024 △ADF≌△DCE,∴∠DAF=LCDE,:点E,G关 于CD对称，.LCDE=LCDC,.LCDG=∠DAF 年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人 =∠DCP,又.DF=CF,∠DFQ=LCFP,∴.△DFQ 63 数的占比为00×10%=21%，2025年参加科技社 ≌△CFP(ASA),.DQ=PC,∴.DQ=AP,故④正 确，综上所述，正确的结论序号为①②④， 团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为 D 120×100%=24%,占比最高的年份是2023年， 500 其最高占比为30%. 14.4a【解析】点P和点Q的纵坐标都是m,且两 点都在抛物线y=ax2-bx+1上，∴.点P和点Q关 B 第16题解图 于该抛物线的对称轴对称.抛物线的对称轴为 三、解答题 直线者名小名片学260 17.答题模板 15.-4【解析】根据题意可得，a-6+b+8=3-8+7-4, 解：去括号，得2x+2=5-3x, 解得a+b=-4. 移项，得2x+3x=5-2,…2分 ⑦新考法解读教育部印发的关于《中华优秀传统 合并同类项，得5x=3, 文化进中小学课程教材指南》的通知，在中小学教材 系数化为1，得x=亏 3 …4分 中纳入我国传统文化内容，对于学生感悟中华民族 智慧与创造、坚定文化自信具有重要作用.本题以 18.证明：四边形ABCD是平行四边形， 《续古摘奇算法》中的“幻圆”为背景，考查代数推理. ∴.AD∥BC, 16.①②④【解析】①.四边形ABCD是正方形，∴.AD .LDAO=∠BCO,∠AE0=∠CFO, =CD=BC,∠ADF=∠DCE=90°，：点E,F分别是 O为对角线AC的中点， BC,CD边的中点，∴.DF=CE,∴.△ADF≌△DCE 0A=0C,…2分 (SAS),.AF=DE,点E,G关于CD对称，.DE .在△AE0和△CF0中， =DG,.AF=DG,故①正确；②如解图，记AF交 T∠AE0=∠CFO DE于点H,由①知△ADF≌△DCE,.∠AFD= ∠EAO=∠FC0, ∠DEC,:∠CDE+∠DEC=180°-LDCE=90°， 0A=0C ∠AFD+∠CDE=90°，.∠DHF=90°，.AF⊥DE, .△AEO≌△CFO(AAS), 故②正确；③：四边形ABCD是正方形，.DF∥ AE=CF.…4分 AB,∴.∠FDP=∠ABP,∠DFP=∠BAP,.△DPF 2解题技巧 BB2BP=子BD,:B助是 DF DP 1 全等三角形的判定思路 △BPA,. 3 找夹角相等一SAS 正方形的对角线BD=万AB,BP=子x厅AB 1.已知两对等边{找直角-HL 找第三边相等-SSS 2.已知 (2)如解图，过点B作BE∥AC交AD于点E, [边为角的对边→找任意一对等角→AAS 一对 ∴.∠EBA=∠BAC, 找等角的另一邻边相等一SAS 等边 边为角 :△ABC和△ABD关于AB所在直线对称， 找等边的另一邻角相等一ASA 和一 的邻边 .∠BAE=∠BAC,AC=AD 找等边的对角相等→AAS 对等角 ∴.∠EBA=∠BAE, 已知两（找夹边相等→ASA ∴.BE=AE, 3. 对等角（找其中一对等角的对边相等一→AAS ,线段BE和DE的长是方程x2-6x+5=0的两个 注：“HL是判定两个直角三角形全等的特有方法，对 实数根 于一般三角形不适用， ∴.BE+DE=6, 19. 解：(1)P=2(x2y-士) ∴.AD=AE+DE=BE+DE=6, AC=AD=6.…8分 =花y2-2xy+y2 2解：(1)将A(3,2)分别代入y,=2*+6和%=(x x (x-y)2 >0), 1 …3分 得2=2×3+6,2= 2 , (2):点(x,y)在函数y=x+3的图象上， .1 解得6=2，k=6: 4分 x-y=-3, (2)如解图，过点P,A分别作x轴，y轴的垂线，两 y33 … 6分 垂线交于点B,连接AP,则有∠PAB=45°，∠PBA 20.解：(1)8,10<x≤15；… 2分 =90° (2)（3×2.5+5×7.5+8×12.5+4×17.5)÷20= .△APB为等腰直角三角形， 10.75(分)>10分，.达标；…4分 y4北 (3)建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性 学习资源（答案不唯一，合理即可） 理由：该群体知识点举握度已达88分（较高水 B 平)，说明基础知识扎实，但成绩提升仅0-5分，表 明可能处于“高原期”—基础题已熟练但缺乏突 东 0 破瓶颈的动力或难度适配的练习.通过提供更高 第22题解图 阶的思维训练或变式问题，帮助其突破舒适区，实 .PB=AB, 现成绩进一步提升.… …6分 ⑦新考法解读《义务教育课程标准(2022年 0e, 版)》中提到：“创设合理情境，要结合学生认知水 平和生活水平经验，设计合理的生活情境、数学情 则3-a=6-2, a 境、科学情境，关注情境的真实性，并注重情境的 .a2-5a+6=0, 多样化，让学生感受数学在现实世界的广泛应用， 解得a1=2,a2=3(舍去)， 体会数学的价值”.本题以A】学情分析系统为背 ∴.a=2, 景，考查数据代表的计算及应用。 .P(2,3) 10分 21.解：(1)画出△ABD如解图所示；（作法不唯一）3分 B 更多新考法试题见“考前预测大题"P24第12题 23.解：(1)在R△BCN中，∠BNC=90°， BC=√CW+BW2=√16+12=20(mm), BN 12 3 ∴.sin∠BCN= BC205, 第21题解图 相对折射率n=sin∠BCN sin∠ACM 3 初中学业水平考试命题工作的意见》中也明确提 5 到：积极探索跨学科命题.本题第(1)问考查阅读 sin60° 题意、理解新概念：第(2)问要求利用新概念解决 问题：第(3)问则利用数学知识解释物理现象，体 5 现数学的应用性。 3 2 24.（1)证明：令y=0,则ax2+bx-2=0, .△=b2-4ac=b2+8a, 23 5 >26≥0， 即空气相对该液体的相对折射率为2 5；…3分 .4=b2+8a>0, .该抛物线与x轴一定有2个交点；…4分 23 (2)由(1)可知，n= 5, (2)①解：设A(x1,0),B(x2,0)(x1<x2),则x1和 x2是方程ax2+bx-2=0的两个根， sinLBEQ_2√3 sin∠DEp-5, aa 2 .sin∠BEQ= -×sin45° 设点E(t,s), 5 AE2=(x1-t)2+s2=x子-2x,+i2+s2, 25√2 BE2=(x2-t)2+s2=x-2x2+i2+s2, 5x2 AB2=(x1-x2)2=x-2x1x2+x号， 哈 ∠AEB=90°，.AE2+BE2=AB2, Γ5 .x7-21x1+12+52+x3-21x2+t2+s2=x-2x1x2+x3, B BE' 整理，得2+52-t(x,+x2)+x12=0, 设BQ=√6x,则BE=5x, 42++4.6_2=0, aa 在Rt△BEQ中，BQ+EQ=BE2, 整理，得al2+as2+bl-2=0,① 即(6x)2+162=(5x)2, E(t,s)在抛物线y=ax2+bx-2上， .6x2+256=25x2, .a42+bl-2=s,将其代入①式，可得as2+s=0, 解得x=16V9 19(负值已舍去)， 当s=-1时，代人可得a=1;…8分 ②证明：设点E(L,s),A(x1,0),B(x2,0), BQ=6x=6×16四16I4 由(2)①可得as2+s=0, 1919 1 ∴.5=0（舍去）或s=- a CE=NQ=BN-BQ=12-16/114 19； …7分 E(4,a, (3)由n=sin sin 0 可得sin02= sin 02 n P(-,）.0(-4,a2-a-2). …9分 当n<8in日，<1时，则sin02>1,而一个角的正弦不 证法一：如解图，设直线PQ与x轴交于点M,连接 可能大于1， AP,EP,BQ,则M(-t,0), :.当人射角的正弦值大于相对折射率n时，不存 .AM=Ix-(-t)I=Ix+tl,BM=Ix2+tl, 在折射角，也就不出现折射光线。…10分 更多新考法试题见“考前预测大题"P25第2题 .Qlad-8-21. 9新考法解读2022课标中29次提及“跨学科”， :抛物线与x轴交点为A(x1,0),B(x2,0), 要求初步了解数学作为一种通用的科学语言在其 .y=ax2+bx-2=a(x-x,）(x-x2）, 他学科中的应用，通过跨学科主题学习建立不同 当x=-t时，等式变为ad2-bt-2=a(t+x,)(t+x2), 学科之间的联系.同时，教育部发布的《关于加强 ..OM=lat2-6t-21=la(+x)(t+x2)1, PM .tan∠PAM= 再根据一元二次方程根的判别式b2-4ac判断： AM ①当b2-4ac=0时，抛物线与直线有唯一交点； 1 ②当b2-4ac>0时，抛物线与直线有两个交点； ③当b2-4ac<0时，抛物线与直线无交点. 1x,+l 2.图解法 1 a(切， = 首先找到只有一个交点的直线，再将直线向两侧平移 或旋转，则一侧满足无交点，另一侧满足有两个交点。 an LBOM Q新考法解澳近年来，二次函数背景下的数形结 1x2+l 合综合压轴题不断推陈出新，涌现出诸多值得关注 1a(x,+1)(x2+t)l 的新考法.此类题强调代数运算与几何推理的有机 a(名切， 1 融合，既是对学生综合运用能力的深度检验，也是 初高衔接阶段的重要思维训练内容.本题的创新点 .LPAB=∠PQB, 在于：不仅系统考查抛物线的基本性质（开口方向、 P,A,Q,B四点共圆. 12分 对称轴、顶点坐标等)，更深入融合了勾股定理、两 点间距离公式、四点共圆等几何知识，要求学生在 函数图象中准确识别并自主构造几何关系. 25.（1)证明：：⊙0与直线1相切于点C, .点C是⊙0与直线l的唯一公共点， BM支 ·.当点P异于点C时，点P在圆外， 如解图①，设AP与⊙0交于点D,连接BD, 第24题解图 AB=AB, .∠ACB=∠ADB, 证法=点P(-4,）,Q(-,2-b-2), :∠ADB=∠DBP+∠APB>∠APB, :P0的垂直平分线为直线了号行7心，其中 .∠ACB>∠APB;…4分 y0=a2-b1-2=a(x,+t)(x2+t), AB的垂直平分线为直线x=1:,设这两条中垂 0 2 B 线的交点为N则空孕 p 则有=营P(写 第25题解图① 2a2 (2)解：由题意可知，当点P与点C重合时，∠APB PN=(西)2+(9-2)3， 最大.如解图②，设AB所在直线与l相交于点F, 2 22a1 则CF即为此时点P到AB所在直线的距离，连接 ∴AW2-PN2=(x+)(-x,-1)+9=0(利用平方差 OA,OC,过点0作OE⊥AB于点E, 公式)，.AN=PN, A 由垂直平分线性质，可知AN=BN=PN=QN, E *0 .P,A,Q,B四点在以点N为圆心的圆上 …12分 F P解题技巧 第25题解图② 抛物线与直线的交点问题： :⊙0与直线1相切于点C, 1.判别式法 .OC⊥CF, 联立抛物线与直线的解析式得到一元二次方程， OE⊥AB,AB⊥1， AE=BE=宁4B=号，且四边形0EFC为矩形。 .∠GBF=LABC, BGBF BA BC 0C-EF=BE+BF-2.0E-CF &△BGF∽△BAC,AC=B GF BF =√3，LBGF= ÷0A=0C=g+b, ∠BAC=90°， 2 点F在过点G且与BG垂直的直线上运动， 在△0AE中，0B=√0-AE=(号6)2-（受2 .当△BAF的外接圆与直线CF相切时， ∠AFB最大， √ab+b, 延长BA,交GF于点H. .CF=0E=√ab+b; 此时，∠AFG=∠ABF,（弦切角，证明略) 即当∠APB最大时，点P到AB所在直线的距离是 又，∠AHF=∠FHB, ∴.△AHF∽△FHB, √ab+b2:…8分 (亦可证∠BCF=∠BAC,从而△BCF∽△CAF,故 AH HF 而得到CF2=BF·AF=b(a+b)=ab+b2) ® 即HF2=AH·BH, (3)解：如解图③，延长DC到点F,使CF=DC,连 ,在△AGH中，∠GAH=180°-∠BAG=60°，∠AGH 翠 接AF,BF, =90°-∠BGA=60°， AC=CE,∠ACF=∠ECD,CF=CD, .△AGH为等边三角形， .∴.△ACF≌△ECD ..GH=AH=AG=AB=23, ∴.LAFC=∠EDC, 由旋转性质可知，BC=CD,∠BCD=60°， .HF2=AH·BH=23×45=24, ∴.BC=CF,∠BCF=120°， .HF=26, .∠CFB=30°， .GF=GH+HF=25+26, ∴.∠CDE=∠AFC=∠AFB+30°， ·AC=G =2+22.…12分 .当∠AFB最大时，∠CDE最大， 5 Q新考法解澳本题紧扣新课标导向，采用“情境 引入一方法迁移一综合探究”的层进式结构.前两 问以阅读情景材料引入，注重信息提取能力，学生 需从材料中抽象出几何模型，按提示完成基础推 理与计算，体现“从生活到数学”的考查导向，最后 一问突出综合探究与思维迁移.在理解前两问的 第25题解图③ 基础上，融合中点性质、相似三角形、圆的性质等 核心几何知识，并结合材料中的方法提示，要求学 在AB左侧作△ABC,使得△ABC~△CBF,连 生自主进行条件转化、构造辅助图形、多步推理与 接FC, 代数运算. 则∠BGA=∠GBA=∠CBF=30 BC BA 'BF BC' 数学答案到此结束，如未做下科试卷，请勿翻页。 11 【火多预，关让公众号：溜开学】