精品解析：2025年广东省广州市海珠区中山大学附属中学中考数学二模试卷

2025年广东省广州市海珠区中山大学附中中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，与2025互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A. B. C D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列不等式变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某校在校本拓展课程中开设日常生活劳动教育课．为了解学生一周劳动次数的情况，初三6班学生在调查中发现，全班同学每周做家务情况如表：则这组数据的众数和中位数分别为（    ） 次数 1 2 3 4 5 6 7 人数 3 5 8 14 9 5 2 A 4和5 B. 4和4 C. 14和5 D. 14和4 6. 如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（    ） A. B. C. D. 7. 深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力阻力臂动力动力臂．现已知牛，米，牛，米，则与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（    ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ） A. 18 B. 20 C. 36 D. 24 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 函数自变量的取值范围是_______． 12. 如图，若，则______． 13. 如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为______． 14. 如图，已知和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．周长为5，若，则的周长为___________． 15. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围______． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为______． 三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 如图，且，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 初中学业水平考试中理化科目更重视对学生独立思考、创新能力、分析和解决问题能力的考查．某校为培养学生动手和解决问题的能力，在期末考试中增设实验考试，规定每位学生必须在“A．测量物体运动的速度，B．测量小灯泡的电功率，C．粗盐中难溶性杂质的去除，D．溶液酸碱性的检验”四个实验中抽取两个实验完成，假设小明抽到每个实验的可能性相同． （1）若小明从中任意抽取一个实验，求小明抽到实验D概率； （2）若小明从中任意抽取两个实验，请用列表或画树状图（树状图也称树形图）中的一种方法，求小明抽到的两个实验均为化学实验的概率． 21. 如图，地面上点，，在一条直线上，两个观察者从，两地观测空中处一个无人机，分别测得其仰角为和，已知，两地相距36米． （1）求观测者到处的距离； （2）当无人机沿着与平行的路线飞行6秒后达到，在处测得该无人机的仰角为，求无人机飞行的平均速度．（结果保留根号） 22. 物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间存在关系．某兴趣小组为探究一弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的关系，进行了6次测量，下表是测量数据： 所挂物体质量/ 0 10 20 30 40 50 弹簧的长度/ 6 9 12 15 18 21 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在弹性限度内，弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____________函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数表达式； （3）当弹簧长度为厘米时，所挂物体的质量是多少千克？ 23. 如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全． （2）推理与计算：在（1）的条件下，若． ①求证：直线是的切线； ②若，，求的半径． 24. 如图1，已知中，，，点为边上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，与交于点． （1）当时，求的值； （2）试探究猜想、、之间满足的数量关系，并给予证明； （3）在点在边上运动的过程中，、的面积分别记为、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广东省广州市海珠区中山大学附中中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，与2025互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：与2025互为相反数的是， 故选：A． 2. 下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不轴对称图形，故该选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C、是轴对称图形，故该选项符合题意； D、不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的运算．根据同底数幂的乘除法，积的乘方，幂的乘方，完全平方公式的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故本选项符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 已知，下列不等式变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：A、由可得，原式变形正确，不符合题意； B、由可得，原式变形正确，不符合题意； C、由可得，原式变形错误，符合题意； D、由可得，则，原式变形正确，不符合题意； 故选：C． 5. 某校在校本拓展课程中开设日常生活劳动教育课．为了解学生一周劳动次数的情况，初三6班学生在调查中发现，全班同学每周做家务情况如表：则这组数据的众数和中位数分别为（    ） 次数 1 2 3 4 5 6 7 人数 3 5 8 14 9 5 2 A. 4和5 B. 4和4 C. 14和5 D. 14和4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了众数和中位数的定义，根据众数和中位数的定义，结合数据表进行计算．众数是出现次数最多的数据值，中位数是将数据按大小顺序排列后处于中间位置的数． 【详解】解：表中次数4对应的人数最多（14人）， ∴众数为4． ∵总人数为（偶数个数据）， ∴中位数为第23和24个数的平均值 ∵累计人数：次数1（3人）、次数2（累计8人）、次数3（累计16人）、次数4（累计30人）． ∴第23和24个数均落在次数4的区间内， ∴中位数为4． 故选：B． 6. 如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦长，桨轮船的轮子半径为，则轮子的浸水深度为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用垂径定理，勾股定理求出OD，即可由求解． 本题考查垂径定理，勾股定理，熟知 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：A 7. 深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为，若采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，行程问题常用的等量关系为：时间路程速度．设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据采用无人机配送，其行程只需，且配送时间比传统方式快，列出方程即可． 【详解】解：设传统方式配送速度为，则采用无人机配送的速度是，根据题意： ， 故选：B． 8. 在生产生活中，经常用到杠杆平衡，其原理为：阻力阻力臂动力动力臂．现已知牛，米，牛，米，则与的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键． 利用阻力阻力臂动力动力臂，将已知数据代入得出函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力阻力臂动力动力臂，已知阻力和阻力臂分别是20牛和5米， ∴动力关于动力臂的函数解析式为：， 则，是反比例函数，B选项符合， 故选：B． 9. 如图，点P为外一定点，连接，作以为直径的，与交于两点Q和R，根据切线的判断，直线和是的两条切线．由得，，，即切线长定理．上述过程中，可以判定的定理是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理，掌握直角三角形全等的判定定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到，根据切线的判定定理得到直线和是的两条切线，利用证明，得到答案． 【详解】解：是的直径， ， ，， 直线和是的两条切线， 在和中， ， ， ，， 判定的定理是， 故选：D． 10. 如图，抛物线与轴交于点，将抛物线向右依次平移两次，分别得到抛物线，与轴交于点，直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和是（ ） A. 18 B. 20 C. 36 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，根据平移得出二次函数关系式，是解题的关键．先求出的坐标，得出抛物线向右每次平移的距离为4，根据二次函数为零时两个根的关系即可解答． 【详解】解：将代入抛物线， 得或，即， 故抛物线向右每次平移距离为4， 设，，，，，的横坐标分别为，，，，，， ，同时在抛物线和直线上， 即，的横坐标为的根， ， ， ， 直线与这3条抛物线的6个交点的横坐标之和． 故选C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 函数的自变量的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由有意义可得：再解不等式可得答案． 【详解】解：由有意义可得： 即 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键． 12. 如图，若，则______． 【答案】##144度 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出的度数，进而利用邻补角解答即可． 本题考查平行线的性质，解答本题的关键是根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 如图，圆锥的底面半径，母线长，则圆锥的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解． 【详解】解：圆锥的侧面积为：． 故答案为： 14. 如图，已知和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．周长为5，若，则的周长为___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵，即， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ，， ， ， ， 与的周长比为， 周长为5， 的周长为15． 故答案为：15． 15. 已知二次函数，当时，函数值y的取值范围______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，由二次函数可得，抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再根据函数图像特点求出最大值和最小值即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线，开口向下， ∴当时，函数有最大值； ∵， ∴当时，函数值， 当时，函数值， ∴当时，函数值y的取值范围是：， 故答案为：． 16. 如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，如图1所示， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值， 此时如图2所示， 在等腰直角三角形中，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ，， ， ， 即取得最小值时，的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，转化线段是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程， 先因式分解得，可得或，即可求出解． 【详解】解：， ， 或， ，． 18. 如图，且，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先由平行线的性质得到，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 详解】【解】解： ， 当时，原式． 20. 初中学业水平考试中理化科目更重视对学生独立思考、创新能力、分析和解决问题能力的考查．某校为培养学生动手和解决问题的能力，在期末考试中增设实验考试，规定每位学生必须在“A．测量物体运动的速度，B．测量小灯泡的电功率，C．粗盐中难溶性杂质的去除，D．溶液酸碱性的检验”四个实验中抽取两个实验完成，假设小明抽到每个实验的可能性相同． （1）若小明从中任意抽取一个实验，求小明抽到实验D的概率； （2）若小明从中任意抽取两个实验，请用列表或画树状图（树状图也称树形图）中的一种方法，求小明抽到的两个实验均为化学实验的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）方法一根据列表法求概率； 方法二，画树状图求概率． 【小问1详解】 小明从中任意抽取一个实验，求小明抽到实验D的概率为； 【小问2详解】 方法一，根据题意，列表如下： A B C D A B C D 由表可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中小明抽到的两个实验均为化学实验的结果有2种． ∴小明抽到的两个实验均为化学实验的概率为． 方法二，画树状图如下： 由图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等，其中小明抽到的两个实验均为化学实验的结果有2种． ∴小明抽到的两个实验均为化学实验的概率为． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，列表法或画树状图法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 21. 如图，地面上点，，在一条直线上，两个观察者从，两地观测空中处一个无人机，分别测得其仰角为和，已知，两地相距36米． （1）求观测者到处的距离； （2）当无人机沿着与平行的路线飞行6秒后达到，在处测得该无人机的仰角为，求无人机飞行的平均速度．（结果保留根号） 【答案】（1）观测者到处的距离为36米； （2）无人机飞行的平均速度为每秒米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等角对等边． （1）利用三角形的外角性质求得，再利用等角对等边求解即可； （2）作于点，作于点，在中，解直角三角形求得，，求得，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴； 答：观测者到处的距离为36米； 【小问2详解】 解：作于点，作于点，则四边形是矩形， 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴无人机飞行的平均速度(米/秒)． 答：无人机飞行的平均速度为每秒米． 22. 物理实验证实：在弹性限度内，弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间存在关系．某兴趣小组为探究一弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间的关系，进行了6次测量，下表是测量数据： 所挂物体质量/ 0 10 20 30 40 50 弹簧的长度/ 6 9 12 15 18 21 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点．若在弹性限度内，弹簧的长度（单位：）与所挂物体质量（单位：）之间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____________函数关系；（请选择“一次”“二次”或“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数表达式； （3）当弹簧长度为厘米时，所挂物体的质量是多少千克？ 【答案】（1）图见解析，一次 （2） （3）当弹簧长度为时，所挂物体的质量为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意得到二者成一次函数关系是解题的关键。 （1）根据表格中的数据，在坐标系中描点，再根据这些点在一条直线上即可得到答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出当时x的值即可得到答案. 【小问1详解】 解：描点如下： 由图象可知，这些点在一条直线上，故二者可能是一次函数关系； 【小问2详解】 解：设关于的函数表达式为． 将点代入，得，解得． ∴关于的函数表达式为． 【小问3详解】 解：当时，，解得． 答：当弹簧长度为时，所挂物体的质量为． 23. 如图，在中，． （1）实践与操作：点O在线段上，以O为圆心作，恰好过A，C两点，并与线段交于另一点D．小圳在作图时，不小心擦掉了圆心以及部分圆弧，如图所示．请你用尺规作图：作出点O与点D，并补全． （2）推理与计算：在（1）的条件下，若． ①求证：直线是的切线； ②若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图中的画垂直平分线，垂径定理，圆周角定理，切线的判定．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，切线的判定定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，即可； （2）①连接，根据圆周角定理可得，再由，可得，即可求证；②设的半径为r，则，，在中，根据勾股定理求出r，即可． 【小问1详解】 解：如图所示，、点O、点D即为所求． 【小问2详解】 ①证明：连接， ， ， ， ， ， ． 又是的半径， 直线是的切线． ②解：设的半径为r，则，， 中，， 即， 解得， 故的半径为． 24. 如图1，已知中，，，点为边上一动点（不与点、重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，与交于点． （1）当时，求的值； （2）试探究猜想、、之间满足的数量关系，并给予证明； （3）在点在边上运动的过程中，、的面积分别记为、，求的最小值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）由旋转得，，，从而，再求出，，可得，进而可求出； （2）过点作于点，由等腰三角形的性质得，，证明，从而可证，由得，进而可证； （3）过点作于点，过点作于点，过点作于点，由得，可得，由，可得，从而，设，，中，，，进而可求出当时，的最小值为． 【小问1详解】 解：如图2， ∵， ∴ 由旋转得，， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 猜想：． 证明：如图3，过点作于点， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； 【小问3详解】 解：如图4，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，， ∵，∴，，， 中， ， ∴ ∵ ∴当时，的最小值为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，利用二次函数求最值，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$