精品解析：2026年河南省实验中学中考二模考试数学试题

数学九年级 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 正数和负数可以表示具有相反意义的量．如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　） A. B. C. D. 3. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，大约是一根头发丝直径的二十分之一，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 将直尺和按如图所示的方式放置，边与直尺的交点对应的刻度分别为和．若点分别是的中点，则边的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的内接三角形，是的直径，是上一点，连接，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 共享经济已经进入人们的生活．小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在扇形中，点M在上，点N为上一点，连接，将扇形沿折叠，点A恰好与点O重合，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 酸碱中和反应是一种放热反应．图甲是室温下将一定体积的稀盐酸溶液置于烧杯中，通过温度传感器记录初始温度，然后逐滴加入等浓度的氢氧化钠溶液，并持续搅拌使反应充分进行，在此过程中，数据采集器连续采集温度数据，并在计算机上显示．如图乙所示是溶液温度随时间的变化图象．则下列说法不正确的是（ ） A. 反应开始前，稀盐酸溶液的温度为 B. 混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降 C. 至时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同 D. 混合溶液的温度不低于时，持续的时间为 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个随增大而减小的一次函数的表达式：____． 12. 已知，且m为整数，则m的值为_______． 13. 不透明的口袋中装有个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有________个． 14. 如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为4的圆分别与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，线段于点，线段长度的最小值为_________，最大值为________． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 现在人们越来越习惯借助各种人工智能软件来辅助工作、学习和生活，市场上也涌现出了各类人工智能软件，经过市场调研，佳佳决定从，两个人工智能软件中选择一个进行使用，以下是佳佳通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能软件的相关评价，并整理、描述、分析如下（单位：分）： a．语言交互能力得分（满分10分） ： ： b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力得分和数据分析能力得分统计表 产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 7.7 8 8 6.9 7.6 7.5 7.0 7.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________；________；________（填“”或“”）； （2）通过以上数据分析，你认为佳佳应该选择哪个人工智能软件？并说明理由．（写出2条理由即可） 18. 小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 19. 如图，是的直径，是上一点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在线段的左侧作，并交延长线于点； （2）求证：是的切线； （3）若的半径是，，则线段的长为________． 20. 为促进学生养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需元． （1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 21. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角（从下往上看，视线与水平线的夹角）为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角（从下往上看，视线与水平线的夹角）为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比即． （1）请计算台阶的高度； （2）求出孔子雕像的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 22. 一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________． ①；②；③．（填序号即可，2.5922）． 23. 【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 （1）如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 （2）如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 （3）如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学九年级 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 正数和负数可以表示具有相反意义的量．如果气温为“零上”记作，那么气温为“零下”应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用正负数来表示具有相反意义的量，根据正负数表示相反意义的量，零上温度记为正数，则零下温度记为负数，由此求解即可． 【详解】解：零上记作， 零下应记作． 故选：C． 2. 下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形． 【详解】解：A、主视图为矩形、俯视图为圆，故本选项不合题意； B、主视图和俯视图均为矩形，故本选项符合题意； C、主视图为等腰三角形、俯视图为圆； D、主视图为矩形、俯视图为三角形，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟练掌握常见的几何体的三视图是解题的关键． 3. 2026年4月，我国科学家在嫦娥五号月壤中发现新矿物“镁嫦娥石”，其颗粒极小，最小直径为米，大约是一根头发丝直径的二十分之一，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值较小的数，形式为，其中，为整数． 【详解】解：． 4. 将直尺和按如图所示的方式放置，边与直尺的交点对应的刻度分别为和．若点分别是的中点，则边的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知的长度以及是的中位线，然后根据中位线的性质可知，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知，， 又∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． 5. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化为同分母作差，再约分化简即可． 【详解】解： ． 6. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 故选：C． 7. 如图，是的内接三角形，是的直径，是上一点，连接，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得，根据直角三角形的两个锐角互余，可得，根据圆周角定理可得． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， ． 8. 共享经济已经进入人们的生活．小明收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为、、、的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查树状图法或列表法求概率，利用树状图展示出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：根据题意画树状图，如下： 由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种， 所以 故选：D 9. 如图，在扇形中，点M在上，点N为上一点，连接，将扇形沿折叠，点A恰好与点O重合，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接，由折叠得，，，解直角三角形求出，求出，然后利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接 由折叠得，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 10. 酸碱中和反应是一种放热反应．图甲是室温下将一定体积的稀盐酸溶液置于烧杯中，通过温度传感器记录初始温度，然后逐滴加入等浓度的氢氧化钠溶液，并持续搅拌使反应充分进行，在此过程中，数据采集器连续采集温度数据，并在计算机上显示．如图乙所示是溶液温度随时间的变化图象．则下列说法不正确的是（ ） A. 反应开始前，稀盐酸溶液的温度为 B. 混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降 C. 至时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同 D. 混合溶液的温度不低于时，持续的时间为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A．由图可知，反应开始前，稀盐酸溶液的温度为，原说法正确； B．由图可知，混合溶液的温度随时间的增大先升高后下降，原说法正确； C．由图可知，至时，时间每增加，混合溶液的温度增加量不相同，原说法正确； D．由图可知，混合溶液的温度不低于时，持续的时间，原说法错误． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 请写出一个随增大而减小的一次函数的表达式：____． 【答案】（答案不唯一，所有满足的一次函数均符合要求） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，一次项系数小于时，随增大而减小，据此写出符合条件的函数表达式即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为， 随增大而减小， ，可取，， 可得符合条件的函数表达式为（答案不唯一，所有满足的一次函数均符合要求）． 12. 已知，且m为整数，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，且m为整数， ∴， 故答案为：． 13. 不透明的口袋中装有个黄球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，估计口袋中白球大约有________个． 【答案】 【解析】 【分析】大量反复试验下频率稳定值即为概率，设出白球个数，根据概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球大约有个， ∵摸到白球的频率稳定在附近， ∴， 解得， 经检验，为原方程的解． 14. 如图，这是相机快门打开过程中某参数下的镜头光圈示意图．若镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，则光圈叶片（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正六边形的性质求得，， ，得出是等边三角形，从而可得，然后得出，然后利用勾股定理求得，从而可求得，再求出，然后利用圆面积减去即可． 【详解】解：镜头（）的直径为，通光直径（正六边形最长的对角线长）为，如图，连接，，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴， ， 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴． 15. 如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，半径为4的圆分别与轴交于、两点，与轴交于、两点，点为上一动点，线段于点，线段长度的最小值为_________，最大值为________． 【答案】； 【解析】 【分析】先将的坐标求出来再用勾股定理求，可得，即F在以为直径的圆上运动，取中点M，M即为新圆圆心，求出其坐标，这样就变成了点G，到上的点的最大距离与最小距离，最大距离为点到圆心距离加半径，最小距离为点到圆心距离减半径． 【详解】解：连接，如图， ，半径是， 在直角三角形中， ，且在轴的负半轴上， 即， ， 即， 在直角三角形中， ， ， ， 即F在以为直径的圆上运动，取中点M，连接， 则，半径为， ， 半径， 半径． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算与化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 现在人们越来越习惯借助各种人工智能软件来辅助工作、学习和生活，市场上也涌现出了各类人工智能软件，经过市场调研，佳佳决定从，两个人工智能软件中选择一个进行使用，以下是佳佳通过调查问卷的方式收集的10位用户对，两个人工智能软件的相关评价，并整理、描述、分析如下（单位：分）： a．语言交互能力得分（满分10分） ： ： b．数据分析能力得分（满分10分） c．语言交互能力得分和数据分析能力得分统计表 产品 语言交互能力得分 数据分析能力得分 平均数 中位数 众数 平均数 中位数 方差 7.7 8 8 6.9 7.6 7.5 7.0 7.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：________；________；________（填“”或“”）； （2）通过以上数据分析，你认为佳佳应该选择哪个人工智能软件？并说明理由．（写出2条理由即可） 【答案】（1）；； （2）选择A软件，理由见解析 【解析】 【分析】（1）众数：一组数据中出现次数最多的数；中位数：将数据从小到大排列后，中间两个数的平均数；方差：波动越大，方差越大； （2）从平均数、中位数、众数、方差角度对比，优先选择平均数高、中位数高、 方差小的软件． 【小问1详解】 解：B软件语言交互能力得分：， 其中6出现次数最多，故； 由折线图得A软件数据分析能力得分：5,9,7,8,7,8,6,8,6,5， 从小到大排序,5,5,6,6,7,7,8,8,8,9， 中位数为第5、6个数的平均数：； 由折线图可知，A软件数据分析能力得分波动小于B软件，波动越小方差越 小，故， 综上：；；． 【小问2详解】 解：选择A软件，理由如下： A软件语言交互能力得分的平均数更高，说明整体语言交互能力评价更好； A软件数据分析能力得分的方差更小，说明数据分析能力得分更稳定． 18. 小军用四根硬纸条和钉子制作了一个矩形，按如图方式摆放在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，边落在轴上，点的坐标为．若将矩形向右平移1个单位长度，则点恰好落在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）若固定矩形边，向右“推”矩形，得到如图所示平行四边形，当时，边交反比例函数图象于点，求点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】第（1）小题根据点平移后坐标为，根据待定系数法代入即可求解； 第（2）小题先做，因为，，再把点纵坐标代入反比例函数解析式即可求得点坐标． 【小问1详解】 解：由题意得，点平移后落在反比例函数图象上的坐标为， ，． ． 【小问2详解】 解：过点作于点E，如图所示， ∵四边形是矩形， ． ∴， 在中，， ． ，代入得． ． 19. 如图，是的直径，是上一点． （1）请用无刻度的直尺和圆规在线段的左侧作，并交延长线于点； （2）求证：是的切线； （3）若的半径是，，则线段的长为________． 【答案】（1）图见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）按照画一个角等于已知角的尺规作图流程进行作图即可； （2）连接，由圆周角定理可得，结合与可得，，因此，命题得证； （3）利用三角函数计算出，使用勾股定理求出，作差求出即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：由（2）可知，， 在中，， 由勾股定理可得，， ∴． 20. 为促进学生养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需元． （1）求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ （2）该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】（1）每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元； （2）最节省费用的购买方案是购买篮球个，购买排球个，最少费用是元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，涉及方程思想、不等式思想、函数最值思想．解题关键是准确列方程和不等式，易错点是忽略“篮球和排球均需购买”的条件． （1）通过设篮球和排球的价格为未知数，利用“2个篮球费用等于3个排球费用”和“2个篮球加5个排球共元”两个条件列方程组求解；（2）设购买篮球个数，用总数表示排球个数，根据“排球个数不超过篮球个数的2倍”列不等式确定篮球个数范围，再通过总费用函数的单调性求最小值． 【小问1详解】 解：设每个篮球的价格为元，每个排球的价格为元， 根据“购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等”，得； 根据“购买2个篮球和5个排球共需元”，得； 联立方程组， 解得． 答：每个篮球的价格是元，每个排球的价格是元． 【小问2详解】 解：设购买篮球个，总费用为元， 根据“购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍”，得， 解得. 总费用， ， 随的增大而增大， 又且m为整数， 当取最小值20时，取得最小值， 此时（元）， 排球的个数为（个）． 答：最节省费用的购买方案是购买篮球个，购买排球个，最少费用是元． 21. 某中学校园教学楼前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草间，小明站在雕像前，自C处测得雕像顶A的仰角（从下往上看，视线与水平线的夹角）为，小颖站在教学楼门前的台阶上，自D处测得雕像顶A的仰角（从下往上看，视线与水平线的夹角）为，此时，两人的水平距离为，已知教学楼门前台阶斜坡的坡比即． （1）请计算台阶的高度； （2）求出孔子雕像的高度．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1）台阶的高度为； （2）孔子雕像的高度约． 【解析】 【分析】（1）直接根据计算即可； （2）过作于，可知四边形是矩形，得到，，设，根据三角函数求出x的值即可． 【小问1详解】 解：，， ， 即台阶的高度为； 【小问2详解】 解：过作于， 由题意得，四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，， ， ， 在中，， ， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：孔子雕像的高度约． 22. 一次足球训练中，小华从球门正前方的A处射门，足球射向球门的运行路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数解析式； （2）若防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守，他的最大起跳高度是，小明需要站在离球门距离多远的地方才可能防守住这次射门？ （3）在射门路线的形状、最大高度均保持不变情况下，适当靠近球门进球的把握会更大，小华决定将足球向球门方向移动一定距离后再射门，他最多可以向球门移动__________． ①；②；③．（填序号即可，2.5922）． 【答案】（1） （2） （3）② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，灵活运用二次函数的图象与性质是解答的关键． （1）先由题意得到抛物线的顶点，故设顶点式求函数解析式即可； （2）将代入（1）中解析式中求解x值即可； （3）设小华向球门方向移动，则平移后的抛物线解析式为，根据题意将点代入求解b值即可． 【小问1详解】 解：由题意，该抛物线的顶点坐标为，， 故设抛物线的函数解析式为， 将代入，得，则， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，由得，， ∵防守队员小明正在抛物线对称轴的左侧加强防守， ∴， 即小明需要站在离球门距离的地方才可能防守住这次射门； 【小问3详解】 解：设小华向球门方向移动，则平移后的抛物线解析式为， 将代入，得， 解得或（不符题意，舍去）， 即他最多可以向球门移动约， 故答案为：②． 23. 【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 （1）如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 （2）如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 （3）如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 【答案】（1）是； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）先确认、是矩形一组邻边、的中点，再确认连接的顶点不在这组邻边上，最后验证直角恰好位于中点处，完全符合定义，即可得出结论； （2）先由和矩形的直角，通过“同角的余角相等”证明，得到；再结合、是中点的性质，将各边用、表示后代入相似比，化简后即可求出的值； （3）先根据“半直三角形”的定义，分两种情况构造平行四边形；再通过作垂线构造相似三角形，利用的比例关系得到线段比；结合“中点”和“平行四边形对边相等”的性质建立方程，求出各线段长度后用勾股定理计算邻边、，最终得到的值． 【小问1详解】 解：是； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：或． ①如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ②如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设，，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $