精品解析：山东滨州市沾化区共进合作联盟2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

共进合作联盟2026年春期中教育质量评价测试题 八年级数学试卷 本试卷共4页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．） 1. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2， B. 1，2， C. 3，4，5 D. 6，8，12 3. 如图，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为，P点的纵坐标为，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 6. 在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A. ，， B. ， C. ， D. ，， 7. 如图，中D、E分别是、的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（    ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 8. “赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 如图所示的图象(折线)描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离(千米)与行驶时间(时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为________． 12. 如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为______． 13. 如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为_____________． 14. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_______． 15. 如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 三、解答题（本题8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 计算 （1） （2） 17. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 18. 探究风筝牵引线的长度 示意图 测量数据 ①水平距离的长为24米． ②根据手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 解决问题 （1）放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ （2）为了让风筝表演更具趣味性，风筝高度需要再降低8米，且的长度不变，则小明应收回多少米的牵引线？ 19. 如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长． 20. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 （1）在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； （2）声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； （3）某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 21. 在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： （1）化简：______； （2）若，求的值． 22. 如图，在平行四边形中，连接对角线． （1）按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形． 23. 【猜想探究】 如图1，在中，、分别为、的中点，连接： 操作1．将绕点按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点，使，连接． 试探究，与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理：                ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线、相交于点，四条边上的中点分别为、、、，依次连接、、、，得到四边形．求证：①四边形是平行四边形； ②当与满足______时，四边形是菱形，当与满足______时，四边形是矩形． ③若，，，则四边形的面积为______．   【问题解决】 （3） 如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点和点分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 共进合作联盟2026年春期中教育质量评价测试题 八年级数学试卷 本试卷共4页．满分120分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项．） 1. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，分母有理化，正确计算是解本题的关键．根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的性质化简对B进行判断；根据二次根式的加法对C进行判断；根据分母有理化对D进行判断． 【详解】解：A、，原计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，原计算正确，故不符合题意； D、，原计算正确，故不符合题意． 故选：B． 2. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ） A. 1，2， B. 1，2， C. 3，4，5 D. 6，8，12 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，能构成直角三角形； B、，能构成直角三角形； C、，能构成直角三角形； D、，不能构成直角三角形． 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 3. 如图，以点O为圆心，以的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A．若点A的坐标为，P点的纵坐标为，则P点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由点A的坐标为，得到 ，过P作轴于B，设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， 过P作轴于B， 设， ，， ， ， ， 故选：A． 4. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的定义和函数图象，根据“自变量的每一个值，因变量有唯一的值与之对应”判定即可． 【详解】解：从B、C、D选项中的图象可知，每一个，都有唯一的值与之对应，因此能表示y是x的函数，不符合题意； A选项中，当时，每一个，都有两个值与之对应，因此不能表示y是x的函数，符合题意． 故选：A． 5. 若一个正多边形的每个内角都是，则这个多边形的边数是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角问题．熟练掌握正边形的每个内角的度数为，是解题的关键．根据正边形的每个内角的度数为，进行求解即可． 【详解】解：设该正多边形的边数为， 由题意得， 解得， 故选：B． 6. 在四边形中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ） A. ，， B. ， C. ， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形、矩形、菱形与正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题的关键． 根据正方形的判定逐项判断即得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项不符合题意； B、，无法判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，故本选项符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 如图，中D、E分别是、的中点，F是上一点，，若，，则边的长是（    ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出，进而求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质计算即可． 本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：，E分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，E是AC的中点， ， 故选：C． 8. “赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为， ∴， ∵， ∴图2中小正方形的边长为3， ∴ 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴ ∴图1中的直角三角形面积为 故选：C． 9. 如图所示的图象(折线)描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离(千米)与行驶时间(时)之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了140千米；②汽车在行驶途中停留了1小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时；④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图像上的特殊点以及函数图像自身的实际意义进行判断即可. 【详解】解：由图象可知，汽车走到距离出发点140千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了280千米，①错；从3时开始到4时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时在停留，停留了4-3=1小时，②对；汽车用9小时走了280千米，平均速度为：280÷9≠30米/时，③错.汽车自出发后6小时至9小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，④错. 故答案为A. 【点睛】本题考查由函数图象的实际意义，理解函数图像所反映的运动过程是解答本题的关键. 10. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②证△OMB△OEB得△EOB△CMB； ③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF； ④由②可知△BCM△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半继续求解即可． 【详解】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC，故①正确； ②∵FB垂直平分OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC△EOA， ∴FO=EO， ∴OB⊥EF， ∴△FOB≌△OEB， ∴△EOB与△CMB不全等，故②错误； ③由△OMB≌△OEB≌△CMB 得：∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵DF∥BE且DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF，故③正确； ④在直角△BOE中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BOE=1：2， 又∵FM∶BM=1∶3， ∴S△BCM = S△BCF= S△BOE ∴S△AOE：S△BCM=2∶3 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个， 故选：B． 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若代数式有意义，则的取值范围为________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意得到，解不等式组即可． 【详解】解：代数式有意义， ， 解得且． 12. 如图所示，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可得余下部分的面积． 【详解】解：由条件可知两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长是， ∴大正方形的面积是， ∴余下的面积是． 13. 如图，中，，将折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键． 14. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，且，，则菱形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意易得，然后可得，则有，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 15. 如图，已知正方形的边长为，是对角线上一点，于点，于点，连接，，则的最小值为________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，结合正方形性质、勾股定理求出，证明四边形是矩形即可得，再根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：连接，如下图： 正方形中，，， ， 又，， 四边形是矩形， ， 则的最小值即为的最小值， 当时，最短， 此时， ， 即的最小值为． 三、解答题（本题8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键． 在中，利用勾股定理求出的长，在中，根据勾股定理逆定理求出，再利用四边形的面积为进行计算即可． 【详解】解：连接， 在中，， 由勾股定理得：， 在中，，， ， ， ， ， 四边形的面积为． 18. 探究风筝牵引线的长度 示意图 测量数据 ①水平距离的长为24米． ②根据手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米． ③小明牵线放风筝的手到地面的距离为米． 解决问题 （1）放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ （2）为了让风筝表演更具趣味性，风筝高度需要再降低8米，且的长度不变，则小明应收回多少米的牵引线？ 【答案】（1）安全；（2）4米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握将实际问题转化为几何问题成为解题的关键． （1）先运用勾股定理求得，进而求得，再与20米比较即可解答； （2）风筝高度需要再降低8米，此时米，然后运用勾股定理求出此时风筝线的长为26米，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：（1）∵， 由勾股定理得：， 所以， 所以此时风筝的高度是安全的． （2）风筝高度需要再降低8米，此时米， 所以此时风筝线的长为：米， ∴米． 答：小明应收回4米的牵引线． 19. 如图，E、F是▱ABCD的对角线AC上的两点，且BE⊥AC，DF⊥AC，连接BE、ED、DF、FB． （1）求证：四边形BEDF为平行四边形； （2）若BE＝4，EF＝2，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD，由平行线的性质得出∠BAE＝∠DCF，证明△ABE≌△CDF得出AE＝CF，得出OE＝OF，即可得出结论； （2）由（1）得：OE＝OF＝EF＝1，由勾股定理得出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：连接BD交AC于O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△ABE和△CDF中，， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴OE＝OF， 又∵OB＝OD， ∴四边形BEDF为平行四边形； （2）解：由（1）得：OE＝OF＝EF＝1， ∵BE⊥AC， ∴∠BEO＝90°， ∴OB＝， ∴BD＝2OB＝2． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 20. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．某科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的温度变化存在如下的关系： 气温t（） 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度v（） 331 334 （1）在这个变化过程中，　 　是自变量，　 　是因变量； （2）声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为　 　； （3）某日的气温为10，小乐看到烟花燃放3s后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】（1）气温，声音在空气中的传播速度 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了运用函数概念解决实际问题,理解题意是解题的关键． （1）结合题意运用函数的定义进行求解即可； （2）根据表中信息，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大，得到答案； （3）根据路程速度时间进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； 【小问2详解】 解：由题意得，气温每上升1声音在空气中的传播速度增大， 声音在空气中的传播速度v（）与气温t（）的关系式可以表示为， 故答案为：； 【小问3详解】 解： （） 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 21. 在解决问题“已知，求的值”时，小蓝是这样分析与解答的： ， ， ，， ， ． 请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题： （1）化简：______； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）把二次根式分母有理化即可； （2）根据题中给出的例子进行计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， ，即， ， ． 22. 如图，在平行四边形中，连接对角线． （1）按要求尺规作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作图形中，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据要求作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，进而得到，根据垂直平分线的性质得到，，，证明，得到，进而可证四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵的垂直平分线为直线， ∴，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 23. 【猜想探究】 如图1，在中，、分别为、的中点，连接： 操作1．将绕点按顺时针方向旋转到的位置． 操作2．延长到点，使，连接． 试探究，与有怎样的位置关系和数量关系？ （1）结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理：                ． 【结论应用】 （2）如图2，四边形中，对角线、相交于点，四条边上的中点分别为、、、，依次连接、、、，得到四边形．求证：①四边形是平行四边形； ②当与满足______时，四边形是菱形，当与满足______时，四边形是矩形． ③若，，，则四边形的面积为______．   【问题解决】 （3） 如图3所示，在一个四边形的草坪上修一条小路，其中点和点分别为边和边的中点，且，，，求小路的长度． 【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； （2）①证明见解析；②，；③ （3） 【解析】 【分析】（1）通过旋转构造全等三角形，利用平行四边形的判定与性质推导中位线性质； （2）①根据平行四边形两边平行且相等的性质证明；②结合菱形、矩形的判定，利用中位线与对角线的关系推导；③先由中位线得边长，再由夹角求平行四边形面积； （3）构造三角形，利用中位线定理和直角三角形斜边中线性质求解． 【小问1详解】 解：绕点顺时针旋转得到， ， ，， ， 是中点， ， 且， 四边形是平行四边形， ，， 又， ， 综上，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 【小问2详解】 证明： 分别为的中点， 是的中位线， ，， 同理，是的中位线， ，， ，， 四边形是平行四边形； 解：， 当时，，四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， 当时，，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形； 解：， 由，得， ． 【小问3详解】 解：连接，取中点，连接、， 、分别为、中点， 是中位线，，； 是中位线，，， ，， ， ， ，即是直角三角形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $