精品解析：福建南平市建瓯市2025—2026学年第二学期八年级期中练习卷 数学

建瓯市2025—2026学年第二学期八年级期中练习卷 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐一分析选项即可． 【详解】解：A、，被开方数25含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； B、的被开方数17不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义； C、，被开方数0.49含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式； D、的被开方数含有分母，不是最简二次根式． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于零列式求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：D 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数列式是解题的关键． 3. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，2，3 B. 2，3，4 C. 6，7，8 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】若三角形三边长满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，据此验证各选项即可． 【详解】解：对于选项A．，，，不满足条件，不能组成直角三角形． 对于选项B．，，，不满足条件，不能组成直角三角形． 对于选项C．，，，不满足条件，不能组成直角三角形． 对于选项D．，，可得，满足条件．能组成直角三角形． 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减、性质、乘除运算法则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A、∵与不是同类二次根式，不能合并，∴A选项错误； B、∵，算术平方根的结果为非负数，∴B选项错误； C、∵ ，∴C选项错误； D、∵，等式成立，∴D选项正确． 5. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．点是的中点，连接，若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到，O为的中点，进而根据中位线定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线，相交于点， ∴，O为的中点， ∵点是的中点， ∴． 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的任意四边形不一定是矩形，因此A错误． B选项，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，有一组邻边相等的任意四边形不一定是菱形，因此B错误． C选项，四边形内角和为，若三个角为直角，则第四个角为，即四个角都是直角，因此该四边形是矩形，因此C正确． D选项，一组对边相等，另一组对边平行的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，因此D错误． 7. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据正方形的性质，等边三角形的性质，推出，，等边对等角，进行求解即可． 【详解】解：在正方形的外侧，作等边三角形， 则：， ∴， ∴； 故选：B． 8. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为10，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先利用平行四边形的性质得到边角关系，再由全等三角形的判定方法解题，求得的长，证明即可解题． 【详解】解：四边形是平行四边形，周长为10， 在与中 ， 则的周长 ． 9. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理与赵爽弦图的应用，核心是利用大、小正方形的面积，结合直角三角形的边长关系，逐一验证三个推断的正确性． 【详解】解： 由勾股定理可知，①正确； ， ，②正确； ，， ，③正确． 10. 如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先结合矩形的性质得出，，，证明，则，，点在第二象限，即可得出点的坐标是． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， 则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在第二象限， ∴点的坐标是． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. _______． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 如图，图形中的值为_________． 【答案】95 【解析】 【分析】根据多边形内角和及平角的定义计算即可． 【详解】解：如图， ， ∵， 解得：． 13. 如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 【答案】60 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，证明是等边三角形，可知的度数． 【详解】解：∵，为中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 14. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得，，则是直角三角形，根据勾股定理得的长，得，即可得． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 即， ∴， ∴， 即点D表示的数为：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及数轴上的点与实数的一一对应的关系，解题的关键是勾股定理求出的长． 15. 如图，为美化环境，某小区从一块正方形空地中划出两块面积分别为和的小正方形种植特色花卉，剩余部分种植草坪，则种植草坪部分的面积为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出，，然后列式求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示： 由题意可得：，， 故两个阴影部分面积和为：， 故答案为：36． 16. 如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 【答案】30 【解析】 【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以为直径的半圆面积加上以为直径的半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和 ． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】解：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 19. 如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 【答案】线段的最小值为 【解析】 【分析】先运用勾股定理的逆定理得出，再结合垂线段最短，得出当时，的值最小，最后运用等面积法列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴是直角三角形且 当时，的值最小 则 ∴ ∴线段的最小值为． 20. 如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． （1）证明：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据长方形的性质得到，进而得到，根据折叠的性质可知，根据等角对等边可证； （2）设，据长方形的性质得到，，，则，由（1）知，根据勾股定理求出x的值即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由（1）知， ∴， 在中，根据勾股定理： ， 即， 解得， ∴． 21. 如图，在平行四边形中，，垂足为点，，垂足为点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明，得到，可知平行四边形是菱形； （2）根据平行四边形的性质得到，根据垂线的定义得到，求出四边形内角和，即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，内角和为， ∴． 22. 如图，点是矩形的边上一点，且． （1）尺规作图：在的延长线上找到一点，连接，使得四边形是菱形，（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）在的延长线上截取线段，使得，连接即可．根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）连接，证明是等边三角形，得出，根据可得结论． 【小问1详解】 解：如图所示，菱形即为所求， 理由：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，周长为32， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 23. 高空抛物被称为“悬在城市上空的痛”，哪怕是微小的物品，从高空落下也可能造成严重伤害．不考虑空气阻力时，物体自由下落的时间（单位：秒）与下落高度（单位：米）近似满足公式．物体下落时的冲击能量（单位：焦耳）满足公式物体质量（千克）×下落高度（米）．科学常识：冲击能量达到20焦耳时足以造成颅骨骨折，达到65焦耳时会对无防护人体造成致命伤害． （1）一个装有水总质量为0.2千克的塑料水瓶从45米高的阳台自由落下，求它落到地面的时间，并通过计算说明这个水瓶是否会对人体造成致命伤害； （2）实验表明：一个质量为0.07千克的鸡蛋，从11楼窗台落下产生的冲击能量足以造成颅骨骨折．求这个鸡蛋至少需要从第几层窗台落下，就会对人体造成致命伤害？（已知该小区每层楼高3米，窗台比所在楼层地面高1米，1楼地面高度为0米）． 【答案】（1）它落到地面的时间为，这个水瓶会对人体造成致命伤害 （2）这个鸡蛋至少需要从第32层窗台落下，就会对人体造成致命伤害 【解析】 【分析】（1）根据可知落到地面的时间，根据物体质量（千克）×下落高度（米）求出冲击能量，与65焦耳比较即可； （2）设这个鸡蛋从第层窗台落下，根据题意求出的值，进而得到的值，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵（焦耳）， ∵， ∴它落到地面的时间为，这个水瓶会对人体造成致命伤害； 【小问2详解】 解：设这个鸡蛋从第层窗台落下， 则， ∴焦耳， 当时，即， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴这个鸡蛋至少需要从第32层窗台落下，就会对人体造成致命伤害． 24. 阅读材料 黄金分割点：若线段上的点满足（其中），则称点为线段的黄金分割点，比值称为黄金比． 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金比的矩形，称为黄金矩形． （1）验证黄金分割点 （2）构造并验证黄金矩形 已知线段，按以下步骤进行尺规作图（对应图1）： ①过点作，垂足为点，使得，连接； ②以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点（得到的点满足）． 沿用（1）中得到的线段及它的黄金分割点，继续完成以下操作（对应图2）： ①以为边，在的上方作正方形； ②连接正方形的对角线； ③过点作，垂足为点，线段分别交、于点、； ④过点作线段，分别交、于点、，得到四边形． 请结合上述材料，完成下列问题： （1）如图，已知线段，点是线段的两个黄金分割点（其中），点是线段的中点，求线段的长； （2）请结合上述作图步骤1，证明图1中的点是线段的黄金分割点； （3）请结合上述作图步骤2，证明图2中的四边形是黄金矩形． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据黄金分割点的意义得，由点是线段的中点得，根据可得结论； （2）设，则，由勾股定理得，求出，计算出即可得出点是线段的黄金分割点； （3）证明四边形和四边形是矩形，得，再证明得，从而得四边形是正方形，再证明，可得结论． 【小问1详解】 解：∵，点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； 【小问3详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵由（2）知， ∴ ∴四边形是黄金矩形． 25. 如图1，在中，为的中点，为延长线上一点，连接交于点，过点作，垂足为点，交的延长线于点．延长至点，使，连接、．已知． （1）求证：； （2）如图2，当时： ①求证：； ②若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析②线段的长为 【解析】 【分析】（1）根据证明得出，，可得，得出，再根据勾股定理逆定理证明即可得； （1）①连接，可得，证明，，由可证明，根据证明即可得出； ②根据勾股定理得，求出，得出，设，则，由面积关系得，可求出，故线段的长为． 【小问1详解】 证明∵是的中点， ∴ ∵，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴； 【小问2详解】 解：①证明：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； ②解：∵， ∴由勾股定理得， ∵由①知，， ∴， ∵是的角平分线， ∴点到直角边，的距离均为4 ∴， ∵，， ∴ 设，则， ∴， 解得， ∴线段的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建瓯市2025—2026学年第二学期八年级期中练习卷 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，2，3 B. 2，3，4 C. 6，7，8 D. 5，12，13 4. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点．点是的中点，连接，若，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 下列命题中正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 7. 如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若平行四边形的周长为10，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边（），下列三个推断：①；②；③．其中所有正确推断的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 10. 如图，四边形是矩形，点是轴正半轴上一点，，，点在第二象限，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. _______． 12. 如图，图形中的值为_________． 13. 如图，在中，，为中点，且，则的度数为________． 14. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为__________． 15. 如图，为美化环境，某小区从一块正方形空地中划出两块面积分别为和的小正方形种植特色花卉，剩余部分种植草坪，则种植草坪部分的面积为______． 16. 如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，若点是边上的一个动点，已知，，，求线段的最小值． 20. 如图，长方形纸片中，沿折叠，使点落在点处，交于点，，． （1）证明：； （2）求的长． 21. 如图，在平行四边形中，，垂足为点，，垂足为点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 22. 如图，点是矩形的边上一点，且． （1）尺规作图：在的延长线上找到一点，连接，使得四边形是菱形，（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，且四边形的周长为32，求的长． 23. 高空抛物被称为“悬在城市上空的痛”，哪怕是微小的物品，从高空落下也可能造成严重伤害．不考虑空气阻力时，物体自由下落的时间（单位：秒）与下落高度（单位：米）近似满足公式．物体下落时的冲击能量（单位：焦耳）满足公式物体质量（千克）×下落高度（米）．科学常识：冲击能量达到20焦耳时足以造成颅骨骨折，达到65焦耳时会对无防护人体造成致命伤害． （1）一个装有水总质量为0.2千克的塑料水瓶从45米高的阳台自由落下，求它落到地面的时间，并通过计算说明这个水瓶是否会对人体造成致命伤害； （2）实验表明：一个质量为0.07千克的鸡蛋，从11楼窗台落下产生的冲击能量足以造成颅骨骨折．求这个鸡蛋至少需要从第几层窗台落下，就会对人体造成致命伤害？（已知该小区每层楼高3米，窗台比所在楼层地面高1米，1楼地面高度为0米）． 24. 阅读材料 黄金分割点：若线段上的点满足（其中），则称点为线段的黄金分割点，比值称为黄金比． 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金比的矩形，称为黄金矩形． （1）验证黄金分割点 （2）构造并验证黄金矩形 已知线段，按以下步骤进行尺规作图（对应图1）： ①过点作，垂足为点，使得，连接； ②以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点（得到的点满足）． 沿用（1）中得到的线段及它的黄金分割点，继续完成以下操作（对应图2）： ①以为边，在的上方作正方形； ②连接正方形的对角线； ③过点作，垂足为点，线段分别交、于点、； ④过点作线段，分别交、于点、，得到四边形． 请结合上述材料，完成下列问题： （1）如图，已知线段，点是线段的两个黄金分割点（其中），点是线段的中点，求线段的长； （2）请结合上述作图步骤1，证明图1中的点是线段的黄金分割点； （3）请结合上述作图步骤2，证明图2中的四边形是黄金矩形． 25. 如图1，在中，为的中点，为延长线上一点，连接交于点，过点作，垂足为点，交的延长线于点．延长至点，使，连接、．已知． （1）求证：； （2）如图2，当时： ①求证：； ②若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $