精品解析：福建莆田青璜中学2025-2026学年下学期八年级数学期中考试卷

2025-2026学年下学期青璜八年级数学期中考试卷 一．选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 正六边形的一个内角度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，，，则下面说法正确的是（ ） A. 是直角 B. 是直角 C. 是直角 D. 无法判定 5. 下列关系式中，不是的函数的是（） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 若，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则下列表示正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（　　） A. B. C. D. 10. 已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 二．填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 12. 若的图象经过点，则它也经过点______． 13. 如图，是由四个面积均为24的全等直角三角形和拼成的“赵爽弦图”，如果，那么正方形的边长为______． 14. 若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 15. 为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 16. 如图，在矩形中，，，在和上分别有点，连．点关于的对称点，点关于的对称点，若刚好相邻落在对角线上，则的长为_____． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 已知一次函数的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）求该一次函数的图象与轴、轴的交点坐标． 19. 如图，G、H是平行四边形对角线上的点，且，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，已知， （1）求作：平行四边形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的平行四边形中，连接，交于点O．过点O作线段与边分别交于点E，F，设的面积为，的面积为，求的值． 22. 为保障师生健康，某校会定期对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，封闭教室内空气中的含药量y（单位：）与药物在空气中的持续时间x（单位：min）的函数关系如下图所示． （1）①药物喷洒后空气中的含药量y关于药物在空气中的持续时间x的函数表达式为________________； ②当空气中的含药量首次达到时，已经喷洒药物多长时间了？ （2）如果室内空气中的含药量不低于且持续时间不少于20min，才能达到有效消毒的效果，试说明此次消毒是否有效． （3）若后续药物挥发的速率不变，则喷洒药物后经过多长时间，空气中无药物残留？ 23. 数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 24. 如图，中，，点P在边上（不与点A，B重合），连接，平移线段，使点C与点B重合，得到线段，连接． （1）依题意补全图形，若，求的度数； （2）连接，若平分，求证：四边形是菱形； （3）在（2）的条件下，设，试用等式表示y与x之间的数量关系，并证明． 25. 如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点，B,C． （1）求点B和点C的坐标； （2）M为x轴上点A右侧一动点，以,为邻边作，连接,． ①求的最小值； ②在点M移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期青璜八年级数学期中考试卷 一．选择题：本题共10题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的知识．根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件，该选项符合题意； 故选：D． 2. 正六边形的一个内角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用多边形内角和公式求出正六边形的总内角和，再根据正六边形各内角相等，计算得到一个内角的度数． 【详解】解：正六边形的内角和为， ∴正六边形的一个内角度数为， 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的除法、二次根式的加减运算法则逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故选项计算正确，符合题意； B、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故选项计算错误，不符合题意． 4. 在中，若，，，则下面说法正确的是（ ） A. 是直角 B. 是直角 C. 是直角 D. 无法判定 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴， ∴为直角三角形，且是直角． 5. 下列关系式中，不是的函数的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义判断：对于的每一个确定值，必须有唯一确定的值与之对应，才是的函数，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵根据函数的定义，对于的每一个确定值，必须有唯一确定的值与之对应，才是的函数， ∴、符合函数定义，不符合题意； 、符合函数定义，不符合题意； 、，当时，可得，解得或，即取一个确定值时，有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，符合题意； 、符合函数定义，不符合题意． 6. 如图，在中，，M，N分别为，的中点，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得为的中位线，得，在中，根据勾股定理得求解． 【详解】∵M，N分别为，的中点， ∴． 在中，，， ， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和勾股定理，关键是掌握三角形中位线平行且等于第三边一半的性质． 7. 若，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，关键是掌握一次函数中、的符号对图象的影响：当时，直线从左到右呈下降趋势；当时，直线与轴的交点在轴正半轴． 【详解】解：对于一次函数， ∵， ∴直线从左到右呈下降趋势，由此排除选项A、B； ∵， ∴直线与轴的交点在轴正半轴，由此排除选项C； 选项D中直线的特征完全符合的条件， 故选：D． 8. 若，则下列表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘法法则即可求得答案． 【详解】解：， 故选：B． 9. 下面四个函数中，符合当自变量为时，函数值为的函数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把代入每一个选项的函数关系式中，进行计算即可解答． 【详解】解：A．当时，，故此选项不符合题意； B．当时，，故此选项不符合题意； C．当时，，故此选项符合题意； D．当时，，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查函数值，函数的概念．准确熟练地进行计算是解题的关键． 10. 已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标值，联立两直线求出交点坐标，即可得解． 【详解】解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， 则的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和得：， 解得：， 将代入直线得：， 即的最小值是， 故选：C． 二．填空题：本题共6小题，每题4分，共24分． 11. 比较实数的大小：3 _____（填“＞”、“＜”或“＝”）． 【答案】< 【解析】 【分析】先平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，均为正数且，， ∴ 故答案为：<． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较．解题的关键在于先平方后比较大小． 12. 若的图象经过点，则它也经过点______． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入求出b的值，进而即可求解． 【详解】解：将代入，得：， 解得， ， 当时，， 它也经过点． 13. 如图，是由四个面积均为24的全等直角三角形和拼成的“赵爽弦图”，如果，那么正方形的边长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正方形的面积=正方形的面积，求4的算术平方根即可得到结论． 【详解】解：∵正方形的面积＝正方形的面积 ， ∴正方形的边长为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了算术平方根的应用，三角形的面积，正确的识别图形是解题的关键． 14. 若平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则较短边的长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和二元一次方程组的应用，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形周长求出相邻两边之和，再根据差列出方程组求解． 【详解】解：设较长边为，较短边为， 由平行四边形性质，相邻两边之和为周长的一半， 即， 又相邻两边差为，即， 得方程组， 解得， 故较短边长为， 故答案为：． 15. 为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意正确列出函数表达式是解题的关键； 水费由使用费和污水处理费组成，污水处理费每立方米1.2元；使用费分段计费：用水量不超过16立方米时，每立方米1.3元，超过部分每立方米2.0元，因此分段写出函数表达式即可． 【详解】解：①当时，使用费为元，污水处理费为元， 故； ②当时，使用费为元，污水处理费为元， 故， ∴与之间的函数表达式为， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，在和上分别有点，连．点关于的对称点，点关于的对称点，若刚好相邻落在对角线上，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，图形对称的性质，勾股定理解三角形等知识点． 连接，根据矩形的性质，利用勾股定理得到，根据图形对称的性质得到，，设，根据勾股定理解得，得到，设，同理得到，继而根据勾股定理得到． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴，，，， ∴，，， 设，则， ∵， ∵， ∴，解得， ∴， 设，则， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， 在中，， ∴． 三．解答题：本题共9小题，共86分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 已知一次函数的图象经过，两点． （1）求这个一次函数的表达式． （2）求该一次函数的图象与轴、轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）一次函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】本题考查一次函数表达式，以及与轴和轴的交点坐标的求解． 【小问1详解】 解：设一次函数的表达式为：， 代入，两点，得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的表达式为， ∴当时，， 当时，，解得：． ∴一次函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 19. 如图，G、H是平行四边形对角线上的点，且，分别是的中点．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到，，再根据线段中点的定义证明，由此证明得到，进一步证明，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵分别是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定条件是解题的关键． 20. 如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解； （2）设，则，在中，根据列出方程计算即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用． 21. 如图，已知， （1）求作：平行四边形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的平行四边形中，连接，交于点O．过点O作线段与边分别交于点E，F，设的面积为，的面积为，求的值． 【答案】（1）见详解 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了作图-复杂作图，平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，基本作图，全等三角形的判定与性质等知识是解决问题的关键． （1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，作和相等的边即可，分别以、为圆心，、为半径画弧，两弧交于点，连接、，即可得到平行四边形； （2）由平行四边形的性质得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ， ， ∴， ∴． 22. 为保障师生健康，某校会定期对教室采取喷洒药物的方式进行消毒．在消毒过程中，封闭教室内空气中的含药量y（单位：）与药物在空气中的持续时间x（单位：min）的函数关系如下图所示． （1）①药物喷洒后空气中的含药量y关于药物在空气中的持续时间x的函数表达式为________________； ②当空气中的含药量首次达到时，已经喷洒药物多长时间了？ （2）如果室内空气中的含药量不低于且持续时间不少于20min，才能达到有效消毒的效果，试说明此次消毒是否有效． （3）若后续药物挥发的速率不变，则喷洒药物后经过多长时间，空气中无药物残留？ 【答案】（1）①②当空气中的含药量首次达到时，已经喷洒药物3.75min了 （2）此次消毒有效；理由见解析 （3）喷洒药物55min后，空气中无药物残留 【解析】 【分析】（1）①当时，与是一次函数关系，设函数解析式为，将代入解析式，求出第一段函数解析式；再将代入求出第二段函数解析式即可； ②将代入函数解析式求出对应的值即可； （2）计算函数值为对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于的持续时间，然后与比较大小即可判断此次消毒是否有效； （3）将代入函数关系式求出对应的值即可． 【小问1详解】 解：①由图可知，药物喷洒后空气中的含药量与药物在空气中的持续时间成一次函数关系， 设． 当时，将，代入， 得解得 ∴； 当时，将，代入， 得解得 ∴． 综上所述，药物喷洒后空气中的含药量关于药物在空气中的持续时间的函数表达式为 ②当时，，解得， ∴当空气中的含药量首次达到时，已经喷洒药物了． 【小问2详解】 解：当时，令，，解得； 当时，令，，解得， 所以空气中药物含量不低于持续的时间为． 因为， 所以此次消毒有效． 【小问3详解】 解：当时，， 解得． 故喷洒药物后，空气中无药物残留． 【点睛】本题考查了一次函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立一次函数的数学模型，理解题意以及对函数的分类讨论是解题关键． 23. 数学课上张老师出示了一个问题：如图1，在中， E为边上一点，连接， 求证： ①小芳同学说：不必添画辅助线，可以直接利用图1进行证明． ②小芮同学说：可以添画图2中的辅助线，然后进行证明． （1）请你选择一名同学的想法，写出证明过程． 【问题探究】 （2）小迪同学在此问题基础上，过点E作 ，交于点F，如图3，小琳根据小迪的作法，写出了线段之间的数量关系：请你判断这一结论是否成立，如果成立，请你写出证明过程；若不成立，请你写出关于这三条线段数量关系的新结论，并证明． 【类比拓展】 （3）小怡同学突发奇想，过点E作交于点 F，如图4，若的面积为12，，请你直接写出线段的长． 【答案】（1）任选一种，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质，即可证明； （2）连接，可得，利用勾股定理，即可证明； （3）过点作，取的中点，连接，可得，设，利用勾股定理列方程，即可解得． 【详解】解：（1）①小芳同学的解法 证明：如图1， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②小芮同学的解法： 证明：如图2，延长与的延长线相较于点 G ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形 ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下： 证明: 如图，连接 ， ， 由(1) 得， ∴在中, ∵四边形是平行四边形 ； （3）如图，过点作，取的中点，连接， ， ， ，， ， ，， 的面积为12，， , ， 是的中点， ，， ， 根据勾股定理可得， ， 设， 根据勾股定理可得， ， 即 解得， 24. 如图，中，，点P在边上（不与点A，B重合），连接，平移线段，使点C与点B重合，得到线段，连接． （1）依题意补全图形，若，求的度数； （2）连接，若平分，求证：四边形是菱形； （3）在（2）的条件下，设，试用等式表示y与x之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移可得，得出四边形为平行四边形，则．根据，得出．设，则，．根据，得出，．即可得出． （2）连接交于点O，过点O作，．由（1）可知四边形为平行四边形，则，根据角平分线定理得出，，证明，得出，则，结合，得出，即可证明四边形为菱形． （3）根据四边形为菱形，得出，得出，根据，得出，即可得，则，结合平分，得出，即． 【小问1详解】 解：补图正确； ∵线段由线段平移得到， ∴． ∴四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴． 设，则，． ∵， ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 证明：连接交于点O，过点O作，． 由（1）可知四边形为平行四边形， ∴． 又平分， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． 又， ∴． ∴四边形为菱形． 【小问3详解】 解：∵四边形为菱形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又平分， ∴． 即． 【点睛】该题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，角平分线定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平移的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 如图，直线与x轴，y轴及直线分别交于点，B,C． （1）求点B和点C的坐标； （2）M为x轴上点A右侧一动点，以,为邻边作，连接,． ①求的最小值； ②在点M移动过程中，能否等于？若能，请求出此时点M的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）点B的坐标为，点C的坐标为 （2）；点M移动过程中，能等于，点 【解析】 【分析】本题考查了一次函数解析式求解、平行四边形的性质、轴对称求最短路径、等腰直角三角形与全等三角形的综合应用，解题的关键是利用平行四边形性质转化线段，通过轴对称构造最短路径，结合等腰直角三角形构造全等三角形求解点的坐标． （1）将点代入一次函数解析式求参数，再联立两直线方程求交点的坐标； （2）①由平行四边形性质将转化为，作点关于轴的对称点，利用两点之间线段最短求的最小值；②构造等腰直角三角形，通过证明，求出点的坐标，再结合直线的方程求解点的坐标，验证存在． 【小问1详解】 解：由直线过点，得，解得， 则点的坐标为， 由，解得，则点的坐标为． 【小问2详解】 解：①由（1）得点是线段的中点，即， 由，得，，连接，则四边形是平行四边形， 于是，令点关于轴对称点为，连接，， 因此，当且仅当点，，三点共线时取等号，而，过点作轴于点，则，，， 所以的最小值为． ②在点移动过程中，能等于，理由如下： 当时，过点作交的延长线于点，过点作直线轴，过点，作直线的垂线，垂足分别为，，则为等腰直角三角形，， 由，，得， 则，，设，则， 则点，由，得直线的方程为， 因此，解得，点， 所以在点移动过程中，能等于，点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $