专题15 菱形（6知识点+10题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

本讲义聚焦初中数学“菱形”核心知识点，系统梳理菱形的定义、性质（边、角、对角线）、面积公式、判定定理，明确与平行四边形的从属关系及异同，拓展中点四边形相关结论，构建完整知识支架。 资料以“知识点+题型+检测”分层设计，题型涵盖性质应用（求角度、线段长、面积）、判定证明等，典例结合生活情境（如千斤顶原理），通过解题思路与易错点分析培养几何直观和推理意识，过关检测助力课后查漏补缺，提升教学效果与学生学习效率。

5.2菱形 （6知识点+10题型+过关检测） 【题型1 利用菱形的性质求角度】 3 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 4 【题型3 利用菱形的性质求面积】 5 【题型4 利用菱形的性质证明】 6 【题型5 证明四边形是菱形】 8 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 9 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 10 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 11 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 12 【题型10 中点四边形】 14 1. 理解菱形的定义，掌握菱形的性质定理和判定定理，明确菱形与平行四边形的从属关系，能区分菱形与其他特殊平行四边形的异同。 2. 能熟练运用菱形的性质解决角度、线段长、面积计算及证明问题，规范解题步骤，提升几何运算和推理能力。 3. 掌握菱形的判定方法，能根据已知条件证明四边形是菱形，会添加合适条件使四边形成为菱形。 03 知识•梳理 知识点1：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键说明：① 菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质；② 核心区别：菱形的一组邻边相等（这是菱形与普通平行四边形的唯一本质区别）；③ 菱形既可以看作“邻边相等的平行四边形”，也可以看作“四条边都相等的四边形”，是特殊的平行四边形家族成员。 知识点2：菱形的性质 菱形既具有平行四边形的所有性质，还具有自身独有的特殊性质，具体如下： 1. 边的性质：菱形的四条边都相等（独有的核心性质）；对边平行且相等（继承平行四边形性质）。 2. 角的性质：对角相等，邻角互补（继承平行四边形性质，无独有角性质）。 3. 对角线的性质（独有的核心性质）：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4. 对称性：菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；同时也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 5. 衍生结论：菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，这是解决菱形线段、角度计算的核心模型。 知识点3：菱形的面积公式 菱形的面积有3种常用计算方法，可根据已知条件灵活选择： 1. 基础公式（继承平行四边形）：（任意一边作为底，对应的垂线段长度为高）。 2. 核心公式（菱形独有，优先使用）：（其中、分别是菱形的两条对角线的长度，该公式适用于所有对角线互相垂直的四边形）。 3. 分割求和法：将菱形分割成两个全等等腰三角形或四个全等直角三角形，利用三角形面积公式求和（本质与对角线公式一致）。 补充：当菱形一个内角为60°时，短对角线等于边长，长对角线等于倍边长，面积可表示为（为菱形边长）。 知识点4：菱形的判定定理 判定菱形的4种方法，分两类记忆（前提不同，方法不同）： 1. 以“平行四边形”为前提（先证是平行四边形，再证是菱形）： · 判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（直接沿用菱形定义，最基础）。 · 判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（核心判定方法，高频考点）。 2. 以“一般四边形”为前提（直接证是菱形，无需先证平行四边形）： · 判定3：四条边都相等的四边形是菱形。 · 判定4：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（结合平行四边形判定+菱形判定，本质是“对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上对角线垂直，即为菱形”）。 关键提醒：判定时务必明确前提（是平行四边形还是一般四边形），避免混淆判定条件。 知识点5：菱形的易错点梳理 1. 混淆菱形与平行四边形的性质：菱形具备平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形（需满足“邻边相等”或“对角线垂直”）。 2. 误用菱形面积公式：忘记对角线乘积公式需乘；或用底乘高时，高与底不对应。 3. 判定菱形时忽略前提：如“对角线互相垂直的四边形是菱形”是错误的，必须加上“平行四边形”前提（或“对角线互相垂直且平分”）。 4. 忽略菱形对角线平分一组对角的性质，导致角度计算失误。 知识点6：中点四边形 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形（中点四边形一定是平行四边形）。 2. 与菱形相关的结论： 顺次连接菱形各边中点所得的中点四边形是矩形（因为菱形的对角线互相垂直，中点四边形的边平行于对角线，故邻边垂直）。逆用：若一个四边形的中点四边形是菱形，则原四边形的对角线相等（与菱形无关，补充完整中点四边形逻辑）。补充：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和，面积等于原四边形面积的一半。 04 题型•汇总 【题型1 利用菱形的性质求角度】 解题思路： 1. 牢记菱形性质：四条边相等、对角相等、邻角互补、对角线平分一组对角。 2. 结合已知角度，利用“邻角互补”“对角线平分对角”推导未知角度；若有等腰三角形（菱形的边相等，易构成等腰三角形），利用等腰三角形性质求角。 3. 计算后验证：确保角度和符合四边形内角和（360°）或三角形内角和（180°）。 易错点：① 忘记对角线平分一组对角；② 混淆“对角相等”与“邻角相等”；③ 忽略等腰三角形的角度关系。 【典例1】．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 跟随训练1-1．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 跟随训练1-3．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 解题思路： 1. 核心技巧：菱形的对角线互相垂直平分，将菱形转化为四个全等的直角三角形（直角边为两条对角线的一半，斜边为菱形的边长）。 2. 结合已知条件（边长、对角线长、高），利用勾股定理、等式性质求解未知线段（边长、对角线一半、高）。 3. 牢记：菱形四条边相等，可通过边长求对角线，或通过对角线求边长。 易错点：① 忘记对角线互相平分，误用整条对角线长度代入勾股定理；② 混淆菱形的边与对角线的关系。 【典例2】．如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 跟随训练2-2．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离 ___________ ． 跟随训练2-3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【题型3 利用菱形的性质求面积】 解题思路： 1. 优先判断已知条件：若已知两条对角线长，直接用核心公式计算。 2. 若已知底和高，用基础公式；若已知边长和一个内角，可先求高（利用三角函数），再用底乘高，或转化为对角线求面积。 3. 计算时注意：对角线长度需取完整长度，公式中务必乘。 易错点：① 对角线乘积公式漏乘；② 底和高不对应（高需是对应底边上的垂线段）。 【典例3】．如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 跟随训练3-1．如图，依次连接第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连接矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去，已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-2．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，，则菱形的面积为_______． 跟随训练3-3．如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________． 【题型4 利用菱形的性质证明】 解题思路： 1. 明确证明目标（线段相等、角相等、线段垂直等），结合菱形的性质筛选有用条件。 2. 常用性质：四条边相等（证线段相等）、对角线平分一组对角（证角相等）、对角线互相垂直（证线段垂直）、对边平行（证内错角相等）。 3. 辅助线技巧：连接菱形的对角线，利用“对角线互相垂直”“平分对角”或“全等直角三角形”辅助证明。 易错点：① 遗漏菱形的性质（如对角线平分对角）；② 证明过程不严谨，未注明“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”等依据。 【典例4】．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 跟随训练4-2．如图，在菱形中，，点E、F分别为边上的点，且，连接交于点H，连接交于点O，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数是__________个． 跟随训练4-3．如图，在菱形中，分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：如果，那么，．；其中正确结论序号数是___________ 【题型5 证明四边形是菱形】 解题思路： 1. 先判断前提：是“平行四边形”还是“一般四边形”，选择对应判定方法。 2. 若为平行四边形：只需证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”。 3. 若为一般四边形：需证明“四条边都相等”或“对角线互相垂直且平分”。 4. 辅助线技巧：连接对角线，辅助证明平行四边形或对角线垂直、平分。 易错点：① 未明确前提，直接用“对角线垂直”证明菱形；② 证明四条边相等时，遗漏某一组边相等的证明。 【典例5】．下列结论中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 跟随训练5-1．下列关于的叙述，正确的是（   ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是菱形 跟随训练5-2．如图，等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动．设运动时间为t，当t为（    ）时，以A，F，C，E为顶点的四边形是菱形？ A．3 B．4 C．5 D．6 跟随训练5-3．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 解题思路： 1. 先判断已知条件：已知四边形是“平行四边形”还是“一般四边形”，再结合菱形判定定理补充条件。 2. 若已知是平行四边形：可添条件（任选其一）：① 一组邻边相等；② 对角线互相垂直；③ 四条边相等。 3. 若已知是一般四边形：可添条件（任选其一）：① 四条边相等；② 对角线互相垂直且平分；③ 是平行四边形且一组邻边相等。 4. 注意：添加的条件要简洁、合理，符合判定定理，避免多余条件。 易错点：① 已知是平行四边形，却添加“四条边相等”（多余，只需一组邻边相等）；② 已知是一般四边形，只添加“对角线垂直”（不足，需加“平分”）。 【典例6】．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练6-1．已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 跟随训练6-2．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 跟随训练6-3．如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 解题思路： 1. 第一步：先根据已知条件，结合菱形判定定理，证明该四边形是菱形（若未明确是菱形）。 2. 第二步：利用菱形的性质（对角相等、邻角互补、对角线平分一组对角），结合等腰三角形、直角三角形性质，推导未知角度。 3. 关键：先判定，再用性质，逻辑顺序不能颠倒。 易错点：① 未先判定菱形，直接用菱形性质求角；② 忽略对角线平分对角的性质，导致角度计算错误。 【典例7】．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 跟随训练7-3．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 解题思路： 1. 第一步：判定四边形是菱形（根据已知条件，选择合适的判定方法）。 2. 第二步：利用菱形的性质（四条边相等、对角线互相垂直平分），将菱形转化为直角三角形。 3. 第三步：结合勾股定理、等式性质，求解边长、对角线长等未知线段。 易错点：① 判定过程不完整，直接用菱形性质；② 对角线互相平分的性质误用，导致直角三角形的直角边长度计算错误。 【典例8】．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（   ） A． B． C．5 D．10 跟随训练8-1．如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 跟随训练8-2．如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______． 跟随训练8-3．综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． (1)【操作验证】如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． (2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接．若，，请你直接写出线段的长． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 解题思路： 1. 第一步：先判定四边形是菱形（若题目未明确），确保后续可使用菱形面积公式。 2. 第二步：根据已知条件，选择合适的面积公式：① 已知对角线，用；② 已知底和高，用。 3. 第三步：若已知条件不足，先通过菱形性质、勾股定理求出对角线或高，再计算面积。 易错点：① 未判定菱形，直接用菱形面积公式；② 对角线乘积漏乘；③ 求高时，与边长不对应。 【典例9】．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 跟随训练9-1．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 跟随训练9-2．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 跟随训练9-3．如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得 连接，的延长线与的延长线交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【题型10 中点四边形】 解题思路： 1. 牢记核心结论：中点四边形一定是平行四边形；其形状由原四边形的对角线决定。 2. 与菱形相关的情况： · 原四边形是菱形：中点四边形是矩形（因菱形对角线互相垂直，中点四边形邻边平行于对角线，故邻边垂直）。 · 中点四边形是菱形：原四边形的对角线相等（逆用结论，与菱形本身无关，补充完整）。 3. 计算中点四边形的周长或面积：周长=原四边形对角线之和；面积=原四边形面积的一半。 易错点：① 混淆“原四边形”与“中点四边形”的关系；② 忘记中点四边形的周长、面积与原四边形对角线的关联。 【典例10】．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 跟随训练10-1．如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 跟随训练10-2．如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处） 跟随训练10-3．综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 05 过关•检测 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直且平分 D．对边平行且相等 2．有下列说法，其中正确说法的序号是（    ） ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③菱形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的等腰三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 3．如图，在矩形中，某同学利用直尺和圆规完成了如下操作：分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接、、、，发现、、三点在同一条直线上，连接分别交于点，交于点，交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B．四边形为菱形 C． D． 4．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 5．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（    ） A．①②③④ B．②③ C．①③④ D．①④ 6．在综合实践活动课上，兴趣小组先画一个，折叠纸张使得点与点重合，折痕与边交于点；再折出射线，点在延长线上；最后折叠纸张使得落在上，点的对应点为点，连接，．对下列结论①四边形为平行四边形；②若是直角三角形，则四边形为矩形；③若是等腰三角形，则四边形为菱形．判断正确的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 7．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，则边上的高________． 8．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 9．如图，在菱形中，对角线，点在菱形外，连接，且，点分别在边上，连接，以为底边向右作等腰，使得，连接，则的面积为___________． 10．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 12．如图，在菱形中，点P为边上一动点，作点D关于线段的对称点E．取线段的中点F，连接，过点E作垂直射线于点G．若，，则的最小值为______． 13．如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 14．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动． (1)求点B的坐标． (2)求对角线所在直线的解析式． (3)设动点P的运动时间为t秒，连接的面积为S，请用含t的式子表示S； (4)当时，直线上是否存在点N，使．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 16．【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容． 例5：如图19.2.13，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． 求证：四边形是菱形． 分析：要证明四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需要证明四边形是平行四边形，又已知垂直平分，所以只需要证明． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程： (2)【结论应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，则矩形的面积为 (3)【拓展探究】如图③，直线分别交的边、于点、，将沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，连接，若，，，则四边形的面积是 ． 17．如图1，在四边形中，，点在边上，连接，过点作于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系：_____； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2菱形 （6知识点+10题型+过关检测） 【题型1 利用菱形的性质求角度】 3 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 5 【题型3 利用菱形的性质求面积】 9 【题型4 利用菱形的性质证明】 12 【题型5 证明四边形是菱形】 17 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 20 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 25 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 28 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 33 【题型10 中点四边形】 39 1. 理解菱形的定义，掌握菱形的性质定理和判定定理，明确菱形与平行四边形的从属关系，能区分菱形与其他特殊平行四边形的异同。 2. 能熟练运用菱形的性质解决角度、线段长、面积计算及证明问题，规范解题步骤，提升几何运算和推理能力。 3. 掌握菱形的判定方法，能根据已知条件证明四边形是菱形，会添加合适条件使四边形成为菱形。 03 知识•梳理 知识点1：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键说明：① 菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质；② 核心区别：菱形的一组邻边相等（这是菱形与普通平行四边形的唯一本质区别）；③ 菱形既可以看作“邻边相等的平行四边形”，也可以看作“四条边都相等的四边形”，是特殊的平行四边形家族成员。 知识点2：菱形的性质 菱形既具有平行四边形的所有性质，还具有自身独有的特殊性质，具体如下： 1. 边的性质：菱形的四条边都相等（独有的核心性质）；对边平行且相等（继承平行四边形性质）。 2. 角的性质：对角相等，邻角互补（继承平行四边形性质，无独有角性质）。 3. 对角线的性质（独有的核心性质）：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4. 对称性：菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；同时也是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 5. 衍生结论：菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，这是解决菱形线段、角度计算的核心模型。 知识点3：菱形的面积公式 菱形的面积有3种常用计算方法，可根据已知条件灵活选择： 1. 基础公式（继承平行四边形）：（任意一边作为底，对应的垂线段长度为高）。 2. 核心公式（菱形独有，优先使用）：（其中、分别是菱形的两条对角线的长度，该公式适用于所有对角线互相垂直的四边形）。 3. 分割求和法：将菱形分割成两个全等等腰三角形或四个全等直角三角形，利用三角形面积公式求和（本质与对角线公式一致）。 补充：当菱形一个内角为60°时，短对角线等于边长，长对角线等于倍边长，面积可表示为（为菱形边长）。 知识点4：菱形的判定定理 判定菱形的4种方法，分两类记忆（前提不同，方法不同）： 1. 以“平行四边形”为前提（先证是平行四边形，再证是菱形）： · 判定1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（直接沿用菱形定义，最基础）。 · 判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（核心判定方法，高频考点）。 2. 以“一般四边形”为前提（直接证是菱形，无需先证平行四边形）： · 判定3：四条边都相等的四边形是菱形。 · 判定4：对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（结合平行四边形判定+菱形判定，本质是“对角线互相平分的四边形是平行四边形，再加上对角线垂直，即为菱形”）。 关键提醒：判定时务必明确前提（是平行四边形还是一般四边形），避免混淆判定条件。 知识点5：菱形的易错点梳理 1. 混淆菱形与平行四边形的性质：菱形具备平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形（需满足“邻边相等”或“对角线垂直”）。 2. 误用菱形面积公式：忘记对角线乘积公式需乘；或用底乘高时，高与底不对应。 3. 判定菱形时忽略前提：如“对角线互相垂直的四边形是菱形”是错误的，必须加上“平行四边形”前提（或“对角线互相垂直且平分”）。 4. 忽略菱形对角线平分一组对角的性质，导致角度计算失误。 知识点6：中点四边形 1. 定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形（中点四边形一定是平行四边形）。 2. 与菱形相关的结论： 顺次连接菱形各边中点所得的中点四边形是矩形（因为菱形的对角线互相垂直，中点四边形的边平行于对角线，故邻边垂直）。逆用：若一个四边形的中点四边形是菱形，则原四边形的对角线相等（与菱形无关，补充完整中点四边形逻辑）。补充：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和，面积等于原四边形面积的一半。 04 题型•汇总 【题型1 利用菱形的性质求角度】 解题思路： 1. 牢记菱形性质：四条边相等、对角相等、邻角互补、对角线平分一组对角。 2. 结合已知角度，利用“邻角互补”“对角线平分对角”推导未知角度；若有等腰三角形（菱形的边相等，易构成等腰三角形），利用等腰三角形性质求角。 3. 计算后验证：确保角度和符合四边形内角和（360°）或三角形内角和（180°）。 易错点：① 忘记对角线平分一组对角；② 混淆“对角相等”与“邻角相等”；③ 忽略等腰三角形的角度关系。 【典例1】．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当增大时，则的度数（    ） A．增大 B．增大 C．减小 D．减小 【答案】A 【分析】根据菱形的对角线平分对角的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴， ∵增大， ∴增大． 跟随训练1-1．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 跟随训练1-2．如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】由菱形的性质可得，，证明，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 跟随训练1-3．如图，是菱形的对角线，点在上，过点作交边于点，如果，那么的度数为___________． 【答案】 【分析】根据菱形的每一条对角线平分一组对角，可求得，然后根据两直线平行同位角相等，据此即可解答． 【详解】解：∵是菱形的对角线，， ∴， ∵， ∴． 【题型2 利用菱形的性质求线段长】 解题思路： 1. 核心技巧：菱形的对角线互相垂直平分，将菱形转化为四个全等的直角三角形（直角边为两条对角线的一半，斜边为菱形的边长）。 2. 结合已知条件（边长、对角线长、高），利用勾股定理、等式性质求解未知线段（边长、对角线一半、高）。 3. 牢记：菱形四条边相等，可通过边长求对角线，或通过对角线求边长。 易错点：① 忘记对角线互相平分，误用整条对角线长度代入勾股定理；② 混淆菱形的边与对角线的关系。 【典例2】．如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得到，，利用勾股定理求得，从而求得的长，取中点Q，连接，由三角形中位线定理结合勾股定理即可求得最终结果． 【详解】在菱形中，对角线与相交于点O， ，， ∴，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， 如图，取中点Q，连接， ∴， ∵点P为的中点，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 跟随训练2-1．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．48 B．60 C．72 D．96 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，求出，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到，再根据菱形的面积进行计算即可． 【详解】解：菱形， ， ， ， ， ， 是的中点， 是斜边上的中线， ， ， ， 菱形的面积为． 跟随训练2-2．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离 ___________ ． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ， ， ， ， ． 跟随训练2-3．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上．若点的坐标为．则点的坐标为______ 【答案】 () 【分析】利用勾股定理求得的长，再利用菱形的性质求得，再根据菱形对边平行可得点B与点C的横坐标相同，据此求解即可． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴B点的坐标为，即． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 解题思路： 1. 优先判断已知条件：若已知两条对角线长，直接用核心公式计算。 2. 若已知底和高，用基础公式；若已知边长和一个内角，可先求高（利用三角函数），再用底乘高，或转化为对角线求面积。 3. 计算时注意：对角线长度需取完整长度，公式中务必乘。 易错点：① 对角线乘积公式漏乘；② 底和高不对应（高需是对应底边上的垂线段）。 【典例3】．如图，四边形是菱形，E为边的中点，对角线，相交于点O，连接，若，，则菱形的面积等于（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】由菱形的性质可知对角线互相平分且垂直，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再结合勾股定理求出，从而求出菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， 在中，E为边的中点， ， ， ， 菱形的面积． 跟随训练3-1．如图，依次连接第一个菱形各边的中点得到一个矩形，再依次连接矩形各边的中点得到第二个菱形，按此方法继续下去，已知第一个菱形的面积为1，则第4个菱形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接矩形和菱形的对角线，根据矩形和菱形的性质求得第1个矩形的面积，进而得到第2个菱形的面积，从而得到菱形面积的规律，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接矩形和菱形的对角线， 根据矩形和菱形的性质以及中点可得图中最小单位的16个三角形面积都相等，且为第1个菱形面积的， 已知第1个菱形的面积为1，则第1个矩形面积为； 同理可得第2个菱形的面积是第一个矩形面积的一半，为， 第3个菱形的面积为， 第4个菱形的面积为． 跟随训练3-2．如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E是的中点．若，，则菱形的面积为_______． 【答案】96 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后由勾股定理求得，则，即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 跟随训练3-3．如图，在菱形中，、相交于点O，，长为4，则菱形的面积是__________________． 【答案】 【分析】由菱形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型4 利用菱形的性质证明】 解题思路： 1. 明确证明目标（线段相等、角相等、线段垂直等），结合菱形的性质筛选有用条件。 2. 常用性质：四条边相等（证线段相等）、对角线平分一组对角（证角相等）、对角线互相垂直（证线段垂直）、对边平行（证内错角相等）。 3. 辅助线技巧：连接菱形的对角线，利用“对角线互相垂直”“平分对角”或“全等直角三角形”辅助证明。 易错点：① 遗漏菱形的性质（如对角线平分对角）；② 证明过程不严谨，未注明“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”等依据。 【典例4】．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，四边形是重叠部分，连接，交于点O．下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，先证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论． 【详解】解：如图，过点A作于点E，于点F， ∵两张纸条宽度相同， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， 而由四边形是菱形不能得出， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 跟随训练4-1．在菱形中，对角线相交于点，下列结论中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，理解其性质是解题的关键． 根据菱形的性质解题即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形， ∴ ，，， ∴选项、、不合题意； 不一定成立（仅当菱形为正方形时对角线相等） ∴选项符合题意． 故选：D． 跟随训练4-2．如图，在菱形中，，点E、F分别为边上的点，且，连接交于点H，连接交于点O，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数是__________个． 【答案】2 【分析】证得是等边三角形，则可得，由即可证得，可得，由外角性质可得，即可判断①②；由，即可判断③；求出的面积，进而得菱形的面积，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即是等边三角形， ∴， 同理可得：是等边三角形， ， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴， 故①、②正确； ∵， 故③不正确； ∵是等边三角形，， 过点作于点， ， ， ∴的面积 ， ∴菱形的面积的面积， 故④不正确； ∴正确的有①②两个； 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的性质，三角形外角性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握菱形和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 跟随训练4-3．如图，在菱形中，分别以为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点，连接，若直线恰好经过点，与边交于点，连接．有以下四个结论：如果，那么，．；其中正确结论序号数是___________ 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的性质、尺规作图，根据尺规作图可知是的垂直平分线，根据菱形的四条边都相等可知，根据线段垂直平分线的性质可知，从而可知是等边三角形，根据等边三角形的性质、菱形的性质进行判断 即可． 【详解】解：如下图所示，连接， 由尺规作图可知是的垂直平分线，且点在直线上， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 故正确； 由可知， ， 是的垂直平分线，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在中，， 故正确； 由菱形的性质可知，， ， 故错误； ，，， ， ， ， 故正确． 故答案为： ． 【题型5 证明四边形是菱形】 解题思路： 1. 先判断前提：是“平行四边形”还是“一般四边形”，选择对应判定方法。 2. 若为平行四边形：只需证明“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”。 3. 若为一般四边形：需证明“四条边都相等”或“对角线互相垂直且平分”。 4. 辅助线技巧：连接对角线，辅助证明平行四边形或对角线垂直、平分。 易错点：① 未明确前提，直接用“对角线垂直”证明菱形；② 证明四条边相等时，遗漏某一组边相等的证明。 【典例5】．下列结论中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形判定定理，故选项A正确，不符合题目要求； B、只有对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故选项B错误，符合题目要求； C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，符合菱形面积计算公式，故选项C正确，不符合题目要求； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，故选项D正确，不符合题目要求． 跟随训练5-1．下列关于的叙述，正确的是（   ） A．若，则是菱形 B．若，则是矩形 C．若，则是矩形 D．若，则是菱形 【答案】C 【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，只需根据矩形、菱形的判定定理逐一判断选项即可. 【详解】解：∵已知四边形是平行四边形， 对于选项A：∵，可得，∴有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故A错误； 对于选项B：∵，∴对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故B错误； 对于选项C：∵，∴对角线相等的平行四边形是矩形，因此是矩形，故C正确； 对于选项D：若，无法推出平行四边形的邻边相等，也不能得到特殊平行四边形的判定条件，无法判定为菱形，故D错误． 跟随训练5-2．如图，等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动．设运动时间为t，当t为（    ）时，以A，F，C，E为顶点的四边形是菱形？ A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和勾股定理等知识点，过点A作于点D，结合已知条件及勾股定理求得和，分以下两种情况：当点F在点C的左侧时，有和，则，结合平行线的性质当时，四边形是平行四边形，列出等式解得，进一步验证 ，不满足菱形的条件；②当点F在点C的右侧时，有和，则，同理解得，经过验证满足以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形． 【详解】解：过点A作于点D，如图， ∵等边三角形中，， ∴， ①当点F在点C的左侧时，根据题意得：，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：， 此时， ，不能构成菱形； ②当点F在点C的右侧时，如图， 根据题意得：，， 则， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 此时， ， ∵， ∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形， 故选D． 跟随训练5-3．如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点，有下列条件：①；②平分；③，且是的中点．选择条件___________能使四边形是菱形． 【答案】 ②③ 【分析】先说明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，，， 当时， 四边形是矩形，不是菱形，则①不符合题意； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，则②符合题意； ∵且E是的中点， ∴， ∴四边形是菱形，则③符合题意； 所以选择②③能使四边形是菱形． 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 解题思路： 1. 先判断已知条件：已知四边形是“平行四边形”还是“一般四边形”，再结合菱形判定定理补充条件。 2. 若已知是平行四边形：可添条件（任选其一）：① 一组邻边相等；② 对角线互相垂直；③ 四条边相等。 3. 若已知是一般四边形：可添条件（任选其一）：① 四条边相等；② 对角线互相垂直且平分；③ 是平行四边形且一组邻边相等。 4. 注意：添加的条件要简洁、合理，符合判定定理，避免多余条件。 易错点：① 已知是平行四边形，却添加“四条边相等”（多余，只需一组邻边相等）；② 已知是一般四边形，只添加“对角线垂直”（不足，需加“平分”）。 【典例6】．在中，添加下列条件：①；②；③平分；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③平分， 如图， ∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的是③④，共2个． 跟随训练6-1．已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 跟随训练6-2．如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，添加后使四边形成为菱形，则选择的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得． 【详解】解： ①，不能作为构成菱形的条件； ②时，平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）； ③时，平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 跟随训练6-3．如图，在四边形中，，垂足为O，，要使四边形为菱形，应添加的条件是______（只需写出一个条件即可）． 【答案】或或或或或或（只需写出一个条件即可） 【分析】根据“对角线互相垂直的平行四边形为菱形”，通过添加条件证得，由一组对边相互平行且相等，从而证得四边形为平行四边形，即可解答． 【详解】解：可以添加的条件是：，理由如下： ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 同理，添加或，则，即四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，． 在和中， ． ． ． ， ∴四边形是平行四边形． ， ∴四边形是菱形； 也可以添加的条件是，理由如下： ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 解题思路： 1. 第一步：先根据已知条件，结合菱形判定定理，证明该四边形是菱形（若未明确是菱形）。 2. 第二步：利用菱形的性质（对角相等、邻角互补、对角线平分一组对角），结合等腰三角形、直角三角形性质，推导未知角度。 3. 关键：先判定，再用性质，逻辑顺序不能颠倒。 易错点：① 未先判定菱形，直接用菱形性质求角；② 忽略对角线平分对角的性质，导致角度计算错误。 【典例7】．如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点，分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由作图过程可证四边形是菱形，再根据菱形的对角相等且对角线平分对角即可解答． 【详解】解：∵以点为圆心，任意长为半径画弧，交射线于点，交射线于点， ∴， ∵分别以，为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，即选项A符合题意． 跟随训练7-1．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 跟随训练7-2．如图，是的角平分线，交于，交于．且交于，则_____度． 【答案】 【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出，故可得出为菱形，根据菱形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图：   ，， 四边形为平行四边形， ，， 是的角平分线， ， ， 为菱形． ，即． 跟随训练7-3．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 解题思路： 1. 第一步：判定四边形是菱形（根据已知条件，选择合适的判定方法）。 2. 第二步：利用菱形的性质（四条边相等、对角线互相垂直平分），将菱形转化为直角三角形。 3. 第三步：结合勾股定理、等式性质，求解边长、对角线长等未知线段。 易错点：① 判定过程不完整，直接用菱形性质；② 对角线互相平分的性质误用，导致直角三角形的直角边长度计算错误。 【典例8】．如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图所示：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 跟随训练8-1．如图，在中，，若，则的周长为（   ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】B 【分析】可证明是菱形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 跟随训练8-2．如图，以的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧交于，交于，再分别以点A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点，连接、、、．若，四边形的面积为15，则的长为______． 【答案】3 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的面积为15和，进行求解即可． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意得，， 四边形是菱形， ∵菱形的面积为15， ∴ 解得． 跟随训练8-3．综合与探究： 【问题情境】如图，四边形是菱形，对角线、相交于点．将绕点按逆时针方向旋转得到，，两点旋转后的对应点分别为，，旋转角为． (1)【操作验证】如图1，当点落在对角线上时，连接，求证：是等边三角形． (2)【猜想探究】如图2，在旋转过程中，时，交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图3，在旋转过程中，当与重合时，连接．若，，请你直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，见解析 (3) 【分析】（1）结合菱形的性质，得，运用旋转的性质得，故是等边三角形； （2）根据四边形是菱形，得，由旋转的性质得，再证明四边形为平行四边形，又因为，故四边形为菱形， （3）运用菱形的性质以及旋转的性质得垂直平分线段，然后结合勾股定理列式得，解得，即可求得，然后在中，运用勾股定理 列式计算，得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：四边形为菱形，理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形； （3）解：连接交于点， 由题意知，， ∴垂直平分线段， ∴，， ∴, 由菱形知，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 解题思路： 1. 第一步：先判定四边形是菱形（若题目未明确），确保后续可使用菱形面积公式。 2. 第二步：根据已知条件，选择合适的面积公式：① 已知对角线，用；② 已知底和高，用。 3. 第三步：若已知条件不足，先通过菱形性质、勾股定理求出对角线或高，再计算面积。 易错点：① 未判定菱形，直接用菱形面积公式；② 对角线乘积漏乘；③ 求高时，与边长不对应。 【典例9】．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，证明四边形是菱形，再根据为等腰直角三角形，可得，然后根据菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点D分别作，垂足分别为点M，N，连接，则，    根据题意得：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 即重叠部分图形的面积是． 故选：C． 跟随训练9-1．如图，将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形．若，，则四边形的面积为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的折叠、菱形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．由题意可得四边形是菱形，，，由菱形的面积等于对角线乘积的一半即可得到答案． 【详解】解：∵将矩形对折，使边与，与分别重合，展开后得到四边形， ∴，与互相平分， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴菱形的面积为． 故选：C． 跟随训练9-2．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，菱形的判定，菱形的面积等知识点，熟练掌握及运用勾股定理是做题的关键．先求得四个全等的直角三角形的斜边长为，即可得出图1中的的长度；设两条直角边分别为，，利用图3的外轮廓周长为，求得，再判定图1中的四边形为菱形，根据面积公式，列式计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， （已舍去负值）， 即图1中的的长度为； 如图， 由题意可知，，设，， 则， 在中，， 即， 由题意得，， ， ， ， 即， ， ． 将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形， ， 四边形为菱形． 由题意和图可知，，， ． 故答案为：；． 跟随训练9-3．如图，在矩形中，点E是的中点，延长至点G，使得 连接，的延长线与的延长线交于点F，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合矩形的性质以及点E是的中点，证明，则，再证明四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行分析，即可作答． （2）结合矩形的性质以及角平分线的定义得，则，运用勾股定理列式得，由（1）得四边形是菱形，运用对角线的乘积的一半算出菱形的面积． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， 即， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴ ∵点E是的中点， ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ 由（1）得四边形是菱形； ∴， ∴菱形的面积． 【题型10 中点四边形】 解题思路： 1. 牢记核心结论：中点四边形一定是平行四边形；其形状由原四边形的对角线决定。 2. 与菱形相关的情况： · 原四边形是菱形：中点四边形是矩形（因菱形对角线互相垂直，中点四边形邻边平行于对角线，故邻边垂直）。 · 中点四边形是菱形：原四边形的对角线相等（逆用结论，与菱形本身无关，补充完整）。 3. 计算中点四边形的周长或面积：周长=原四边形对角线之和；面积=原四边形面积的一半。 易错点：① 混淆“原四边形”与“中点四边形”的关系；② 忘记中点四边形的周长、面积与原四边形对角线的关联。 【典例10】．如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（   ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【答案】D 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理证明四边形是菱形，四边形和四边形是矩形，再根据菱形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 矩形， ，，，，，， 分别为矩形四条边的中点， 分别是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形是矩形， 同理可证，四边形是矩形， ，， 菱形的面积． 跟随训练10-1．如图，长方形中，，顺次连接各边中点，得到四边形，顺次连接各边中点，得到四边形，以此类推，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接． 矩形中，，， ， 分别是和的中点， ， 以此类推，，， …… ， ． 跟随训练10-2．如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处） 【答案】①②③ 【分析】根据三角形中位线定理以及矩形和菱形的判定定理可判断①②③结论；根据题意得出每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半，可判断④结论． 【详解】解：顺次连接四边形各边中点，得到四边形， 由三角形中位线定理可知，，，，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形且相邻边长为、， ∴四边形的周长是， 故①②正确． 连接、 ∵四边形是矩形， ∴， 由三角形中位线定理可知，，， ， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形； 故③正确． 由题意可知，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，． ∴每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半， ∴四边形的面积为，故④错误． 跟随训练10-3．综合与实践：顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用，以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等，不垂直 平行四边形 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)探究一：如图1，在四边形中，，，，分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形； (2)探究二：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线①________时，中点四边形的形状是②________；由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线③________时，中点四边形的形状是④________；由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线⑤________时，中点四边形的形状是⑥________； (3)探究三：由图4，在猜想III成立的条件下，若，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)相等，菱形，垂直，矩形，相等且垂直，正方形，证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得是的中位线，为的中位线，由三角形中位线定理可得，，，，从而得出，，即可得证； （2）根据菱形、矩形、正方形的判定与性质即可得出结果； （3）连接、、，由（2）可得，四边形为正方形，，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，，表示出，从而可得当点、、三点共线时，的长最小，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴中点四边形是平行四边形； （2）解：由图2，从作图、测量结果得出猜想I：原四边形对角线相等时，中点四边形的形状是菱形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形； 由图3，从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形的形状是矩形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵对角线， ∴， ∴四边形是矩形； 由图4，从作图、测量结果得出猜想III：原四边形对角线垂直且相等时，中点四边形的形状是正方形； ， 证明：∵，，，分别是各边的中点， ∴是的中位线，为的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，， ∴，， ∵对角线， ∴， ∴四边形为菱形， ∵对角线， ∴， ∴四边形为正方形； （3）解：如图：连接、、， ， 由（2）可得：，四边形为正方形，， ∴， 由直角三角形的性质可得，， ∴， ∴当点、、三点共线时，的长最小，为． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 05 过关•检测 1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是（    ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直且平分 D．对边平行且相等 【答案】B 【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项对比，即可找出符合要求的选项． 【详解】解：A、菱形的四条边相等，矩形的四条边不一定相等，不符合题意； B、菱形的对角线不一定相等，矩形的对角线相等，符合题意； C、菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线互相平分但不一定互相垂直，不符合题意； D、菱形的对边平行且相等，矩形的对边平行且相等，不符合题意； 2．有下列说法，其中正确说法的序号是（    ） ①矩形具有平行四边形的所有性质； ②平行四边形是轴对称图形； ③菱形的任意一条对角线可把平行四边形分成两个全等的等腰三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． A．①④ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平行四边形与特殊平行四边形的性质逐个判断各说法即可． 【详解】解：∵矩形是特殊的平行四边形， ∴矩形具有平行四边形的所有性质，故①正确； ∵普通平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形， ∴②错误； ∵菱形是四边相等的平行四边形，任意一条对角线分割该平行四边形（菱形）后，得到的两个三角形三边对应相等（菱形边长相等，对角线为公共边），因此两个三角形全等，且每个三角形有两条边是菱形的边长，因此是等腰三角形， ∴③正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，四个小三角形等底同高，面积都等于平行四边形面积的，因此四个小三角形面积相等， ∴④正确； 综上，正确说法的序号是①③④． 故选：C． 3．如图，在矩形中，某同学利用直尺和圆规完成了如下操作：分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧分别交于点和点，连接、、、，发现、、三点在同一条直线上，连接分别交于点，交于点，交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B．四边形为菱形 C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知，，根据菱形的判定定理，可判断四边形是菱形，对于其他选项，结合矩形、菱形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，逐一分析推导． 【详解】解：A、由作图可知，，若，则边长为的菱形对角线为和，不满足勾股定理，实际计算可得，A错误； B、根据作图规则，分别以、为圆心，长为半径作弧得、，因此 ，四条边相等的四边形是菱形，故四边形是菱形，B正确； C、∵，∴是等边三角形，又，∴，∵四边形是菱形，∴垂直平分，∴，∵，，，∴，∴，∴，C错误； D、∵垂直平分，∴，∴，，∴，D错误． 4．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 5．如图，在一张矩形纸片中，，，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在线段上的一点处，点落在点处，有以下四个结论： ①四边形是菱形； ②平分； ③当点与点重合时，； ④线段的取值范围为． 其中正确的结论的个数是（    ） A．①②③④ B．②③ C．①③④ D．①④ 【答案】C 【分析】先由矩形的对边得，结合折叠性质推得四边形四边相等，证得它是菱形，结论①正确；若平分，需满足直角三角形的特殊边长关系，该条件并非必然成立，结论②错误；当与重合时，设，用勾股定理列方程求得，再构造直角三角形计算得，结论③正确；最后分析临界位置：与重合时取最小值，与重合时取最大值，故，结论④正确． 【详解】解：①∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故结论①正确； ②若平分，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 此时需满足，该条件并非必然成立，故不一定平分，结论②错误； ③当点与点重合时，设，则， 在中，由勾股定理得，即，解得， ∴，，即菱形的边长为． ∵， ∴，， 过点作于点，则四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，故结论③正确； ④当点与点重合时，取得最小值； 当点与点重合时，四边形是正方形， ∴，此时，即取得最大值， ∴线段的取值范围为，故结论④正确； 故选：C． 6．在综合实践活动课上，兴趣小组先画一个，折叠纸张使得点与点重合，折痕与边交于点；再折出射线，点在延长线上；最后折叠纸张使得落在上，点的对应点为点，连接，．对下列结论①四边形为平行四边形；②若是直角三角形，则四边形为矩形；③若是等腰三角形，则四边形为菱形．判断正确的是（    ） A．① B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】先根据折叠得，，证明四边形为平行四边形，再结合三角形的条件判断②③，即可作答． 【详解】解：①由题意可得：，， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ②条件中没有明确说明哪个角是直角，故不能说明四边形为矩形，故②错误； ③条件中没有明确说明哪条边是腰，故不能说明四边形为菱形，故③错误． 7．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点O，且，，则边上的高________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得，，，由勾股定理求出，再根据计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，，， ∴，，， ∴， ∴，即， 解得． 8．如图，在菱形中，对角线与相交于点，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为___________． 【答案】 【分析】由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，取中点H，连接，则，，再用勾股定理解即可． 【详解】解：在菱形中，对角线与相交于点， ，， ， ， 如图，取中点H，连接， 点为的中点，点H为的中点， ，， ， ， ， ， 9．如图，在菱形中，对角线，点在菱形外，连接，且，点分别在边上，连接，以为底边向右作等腰，使得，连接，则的面积为___________． 【答案】8 【分析】连接交于点，根据菱形的性质得出，，，，平分，确定，得出点四点共圆，再由等腰三角形的性质及题意得出点在直线上，确定点到直线的距离等于点到直线的距离，即的长，即可求解． 【详解】解：连接交于点， 四边形是菱形， ，，，，平分， ， 点四点共圆， 是等腰三角形，为底边， ， ∵ 平分， 点在直线上， ，， ∴， 点到直线的距离等于点到直线的距离，即的长， ． 10．如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【分析】设与交于点，作点，使得且，连接，可得 四边形是平行四边形，得到，即得，作点关于直线的对称点，连接、， 得，即得，根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为，利用平移的性质可得，， 最后利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵四边形是菱形，，， ，，， ∵四边形是平行四边形， ，， 作点，使得且，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， 作点关于直线的对称点，连接、， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， ，， ∴点可看作由点沿方向平移得到， ∵，， 又∵点到的距离为，点到的距离为，且在的左侧， ∴点在点的左侧个单位，下方个单位处， ∵点在下方个单位处，且在上， ∴点在下方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， ∵点与点关于对称， ∴点在上方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为， ，， 在中，， 的最小值为． 11．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 12．如图，在菱形中，点P为边上一动点，作点D关于线段的对称点E．取线段的中点F，连接，过点E作垂直射线于点G．若，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取的中点，连接，，，，对称得到，进而得到，证明，进而得到，得到，进而得到当点三点共线时，的值最小，根据菱形的性质，易得关于对称，为等边三角形，三线合一得到，进而得到，进而得到当点移动到点时，点三点重合，此时的值最小为的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，，，，则， ∵对称， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∵四边形为菱形， ∴，垂直平分， ∴，关于对称， ∴为等边三角形， ∵为的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵点在上运动， ∴当点运动到点时，此时三点重合，的值最小为的长， 故的最小值为． 13．如图，在中，，是斜边上的中线，点是的中点，过作交的延长线于点，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)如果，四边形的面积是30，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先证明，得，结合斜边上的中线等于斜边的一半，得出，因为，证明四边形是平行四边形，因为，所以证明四边形是菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得出，由四边形是菱形，得出，把代入计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （2）解：连结， 由（1）知 ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 14．如图，在平行四边形中，点，分别在，上，与相交于点，，，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】证明见解析 【详解】证明：平行四边形中，，， 即， 又， ， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是菱形． 15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线向终点C运动． (1)求点B的坐标． (2)求对角线所在直线的解析式． (3)设动点P的运动时间为t秒，连接的面积为S，请用含t的式子表示S； (4)当时，直线上是否存在点N，使．若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)y (3) (4)存在，或 【分析】（1）由点A坐标可得，，由勾股定理可得，根据菱形的性质可得边长为10，据此即可求解； （2）利用待定系数法求直线解析式即可； （3）分两种情形：如图中，时，如图中，时，分别求解即可； （4）根据题意可得，过点N作轴交于点Q，求出，结合面积得到即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线 的解析式为， 把代入得： ，解得， ∴直线的解析式为：； （3）解：连接，如图中，当时， ∵对角线交y轴于点M， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图中，当时， ∵， ∴， 又， ∴在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴综上所述，； （4）存在点N，如图4所示： 当时，点P在上运动， ∴， ∵， ∴， 过点N作轴交于点Q， 设直线的解析式为，把代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 设， ∴， ∴ 解得：， ∴N点的坐标为或． 16．【教材呈现】如图是华师版数学教材八年级下册第117页的部分内容． 例5：如图19.2.13，已知矩形的对角线的垂直平分线与边、分别交于点、． 求证：四边形是菱形． 分析：要证明四边形是菱形，由已知条件可知，所以只需要证明四边形是平行四边形，又已知垂直平分，所以只需要证明． (1)【问题解决】请根据教材分析，结合图①，写出完整的证明过程： (2)【结论应用】如图②，直线分别交矩形的边、于点、，将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，若，，则矩形的面积为 (3)【拓展探究】如图③，直线分别交的边、于点、，将沿翻折，使点的对称点与点重合，点的对称点为，连接，若，，，则四边形的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)32 (3)15 【分析】（1）由“”可证△，可得，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形，即可证平行四边形是菱形； （2）由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，据此求解即可； （3）过点A作，交延长线于点N，设，则，在中，由勾股定理列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴， ， 垂直平分， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：将矩形沿翻折，使点的对称点与点重合， ，， ∵， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积为； （3）解：如图，过点A作，交延长线于点N， ∵将平行四边形沿直线翻折，使点C的对称点与点A重合， 则由（1）可知：四边形是菱形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得， ∴， 则四边形的面积是：． 17．如图1，在四边形中，，点在边上，连接，过点作于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系：_____； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【分析】（1）设，则．根据平行线的性质、垂直的定义可得，再根据三角形内角和定理可得，即，由等角对等边可得，进而得到，再结合即可证明结论； （2）①先证四边形为矩形，再证明，根据全等三角形的性质即可解答；②先四边形为菱形，易得；如图：过点作于点，利用等腰三角形三线合一可得，再证明可得，进而证明结论． 【详解】（1）证明：设，则． ∵， ． ， ． ． 在中，， ． ． 又， ． ∵， 四边形为平行四边形． （2）解：①∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ ， ， 由（1）可得：， ∴， ∴． ②．理由如下： ，四边形为平行四边形， 四边形为菱形． ． ， ． 如图：过点作于点， ∵， ． ∵， ． ， ． ． ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $