专题05多边形期末复习讲义（10大核心题型+知识点全归纳+进阶练习）-2025-2026学年浙教版数学八年级下学期.

专题05多边形期末复习讲义 期末复习◆目标 1.掌握三大核心公式：内角和、外角和、对角线公式。熟记正多边形内外角计算方法与判定条件， 2.重点攻克两大难点：一是多边形截角三类分类讨论问题，；二是内外角和倍数关系方程题型，熟练运用方程思想解题。正多边形求值统一优先用外角和解题，简化计算、减少失误。 3.分清内角和随边数变化、外角和恒为360°；区分单点对角线与总对角线公式；牢记正多边形需同时满足边等、角等；截角题型必须分类讨论，规避所有期末高频陷阱。 核心题型◆归纳 题型1多边形的概念与分类 题型2多边形截角后的边数问题 题型3多边形的周长 题型4多边形对角线的条数问题 题型5对角线分成的三角形个数问题 题型6多边形内角和问题 题型7多（少）算一个角问题 题型8多边形截角后的内角和问题 题型9多边形外角和的实际应用 题型10多边形内角和与外角和综合 题型11进阶练习 重点知识◆梳理 考点一、多边形的基本概念 1.定义 由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫做n边形（n≥3，整数）。 2.相关名称 边：组成多边形的各条线段 顶点：相邻两边的公共端点 内角：多边形相邻两边组成的角 外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段 3.分类 凸多边形：所有内角都小于180°，整个多边形在任意一条边所在直线的同一侧（考试只考凸多边形） 凹多边形：至少有一个内角大于180° 4.正多边形 各边相等，各内角也相等的多边形，叫正多边形。 例：正三角形、正方形、正五边形、正六边形。 考点二、内角和定理 n边形内角和公式：n边形内角和=(n-2)×180° 推导理解 从n边形一个顶点出发，可作(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形， 每个三角形内角和180°，所以总内角和=(n-2)×180° 常见边数内角和 三角形(3边)：(3-2)×180°=180° 四边形(4边)：2×180°=360° 五边形：3×180°=540° 六边形：4×180°=720° 4.考点用法 已知边数求内角和：直接代公式 已知内角和求边数：解方程(n-2)×180°=内角和，求n 考点三、外角和定理 1.定理 任意多边形的外角和都是360°，与边数n无关！ 2.推导 n边形每个内角+对应外角=180° n个内角+n个外角=n×180° 外角和=n×180°−(n−2)×180°=360° 3.正多边形内、外角计算 设正n边形： 一个外角： 一个内角： 或 180°- 4.重要技巧 已知正多边形一个外角度数，直接求边数：n= 例：正多边形一个外角45°，边数=360÷45=8，正八边形。 考点四、对角线知识点 1.从一个顶点出发： 可画对角线：n-3条 分成三角形个数：n-2个 2.n边形总对角线条数： 推导：每个顶点连n-3条，n个顶点共n(n-3)，每条对角线算2次，除以2。 3.举例 五边形：一个顶点2条对角线，总对角线5条 六边形：一个顶点3条对角线，总对角线9条 考点五、期末必考易错点 1.内角和随边数增加而变大；外角和永远360°，不变。 2.正多边形必须同时满足：各边相等+各角相等 反例：长方形四角相等但边不一定相等，不是正四边形；菱形四边相等但角不一定相等，不是正四边形。 3.多边形每个内角一定小于180°，外角大于0°。 4.已知一个内角求正多边形边数： 先求外角=180°−内角，再用n=360°÷外角。 5.边数n必须是≥3的正整数。 题型解析◆精准备考 题型1多边形的概念与分类 1．下列图形属于多边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据多边形的定义，逐一判断选项是否符合“平面内由线段首尾顺次相接组成的封闭图形”这一条件，从而选出正确答案． 【详解】解：A选项：是一条线段，不是封闭图形，不属于多边形． B选项：是一个角，不是封闭图形，不属于多边形． C选项：是由线段首尾顺次相接组成的封闭图形，属于多边形． D选项：是由曲线围成的封闭图形，不属于多边形． 2．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 【答案】 五 5 2 3 【分析】此题考查了多边形的边、对角线的知识，多边形的问题可以通过作对角线转化为三角形的问题是解题的关键．多边形上任何不相邻的两个顶点之间的连线就是对角线，n边形有n个顶点，和它不相邻的顶点有个，因而从n边形的一个顶点出发的对角线有条，把n边形分成个三角形． 【详解】解：如图，图中的图形是五边形，有5条边，从一个顶点出发的对角线有2条，把该多边形分成3个三角形． 故答案为：五；5；2；3． 3．如图，求多边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了求多边形的面积，根据题意可得多边形由梯形和长方形构成，即可得；掌握多边形由梯形和长方形构成是解题的关键 【详解】解：有图象可得： 答：多边形的面积为． 题型2多边形截角后的边数问题 1．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 2．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 【答案】3或4或5 【分析】本题考查了多边形．根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案． 【详解】解：如图可知，原来多边形的边数可能是3或4或5． 故答案为：3或4或5． 3．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 【答案】剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形，示意图见解析 【分析】本题考查了多边形的截法，正确分类截多边形是解题的关键．分为三种情况，画出图形，解答即可． 【详解】解：如图，剩余的部分分别为四边形、五边形和六边形． 题型3多边形的周长 1．小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，长方形的周长，根据题意可得五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和，五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和，进而可知大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和． 【详解】解：根据题意得：把五个小长方形的长和宽分别平移到大长方形的长和宽上，则五个小长方形的长之和等于大长方形的长之和， 五个小长方形的宽之和等于大长方形的宽之和， ∴大长方形的周长等于五个小长方形的周长之和， ∵五个小长方形的周长之和为50， ∴大长方形的周长为50． 故选：B． 2．将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 【答案】31 【分析】本题主要考查的是整式的加减的应用、列代数式等知识点，列代数式表示出正方形的边长成为解题的关键． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中是周长为28的长方形，计算出，然后再列出图2中长方形的周长和没有覆盖的阴影部分的周长代数式，将代入计算即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 如图1中是周长为28的长方形，可得， 解得：， 将A、B、C、D四点在图2中标出，如图所示： 如图，图2中长方形的周长为38， ∴， ∴， 根据平移得，没有覆盖的阴影部分的周长是如图中四边形的周长， ∴ ． 故答案为：31． 3．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的周长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了网络图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键． （1）利用利用勾股定理求出的长，相加即得； （2）连接，根据勾股定理与勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形，进而可得出结论． 【详解】（1）解：，，，； 四边形的周长为 ． （2）解：连接， ，，， ． ． ， ． 题型4多边形对角线的条数问题 1．从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ∴． 2．从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________． 【答案】18 【分析】从边形的一个顶点出发有条对角线． 【详解】解：设该正多边形的边数是， ∵从正多边形的一个顶点出发有15条对角线， ∴， 解得， ∴该正多边形的边数是18． 3．如图，在同一平面内有5个点． (1)请按下列要求作图：连接．你得到了一个怎样的图形？ (2)在（1）的条件下，所连线段相交组成的五边形共有多少条对角线？ 【答案】(1)画图见解析，得到的图形为五角星 (2)5条 【分析】本题主要考查了画线段，多边形对角线条数问题，正确结合题意以及线段的画法画出对应的图形是解题的关键： （1）根据线段的画法作图即可； （2）根据（1）所求画出对应五边形的对角线即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 由图可知，得到的图形是一个五角星； （2）解：如图所示，所连线段相交组成的五边形共有5条对角线． 题型5对角线分成的三角形个数问题 1．过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了 4 个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵过边形的一个顶点的所有对角线把边形分成个三角形， 又由题可知，分得三角形的个数为， ∴可得方程 ， 解得． 即这个多边形的边数为6． 2．经过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是______边形． 【答案】九/9 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得： ， 解得； 故这个多边形是九边形． 3．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 【答案】(1)①，② (2) (3)44个 【分析】本题考查了多边形对角线规律及其应用，难点是理解这个规律的应用． （1）根据所给图形总结规律解答即可； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． （3）根据（2）的结论求解即可． 【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 5边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 6边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 7边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 8边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， …， ∴n边形从一个顶点出发的对角线有条，分割成的三角形有个， 故答案为：①，②； （2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出条对角线，则n个顶点可以引出条对角线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为． 故答案为：； （3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话（个）． 题型6多边形内角和问题 1．一题多解法  如图，，用含，，的式子表示，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先过点作，过点作，利用平行线的性质求得和，最后根据，求得即可；也可以连接，根据四边形的内角和，结合平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图①，过点作，过点作． ， ， ， ． ， ， ． ， ． 一题多解法 如图②，连接． 在四边形中，， ． ， ， ， ， ． 2．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 【答案】/82度 【分析】过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数． 【详解】解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中， ， 即，① 又∵， ∴，② ∴， 解得． 3．如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了多边形内角和公式，解题的关键是熟练掌握边形内角和公式为． （1）直接根据多边形内角和公式求解即可； （2）由多边形内角和公式得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：四边形的内角和为；五边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 题型7多（少）算一个角问题 1．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 【答案】D 【分析】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x，由多边形内角和定理可得等式：，由n为整数即可确定x的值． 【详解】设这个多边形的边数为n，少加的角的度数为x， 由题意得：， ， 由于n为整数，x为正数且小于， ， 则， 故选：D． 【点睛】本题考查了多边形内角和定理，关键是设多边形的边数及少加的角的度数，由多边形内角和定理得到等式，根据边数为整数确定少加的角． 2．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 【答案】/度 【分析】n边形的内角和是，即为180度的倍数，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去一个内角外，其余内角和与180度相除，得到的余数的度数的补角即是少算的内角的度数． 【详解】解：∵， ∴少加的内角是：． 故答案为：． 【点睛】考查了多边形内角与外角，正确理解多边形角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键． 3．玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 【答案】1 【分析】本题考查了多边形的内角和公式和对角线公式熟记公式是解题的关键根据多边形的内角和公式．多边形的内角一定大于0度，小于度，据此求得m的值，继而根据对角线公式求出n的值，代入计算可得． 【详解】解∶设边形少加的度数为度．则 ， 即． ，， ， ． 边形的对角线条数为． ． 题型8多边形截角后的内角和问题 1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 2．在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为______． 【答案】5或6或7 【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数． 【详解】解：设内角和为的多边形的边数为n，则， 解得， 即得到的多边形是6边形， 当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形， 当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况： ①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形； ②不过多边形的顶点，则原来的是5边形， 综上所述，原多边形的边数为5或6或7， 故答案为：5或6或7． 3．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，求原多边形边数． 【答案】原多边形的边数可能是15或16或17 【分析】此题考查了多边形的内角和公式．设新的多边形的边数为n，由多边形内角和公式，可得方程，即可求得新的多边形的边数，继而求得答案． 【详解】解：设新的多边形的边数为n， ∵新的多边形的内角和是， ∴， 解得：， ∵一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形是十六边形， ∴原多边形的边数可能是15或16或17． 题型9多边形外角和的实际应用 1．八边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵任意多边形的外角和都为，与边数无关 ∴八边形的外角和为． 2．如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为________°． 【答案】 【分析】本题考查的是多边形的外角，掌握多边形的外角和等于是解题的关键．根据多边形的外角和等于解答即可． 【详解】解：由多边形的外角和等于可知，， 故答案为：． 3．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 【答案】(1)小明一共走了120米 (2)这个多边形的内角和是． 【分析】本题考查了正多边形的外角的计算以及多边形的内角和． （1）第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形，求得边数，即可求解； （2）根据多边形的内角和公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵所经过的路线正好构成一个外角是30度的正多边形， ∴，（米）； 答：小明一共走了120米； （2）解：根据题意得： ， 答：这个多边形的内角和是． 题型10多边形内角和与外角和综合 1．已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形是（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】任意多边形的外角和为，n边形内角和公式为，根据题意列方程求解边数即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得 解得． 所以这个多边形是六边形． 2．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 【答案】9 【分析】根据题意设边数为，根据多边形内角和定理及外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 化简得：， 解得：． 3．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 【答案】8 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，设这个多边形的边数是n，根据多边形内角和及外角和列出方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得： ， 解得：． 答：这个多边形的边数是8． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了凸多边形的概念，根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形．否则即是凹多边形． 【详解】 解：根据凸多边形的概念，可知图形不是凸多边形的是． 故选：D． 2．一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多边形对角线的计算，利用n边形从一个顶点出发引出对角线的条数公式，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于n边形，从一个顶点出发可引出的对角线条数为， 又∵该多边形为七边形，即， ∴代入得． 故选：C． 3．“中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，牢记边形的内角和公式为(为多边形的边数，且是大于等于3的整数)是解题的关键，本题据此求解即可． 【详解】解：由多边形内角和公式可知， 五边形的内角和为， 故选：C． 4．将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据边形内角和公式得出多边形的内角和，即可解题． 【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是或或， 其中四边形内角和为，五边形内角和为，六边形内角和为， 得到的多边形的内角和是或或， 故选：D． 5．如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，三角形外角的性质．根据多边形的外角和定理，可得，再由三角形外角的性质，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点K， ∵多边形外角和为，对应的邻补角的和等于， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C 二、填空题 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 【答案】9或10或11 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得： 又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1， 原多边形的边数为9或10或11． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少． 7．如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 8．小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为________． 【答案】 【分析】本题考查了多边形内角和公式，理解题意，把一个内角多加一次即为整除之后的余数是解答本题的关键．根据多边形内角和公式，内角和应是的倍数，且每个内角应大于而小于，根据这些条件进行分析求解． 【详解】解：由多边形内角和公式知， 多边形的内角和是的倍数， 多加的一个内角是的余数 即为 故答案为 9．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 10．如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】根据题意，五边形的周长为，六边形的周长为，作差，结合三角形两边之和大于第三边，解答即可． 本题考查了图形的周长，三角形三边关系定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得：五边形的周长为，六边形的周长为， 故 ， 由，得， 得， 该六边形的周长一定比原五边形的周长小． 故答案为：小． 三、解答题 11．一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为． (1)求这个n边形的边数； (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1)这个n边形的边数为6 (2) 【分析】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列式求解一个外角，再求解边数即可； （2）利用多边形的内角和公式求解即可． 【详解】（1）解： ， ．            ∴这个n边形的边数为6． （2）解：这个n边形的内角和为． 12．已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 【答案】(1)这个多边形的边数为7． (2)截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，熟记内角和公式与外角和定理是解题的关键． （1）根据多边形的内角和公式，外角和定理列出方程，求解即可； （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1，三种情况，依据多边形的内角和公式求解即可． 【详解】（1）设这个多边形的边数为， 则内角和为，外角和为， 由题意，得 解得． 这个多边形的边数为7． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能减少了1，也可能不变，或者增加了1． 截完后所形成的新多边形的边数可能是6或7或8． ①当多边形为六边形时．其内角和为； ②当多边形为七边形时，其内角和为； ③当多边形为八边形时，其内角和为． 综上所述，截完后所形成的新多边形的内角和为或或． 13．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由； (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 【答案】(1)嘉嘉的说法不正确，理由见解析 (2)①；②见解析 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和问题； （1）根据多边形的外角和始终为，即可求解； （2）根据多边形内角和定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：嘉嘉的说法不正确； 理由：多边形的外角和始终为，与多边形的边数无关； （2）①， 解得， 即的值为； ②， 整理得， 解得． ∴无论取何值，的值始终不变． 14．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)13边形的内角和 (3)能，这个外角为 【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是． （1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答； （2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数； （3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可． 【详解】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 15．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 【答案】（1）2，3；（2）；（3） 【分析】本题考查多边形对角线与三角形分割规律、角平分线性质、角度和差运算及方程思想在几何角度问题中的应用，利用角的倍数关系、平分线性质建立方程或利用多边形规律是解题的关键。 （1）通过多边形从一个顶点出发的对角线数量规律和三角形分割规律，代入五边形边数即可得出结果； （2）通过角度的和差计算即可得出的度数； （3）通过设未知数表示角的倍数与平分关系，结合已知角建立方程，再利用角度和差运算整体代换，最终求出的度数； 【详解】解：（1）时， 从一个顶点出发的对角线数量为， 三角形分割数量为． （2）∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴，． ∵平分， ∴． 设，则，． ∵， ∴，解得， ∴， 故小路与小路的夹角（即）的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05多边形期末复习讲义 期末复习◆目标 1.掌握三大核心公式：内角和、外角和、对角线公式。熟记正多边形内外角计算方法与判定条件， 2.重点攻克两大难点：一是多边形截角三类分类讨论问题，；二是内外角和倍数关系方程题型，熟练运用方程思想解题。正多边形求值统一优先用外角和解题，简化计算、减少失误。 3.分清内角和随边数变化、外角和恒为360°；区分单点对角线与总对角线公式；牢记正多边形需同时满足边等、角等；截角题型必须分类讨论，规避所有期末高频陷阱。 核心题型◆归纳 题型1多边形的概念与分类 题型2多边形截角后的边数问题 题型3多边形的周长 题型4多边形对角线的条数问题 题型5对角线分成的三角形个数问题 题型6多边形内角和问题 题型7多（少）算一个角问题 题型8多边形截角后的内角和问题 题型9多边形外角和的实际应用 题型10多边形内角和与外角和综合 题型11进阶练习 重点知识◆梳理 考点一、多边形的基本概念 1.定义 由n条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形，叫做n边形（n≥3，整数）。 2.相关名称 边：组成多边形的各条线段 顶点：相邻两边的公共端点 内角：多边形相邻两边组成的角 外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角 对角线：连接多边形不相邻两个顶点的线段 3.分类 凸多边形：所有内角都小于180°，整个多边形在任意一条边所在直线的同一侧（考试只考凸多边形） 凹多边形：至少有一个内角大于180° 4.正多边形 各边相等，各内角也相等的多边形，叫正多边形。 例：正三角形、正方形、正五边形、正六边形。 考点二、内角和定理 n边形内角和公式：n边形内角和=(n-2)×180° 推导理解 从n边形一个顶点出发，可作(n-3)条对角线，把n边形分成(n-2)个三角形， 每个三角形内角和180°，所以总内角和=(n-2)×180° 常见边数内角和 三角形(3边)：(3-2)×180°=180° 四边形(4边)：2×180°=360° 五边形：3×180°=540° 六边形：4×180°=720° 4.考点用法 已知边数求内角和：直接代公式 已知内角和求边数：解方程(n-2)×180°=内角和，求n 考点三、外角和定理 1.定理 任意多边形的外角和都是360°，与边数n无关！ 2.推导 n边形每个内角+对应外角=180° n个内角+n个外角=n×180° 外角和=n×180°−(n−2)×180°=360° 3.正多边形内、外角计算 设正n边形： 一个外角： 一个内角： 或 180°- 4.重要技巧 已知正多边形一个外角度数，直接求边数：n= 例：正多边形一个外角45°，边数=360÷45=8，正八边形。 考点四、对角线知识点 1.从一个顶点出发： 可画对角线：n-3条 分成三角形个数：n-2个 2.n边形总对角线条数： 推导：每个顶点连n-3条，n个顶点共n(n-3)，每条对角线算2次，除以2。 3.举例 五边形：一个顶点2条对角线，总对角线5条 六边形：一个顶点3条对角线，总对角线9条 考点五、期末必考易错点 1.内角和随边数增加而变大；外角和永远360°，不变。 2.正多边形必须同时满足：各边相等+各角相等 反例：长方形四角相等但边不一定相等，不是正四边形；菱形四边相等但角不一定相等，不是正四边形。 3.多边形每个内角一定小于180°，外角大于0°。 4.已知一个内角求正多边形边数： 先求外角=180°−内角，再用n=360°÷外角。 5.边数n必须是≥3的正整数。 题型解析◆精准备考 题型1多边形的概念与分类 1．下列图形属于多边形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，该图形是_______边形，有_______条边，从一个顶点出发的对角线有_______条，把该多边形分成_______个三角形． 3．如图，求多边形的面积． 题型2多边形截角后的边数问题 1．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．将一张正方形的纸片沿一条直线截下一个三角形后，剩下纸片的边数可能是___________． 3．如图，从五边形纸片中剪去一个三角形，剩余的部分是几边形？请画出示意图说明． 题型3多边形的周长 1．小亮绘制了一个如图所示的大长方形，上面绘有五个小长方形，若这五个小长方形的周长之和为50，则大长方形的周长为（    ） A．25 B．50 C．75 D．100 2．将图1中周长为28的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为38的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为________． 3．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． (1)求四边形的周长； (2)求的度数． 题型4多边形对角线的条数问题 1．从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．从正多边形的一个顶点出发有15条对角线，则该正多边形的边数是___________． 3．如图，在同一平面内有5个点． (1)请按下列要求作图：连接．你得到了一个怎样的图形？ (2)在（1）的条件下，所连线段相交组成的五边形共有多少条对角线？ 题型5对角线分成的三角形个数问题 1．过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了 4 个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．经过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是______边形． 3．阅读与思考 连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线． 如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题： 多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… 从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 …… ①_____ 分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 …… ②_____ (1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含的代数式填写表格①______，②______； (2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______； (3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？ 题型6多边形内角和问题 1．一题多解法  如图，，用含，，的式子表示，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则______． 3．如果一个多边形的边数为n，就说这个多边形为n边形．多边形所有内角的度数和就是多边形的内角和． (1)求四边形和五边形的内角和； (2)如果一个n边形的内角和为，求n的值． 题型7多（少）算一个角问题 1．小红：我计算出一个多边形的内角和为；老师：不对呀，你可能少加了一个角则小红少加的这个角的度数是（　　） A．1 B．1 C．1 D．1 2．在计算某n边形的内角和时，不小心少算了一个内角，得到和为，这个角的大小是_____________． 3．玛丽在进行一个的内角和计算时，求得的内角和为，当发现错误之后，她立即检查发现少加了一个内角．已知该边形的对角线有条，试求的值． 题型8多边形截角后的内角和问题 1．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 2．在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为______． 3．一个多边形截去一个角后，形成新多边形的内角和为，求原多边形边数． 题型9多边形外角和的实际应用 1．八边形的外角和为（    ） A． B． C． D． 2．如图，图①是我国古代建筑中的一种窗格，称为“冰裂纹”．图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的五边形，、、、、分别是这个五边形的外角，则的度数为________°． 3．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转30°，再前进10m后又向右转30°，……，如此反复下去，直到她第一次回到出发点A，他所走的路径构成了一个正多边形． (1)求小明一共走了多少米； (2)求这个正多边形的内角和． 题型10多边形内角和与外角和综合 1．已知一个多边形的外角和等于内角和的一半，那么这个多边形是（） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 3．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，求这个多边形的边数． 进阶练习◆培优 一、单选题 1．下列图形不是凸多边形的是（　　） A． B． C． D． 2．一个七边形从一个顶点出发，最多可引出的对角线的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．“中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 4．将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得到的多边形的内角和是（     ） A． B． C．或 D．或或 5．如图，七边形中， 的延长线交于点 O，若对应的邻补角的和等于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______． 7．如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 8．小明在计算多边形内角和时，把其中一个内角多加了一次，得到内角和为，则多加的这个内角的大小为________． 9．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 10．如图，将五边形沿虚线裁去一个角得到六边形，则该六边形的周长一定比原五边形的周长________．（填“大”或“小”） 三、解答题 11．一个n边形的每个外角都相等，它的一个内角与相邻的外角的度数之比为． (1)求这个n边形的边数； (2)求这个n边形的内角和． 12．已知一个多边形的内角和比外角和的3倍少． (1)求这个多边形的边数． (2)若截去该多边形的一个角，求截完后所形成的新多边形的内角和． 13．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题． (1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由； (2)设的边数为 ①若，求的值； ②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由． 14．看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 15．【问题提出】 （1）如图1，从五边形的顶点出发，一共可以画______条对角线，将五边形分成______个三角形； 【问题探究】 （2）如图2，点在直线上，、是直线上方的两条射线，在的左侧，平分，，若，求的度数； 【问题解决】 （3）如图3，六边形是某公园的一块空地，，公园规划人员为美化公园环境，沿、、铺设了三条小路，将这块空地分割成四部分来种植不同的植物，若，平分，且．求小路与小路的夹角（即）的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $