精品解析：广西南宁市第二中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

南宁二中2025-2026学年下学期高二期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角成等差数列，其所对的边分别为a，b，c，且，则b的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 8. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.45 D. 0.55 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B. 有一组数1，2，3，5，这组数的第百分位数是3 C. 随机变量，若，，则 D. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 10. 已知双曲线，则下列结论正确的是（ ） A. m的取值范围是 B. C的焦距与m的取值有关 C. 存在实数m，使得点在C上 D. 若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 11. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. 数列为递减数列 C. 任意， D. 任意， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是奇函数，则实数______． 13. 若直线被圆截得的弦长为6，则的值为______ 14. 智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）求使成立的的取值集合． 16. 长时间玩手机可能影响视力，已知某校全体学生的近视率为，每天玩手机超过1小时的学生占全校人数的且这部分学生的近视率为． （1）求该校每天玩手机不超过1小时的学生的近视率； （2）从每天玩手机不超过1小时的学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，记抽到近视的人数为X，求X的分布列与数学期望． 17. 如图，在直三棱柱中，分别是、、的中点． （1）求证：平面； （2）若底面是正三角形，，求平面CEF与平面所成角的余弦值． 18. 已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． （1）求C的标准方程； （2）证明：直线恒过定点． 19. 已知函数．（其中） （1）当时，求在处的切线方程； （2）若有两个零点，为的导函数． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）记较小的一个零点为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2025-2026学年下学期高二期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 2. 已知等比数列，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知数列为等比数列，为的等比中项，即， 由于，所以，故D正确. 3. 在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】给出的二项展开式即可求解. 【详解】的二项展开式的通项为， 所以第项为，其二项式系数为，故B正确. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】设条件：“”，条件：“”，当，，所以能推出； 当，，此时不一定为0，所以不能推出. 所以“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，是单位向量，所以， 又因为，所以， 即， 即，所以， 所以， 又因为，所以. 6. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在图2中，水的体积是， 在图1中，设容器水面的高度为，则，所以. 7. 已知的内角成等差数列，其所对的边分别为a，b，c，且，则b的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为成等差数列，故，而，故。 由正弦定理得， 故即，其中为外接圆半径， 故即，故. 8. 设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ） A. 0.25 B. 0.35 C. 0.45 D. 0.55 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得有变号的根，从而可得，由正态分布的特征求解即可. 【详解】因为函数有极值点， 所以有变号的根， 所以， 解得， 又因为随机变量服从正态分布，且， 由正态分布的特征可知， 所以. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据通过计算得到线性回归方程为，若，则 B. 有一组数1，2，3，5，这组数的第百分位数是3 C. 随机变量，若，，则 D. 在的独立性检验中，若不小于对应的临界值，可以推断两变量不独立，该推断犯错误的概率不超过 【答案】AD 【解析】 【详解】选项A：线性回归方程必过样本中心点， 代入，得，解得，故A正确； 选项B：计算第百分位数的位置，是整数， 故第百分位数是第3个和第4个数据的平均值，即，故B错误； 选项C：二项分布满足，， 代入得，解得，则，故C错误； 选项D：在的独立性检验中，若， 则原假设不成立，故两变量不独立，则犯错误的概率不超过，故D正确． 10. 已知双曲线，则下列结论正确的是（ ） A. m的取值范围是 B. C的焦距与m的取值有关 C. 存在实数m，使得点在C上 D. 若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【详解】双曲线，则需满足， 解得，故A正确； 双曲线的标准方程为，则， 故，焦距为，与无关，故B错误； 若点存在，则代入双曲线方程得：， 解得， ， 存在这样的实数，故C正确； 由题意知，即，解得， ， ，故D正确． 11. 已知数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. 数列为递减数列 C. 任意， D. 任意， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，代入求值即可判断；对于B，，说明，即可证明，即可判断B；对于C，求出即可判断；对于D，先证明，由，两边同时除以得，当时，利用累加法得到，即可得到，再讨论，即可判断D. 【详解】对于A，，，，故A正确； 对于B，， 当时，若，则或， 令，即，因为，故方程无解，即， 当时，或，而， 以此类推，或， 又，所以， 所以，所以， 所以数列为递减数列，故B正确； 对于C，， 所以，故C错误； 对于D，因为数列为递减数列，故， 由可得，即， 由，两边同时除以得，即， 所以当时， ，，，， 上式累加得， 即， 又，所以， 当时，，此时， 综上，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数是奇函数，则实数______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】由题意，即，所以， 经检验，当，满足奇函数定义，符合题意. 13. 若直线被圆截得的弦长为6，则的值为______ 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意可得弦长等于直径，直线经过圆心，将圆心坐标代入直线方程求解. 【详解】由题意知圆心坐标为，半径为3，则直径为6， 因为直线被圆截得的弦长为6，所以直线经过圆心， 则，解得， 故答案为：1. 14. 智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人A从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动6秒恰好位于舞台中心的路径条数为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】求出向正北、正南、正东、正西方向移动的步数，再根据排列组合的知识求解即可. 【详解】以舞台中心为坐标原点，则的初始位置为， 设在6秒内，机器人向正北方向移动步，正南方向移动步， 因为最后要回到原点， 所以向正东和正西移动的距离相等，设为步， 由题意可得， 所以， 所以当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，，此时共有种移动方法； 当时，（舍）； 综上，一共有种移动方法. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的单调递减区间； （2）求使成立的的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简，再由正弦函数性质求的单调递减区间； （2）根据题意列不等式，再由正弦函数性质计算求解即可.. 【小问1详解】 由题意 即 , 根据三角函数的性质可得：当时，函数单调递减， 解得, 故的单调递减区间为. 【小问2详解】 若，则，即， 所以，解得， 所以使成立的的取值集合为. 16. 长时间玩手机可能影响视力，已知某校全体学生的近视率为，每天玩手机超过1小时的学生占全校人数的且这部分学生的近视率为． （1）求该校每天玩手机不超过1小时的学生的近视率； （2）从每天玩手机不超过1小时的学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，记抽到近视的人数为X，求X的分布列与数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为 【解析】 【分析】（1）根据条件中的概率，结合全概率公式，即可求解； （2）由(1)的结果，确定8人中近视眼的人数，再利用超几何分布求概率和数学期望. 【小问1详解】 设学生每天玩手机超过1小时为事件，不超过1小时为事件，学生近视为事件， 则，，，， 所以， 则 ，解得： ， 所以该校每天玩手机不超过1小时的学生的近视率为. 【小问2详解】 由（1）可知每天玩手机不超过1小时的学生的近视率为，则8人中有3人近视，5人不近视， 则，， 所以的分布列为 0 1 2 期望. 17. 如图，在直三棱柱中，分别是、、的中点． （1）求证：平面； （2）若底面是正三角形，，求平面CEF与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，根据平行关系的转化可得平面平面，从而可证平面； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求面面角的余弦值. 【小问1详解】 取的中点为，连接， 由直三棱柱可得四边形为矩形，而， 则，而， 所以，故四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，故平面. 因，故，同理，故， 同理平面，而，平面， 故平面平面，而平面，故平面. 【小问2详解】 在平面内过作直线垂直于， 由直三棱柱建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则，故， 设平面的法向量为，则， 则，取. 又，， 设平面的法向量为，则， 则，取. 设平面CEF与平面所成的角为， 则. 18. 已知椭圆的焦距为2，C上的点到两个焦点的距离之和为4，直线l过C的右焦点F且与C交于A，B两点，过点A作直线的垂线，垂足为D． （1）求C的标准方程； （2）证明：直线恒过定点． 【答案】（1） （2）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据条件确定求椭圆方程； （2）首先直线方程与椭圆方程联立，并利用坐标表示直线的方程，利用韦达定理表示直线与轴的交点，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，焦距为，则，，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆的右焦点， 设直线， 与椭圆方程联立得，设，， 则， 又，，直线的方程为， 令，得，（*） 由韦达定理可知，，即，代入（*）得 ， 所以直线恒过定点， 当直线的斜率为0时，直线，满足条件的直线为，也过点 综上可知，直线恒过定点. 19. 已知函数．（其中） （1）当时，求在处的切线方程； （2）若有两个零点，为的导函数． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）记较小的一个零点为，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先代入得到函数表达式，再求切点，求导后求出切线斜率，最后用点斜式即可写出切线方程； （2）先求导并因式分解得到单调性与极小值点，利用函数有两个零点等价于极小值小于0，构造函数分析单调性后即可得到的取值范围； （3）先化简的表达式，将证明转化为不等式，分和两种情况讨论，对后者构造函数证明单调性与符号，从而完成证明. 【小问1详解】 当时，，则，， 所以切线斜率为， 则在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 （ⅰ）因为，所以， 令，所以，即， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 且时，，当时，， 因为有两个零点，所以只需即可. 令，则，所以在上单调递增，又因为，所以当时，， 所以实数的取值范围为. （ⅱ）因为，由，结合（ⅰ）知， 因为， 所以， 所以，要证，即证，即， 当时，因为，不等式恒成立； 当时，由得， 即证， 即证， 即证， 设， 则， 所以在上单调递增， 所以，故原不等式成立. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $