2.3一元二次方程根与系数的关系 课件 2025-2026学年浙教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过知识回顾（一般形式、求根公式、根的判别式）搭建学习支架，引导学生从解具体方程、计算两根和积入手，逐步探究根与系数的内在联系。 其亮点在于以合作学习激发数学眼光，让学生观察方程根与系数的规律，通过求根公式严谨推导韦达定理培养推理能力。例题将代数式转化为两根和积形式，体现模型意识，小结归纳推论与公式。学生能提升探究与应用能力，教师可高效开展教学。

第一章 二次根式 2.3一元二次方程根与系数的关系 01 教学目标 01 02 了解一元二次方程的根与系数的关系。 能运用一元二次方程根与系数的关系求一元二次方程的两根之和、两根之积及与两根有关的代数式的值。 能运用一元二次方程根与系数的关系由一元二次方程的一个根求出另一个根或方程中字母的值。 03 一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0). 一元二次方程的求根公式是什么？ . 如何判定一元二次方程的根的情况？ >0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根; 0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根; <0方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 知识回顾 3 03 新知探究 合作学习 先解下列方程，然后计算这些方程的两根之和与两根之积： (1)x2-12x+11=0 (2)x2-9=0 (3)4x2+20x+25=0 方程 两个根 两根之和 两根之积 x1 x2 x1+x2 x1·x2 x2-12x+11=0 x2-9=0 4x2+20x+25=0 1 11 12 11 3 -3 0 -9 -5 03 新知探究 合作学习 你发现了什么？对于任何一个一元二次方程，这种关系都成立吗？ 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 ， 则 先解下列方程,然后计算这些方程的两根之和与两根之积: (1) x212x+11=0. (2) 2x2=0. (3) 4x2 +20x+25=0. 解：(1) ∵ x212x+11=0， ∴(x－1)(x－11)＝0， 则x－1＝0或x－11＝0， 解得x1＝1或x2＝11； 则x1+ x2＝12，x1x2＝11. 新知探究 6 先解下列方程,然后计算这些方程的两根之和与两根之积: (1) x212x+11=0. (2) 2x2=0. (3) 4x2 +20x+25=0. 解： (2)将原方程的左边分解因式,得2x(x)=0, 则x=0,或x= 0, 解得x1 =0, x2 =. 则x1+ x2＝ ，x1x2＝0. 新知探究 7 03 新知探究 猜想：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根 为 ，则 思考：你能证明这个猜想吗？ 03 新知探究 证明：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2 03 新知探究 03 新知探究 合作学习 证明：设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(b2－4ac≥0)的两个根为x1，x2 03 新知探究 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、 x2，那么 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0. 先解下列方程,然后计算这些方程的两根之和与两根之积: (1) x212x+11=0. (2) 2x2=0. (3) 4x2 +20x+25=0. 解：(3)由原方程可得(2x)2+2×2×5x+52=0, 则(2x+5)2=0, 解得x1 = x2=. 则x1+ x2＝，x1x2＝. 思考：这些方程的两 根之和与两根之积和 方程的系数a,b,c有什 么联系？ 新知探究 13 一般地,一元二次方程的根与系数有如下关系: 如果x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,那么x1+ x2 =, x1x2= . 思考：你能证明一元二次方程的根与系数的关系吗？ 设一元二次方程ax2+bx+c=0(≥0)的两个根为x1, x2, 则,. 新知探究 14 03 新知讲解 提炼概念 一元二次方程的根与系数的关系 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1， x2，那么 【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac≥0. 韦达定理 新课探究 把一元二次方程x²-2015x+1024=0的两个根表示成,,请用3秒算出两根之和,以及两根之积 你能行吗？ 03 新知讲解 例1 设x1，x2是一元二次方程5x2-7x-3=0的两个根，求 x12+x22和的值. 解：有一元二次方程的根与系数的关系，得 ∴ ∴ 在解决上述这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系，我们不 必先求出方程的根，给计算带来方便。 03 新知讲解 例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3，它的两个根分别是，1.写出这个方程. 解 设这个方程为3x2+bx+c=0，由一元二次方程根与系数的关系，得 所以这个一元二次方程是3x2-4x+1=0. ∴ = = . = = = . ∴ 新知探究 19 推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1, x2，那么 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1, x2，那么和为多少？ 推论2：以两个数x1, x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2x+ =0. 如果一个一元二次方程的两个根是x1, x2(二次项系数为1)，你能写出这个方程吗？ 新知探究 20 03 新知探究 归纳总结 求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 05 课堂小结 一元二次方程根与系数的关系还有两个重要推论。 推论1：若方程x2+px+q=0的两根为x1，x2，则有x1+x2=-p x1·x2=q 推论2：以x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 x2+（x1+x2）x+x1·x2=0 一元二次方 程根与系数 的关系 关系 推论1 如果x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根, 那么x1+ x2 =, x1x2= 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1, x2， 那么 课堂小结 推论2 以两个数x1, x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是x2x+ =0 谢谢大家 $