2.4 一元二次方程的应用（第3课时）（教学课件）数学新教材浙教版八年级下册

2.4 一元二次方程的应用 第三课时 运动问题 第2章《一元二次方程》 学 习 目 标 1 2 3 体会一元二次方程在解决几何图形面积、长度计算及动点问题中的工具作用，感受数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为一元二次方程。 掌握利用一元二次方程解决图形面积、动点等实际问题的一般步骤：审题→设元→列方程→解方程→检验并作答，能根据实际意义合理取舍方程的根。 理解数形结合思想在解决几何与运动问题中的重要性，能通过图形分析找到等量关系，提升几何直观与逻辑推理能力。 实际问题列方程通用解题过程 01 审题设未知数 找出问题核心，用字母清晰表示未知量。 02 分析表示关系 用含未知数的代数式，准确表示相关量。 03 寻找等量列方程 依据面积、体积等关键信息列出方程。 04 解方程求根 运用公式法或因式分解法解一元二次方程。 05 检验回归实际 检验解的合理性，舍去不符合实际的根。 06 规范写出答案 用完整、规范的语言，写出最终答案。 知识回顾 ——“数学源于生活，又服务于生活” 导入新课 一艘轮船(C)正以30 km/h的速度由西向东航行。途中接到预警：台风中心(B)正以20 km/h的速度由南向北移动。 影响范围：距台风中心 200 km 以内区域 初始距离：轮船与台风中心 BC = 500 km 垂直距离：台风中心到航线 BA = 300 km 思考：如何通过几何与代数结合判断轮船是否受影响？ A 东 C 500km B 200 km 北 问题： 一轮船（C）以 30 km/h的速度由西向东航行 ，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20 km/h的速度由南向北移动。已知距台风中心 200 km 的区域（包括边界）都属于受台风影响 区。当轮船接到台风预警时，测得BC＝500 km，BA＝300 km。 （1） 如果轮船不改变航向，轮船会不会进入 台风影响区？你采用什么方法来判断？ （2） 如果你认为轮船会进入台风影响区，那 么从接到警报开始，经多少时间开始进入台风影响区？ 新知探究 知识点1 动点问题 做一做 C1 A 东 C 500km B1 B 200 km 北 小组合作学习 新知探究 知识点1 动点问题 做一做 C1 A 东 C 500km B1 B 200 km 北 （1） 如果轮船不改变航向，轮船会不会进入 台风影响区？你采用什么方法来判断？ 学习任务单 合作学习 ②假设经t小时后，轮船和台风中心分别在C1，B1的位置，用t表示下列线段 CC1= ； BB1= ； AC1= ； AB1= ； ① 已知BC＝500 km，BA＝300 km 可以求出AC= ； 依据： 30t 20t 300-20t 400- 30t 勾股定理 400 km 一轮船（C）以 30 km/h的速度由西向东航行 ，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20 km/h的速度由南向北移动 ③ 若轮船刚进入台风影响区， 此时C1与B1 之间距离= ； 200 km 学习任务单 合作学习 新知探究 知识点1 动点问题 做一做 C1 A 东 C 500km B1 B 200 km 北 （1） 如果轮船不改变航向，轮船会不会进入 台风影响区？你采用什么方法来判断？ 一轮船（C）以 30 km/h的速度由西向东航行 ，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20 km/h的速度由南向北移动 ④连结C1B1，则C1B1 与AC1 、AB1满足 关系： ； ⑤可列出方程： ； ⑥ 解的几何意义 方程有解： ； 方程无解： ； 轮船会进入台风区 轮船始终安全 新知探究 知识点1 动点问题 做一做 C1 A 东 C 500km B1 B 200 km 北 （1） 如果轮船不改变航向，轮船会不会进入 台风影响区？你采用什么方法来判断？ 学习任务单 合作学习 一轮船（C）以 30 km/h的速度由西向东航行 ，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20 km/h的速度由南向北移动 整理方程： ； 化简方程： ； 1300t² - 36000t + 210000 = 0 13t² - 360t + 2100 = 0 计算Δ ： ； Δ = (-360)² - 4×13×2100 = 129600 - 109200= 20400 根的判别式结论： ； ∵ Δ = 20400 > 0 ∴ 方程有两个不相等的实数根 新知探究 知识点1 动点问题 做一做 C1 A 东 C 500km B1 B 200 km 北 （1） 如果轮船不改变航向，轮船会不会进入 台风影响区？你采用什么方法来判断？ 学习任务单 合作学习 一轮船（C）以 30 km/h的速度由西向东航行 ，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20 km/h的速度由南向北移动 是否受影响？ ； 两个实数根意味着存在两个时刻，轮船与台风中心距离恰好为200km。 结论：轮船一定会进入台风影响区 新知探究 知识点1 动点问题 做一做 C1 A 东 C 500km B1 B 200 km 北 一轮船（C）以 30 km/h的速度由西向东航行 ，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20 km/h的速度由南向北移动 （2） 如果你认为轮船会进入台风影响区，那 么从接到警报开始，经多少时间开始进入台风影响区？ 学习任务单 合作学习 ①解方程： ； 13t² - 360t + 2100 = 0 Δ = (-360)² - 4×13×2100 = 129600 - 109200= 20400 t₁ ≈ (360-142.828)÷26 ≈ 8.35 h t₂ ≈ (360+142.828)÷26 ≈ 19.34 h t 新知探究 知识点1 动点问题 做一做 C1 A 东 C 500km B1 B 200 km 北 学习任务单 合作学习 一轮船（C）以 30 km/h的速度由西向东航行 ，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20 km/h的速度由南向北移动 （2） 如果你认为轮船会进入台风影响区，那 么从接到警报开始，经多少时间开始进入台风影响区？ ②结果含义分析 t₁ ≈ 8.35小时 代表轮船 进入台风区的时间 t₂ ≈ 19.34小时 代表轮船 台风区的时间 结论：从接到警报开始，经过约 小时，轮船将开始进入台风影响区 开始 离开 8.35 新知探究 做一做 C1 A 东 C 500km B1 B 200 km 北 一轮船（C）以 30 km/h的速度由西向东航行 ，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20 km/h的速度由南向北移动 （3）若轮船航速调整为10 km/h，它是否会遭遇台风？请通过建立模型验证 知识点1 动点问题 01 建立模型 假设经t小时后，轮船和台风中心分别在C1，B1的位置，用t表示下列线段 CC1= ； BB1= ； AC1= ； AB1= ； 30t 20t 300-20t 400- 10t 02 建立方程：根据勾股定理建立等式关系 新知探究 知识点1 动点问题 做一做 C1 A 东 C 500km B1 B 200 km 北 一轮船（C）以 30 km/h的速度由西向东航行 ，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20 km/h的速度由南向北移动 （3）若轮船航速调整为10 km/h，它是否会遭遇台风？请通过建立模型验证 03 展开化简：整理为标准二次方程 04 判别式判断:计算根的判别式： (400- 10t)²+(300-20t)²=200² t² - 40t + 420 = 0 ∵Δ = -80 < 0 ∴方程无实数根 新知探究 知识点1 动点问题 做一做 C1 A 东 C 500km B1 B 200 km 北 一轮船（C）以 30 km/h的速度由西向东航行 ，在途中接到台风预警，台风中心（B）正以20 km/h的速度由南向北移动 （3）若轮船航速调整为10 km/h，它是否会遭遇台风？请通过建立模型验证 05方程无实数解 C1与B1 之间距离永远大于200km 06 推导结论 当航速为 10 km/h 时，轮船不会进入台风影响区 07 标准解答 解:设经过t小时轮船距离台风中心200km，由题意可得： (400- 10t)²+(300-20t)²=200² 化简方程得：t² - 40t + 420 = 0 ∵Δ = -80 < 0 ∴ 方程无实数根 ∴当航速为 10 km/h 时，轮船不会进入台风影响区 新知探究 知识点2 动点问题解决问题方法 议一议 01 审题 · 核心定位 动点问题，关键在于找到符合条件的时刻，需应用相关几何知识建模 动点问题解题的一般过程 02 设元 · 变量设定 一般设符合条件的时间为t 03 列式 · 勾股建模 利用未知数t表示相关量，并列出方程 04 求解 · 方程计算 整理得 方程，一般先计算判别式 Δ 05 检验 · 逻辑判断 根据Δ 的情况说明方程实数情况根 06 结论 · 最终答案 根据方程解得情况给出最终符合实际情况的结论 典例分析 例1.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点 P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点 B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动.当点P停止运动时，点Q的运动也随之停止. P，Q两点出发几秒时，点 P和点Q之间的距离是10cm？ A D B C P Q 3t 2t 解：设P，Q两点出发ts时，点P和点 Q之间的距离是10cm， 则AP=3t cm，CQ=2t cm，DQ=(16-2t)cm. 如图，过点P作PE⊥CD，垂足为E. 当点P在点Q上方时，QE=DQ－AP = ( 16-5t ) cm； 当点P在点Q下方时，QE=AP－DQ=(5t-16)cm. 在Rt△PQE中，QE2+PE2=PQ2， 即(16-5t)2+62=102，解得t1= ， t2= . 答：P，Q两点出发 s或 s时，点P和点Q之间的距离是10cm. E 新知巩固 2.一根竹竿斜靠在墙上， m， m。若端沿垂直于地面的方向下移1 m，则端将沿方向移动多少米（精确到0.01 m）？ 解：在Rt中， m。 设端移动 m，则端下移后 m， m。 在Rt中，由勾股定理得 即： 解得：， ， 得 。 得 （不合题意，舍去） 答：端约移动1.65 m。 课内练习 KENEILIANXI 教材P52页 拓展提升 1.（2024·杭州学军中学月考真题）：如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A出发，沿AB边以2cm/s的速度向点B匀速移动，同时点Q从点C出发，沿CB边以1cm/s的速度向点B匀速移动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设运动时间为t秒（t>0），当△BPQ的面积为12cm²时，求t的值。 A B C D P Q 解： 设当运动时间为t秒时，△BPQ的面积为12cm² 由题意得： 化简得。 解得，。 ∵点P从A到B，运动时间为10÷2=5秒； 点Q从C到B，运动时间为8÷1=8秒。 一个点到达终点运动停止，∴ 0<t≤5。 检验：∵t=7＞5，不符合取值范围，舍去； 0＜t=4＜5，符合题意。 答：当t=4秒时，△BPQ的面积为12cm²。 2．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遺人去买几株椽，每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文，如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价格，求这批椽的数量有多少株？ 拓展提升 解：设这批椽有x株， 依题意得                           整理得 解得（不合题意，舍去） 答：这批椽的数量为46株 真题感知 1.（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 解：如图所示，当时，点在线段上，在上， 由条件可知， 依题意，，，则；， ， ， ， 解得：，此时； 真题感知 1.（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点Q以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，， 则， ， ， 解得：或（舍去）， 此时． 综上所述，或． 或 2．（2024·四川达州·模拟预测）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》．《易•系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入3×3的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出x的值应为（　　） A．或 B．1或 C．或4 D．1或4 解∶设幻方所填数如图所示 ∴，， 由①得， 由② 由得：， 解得：，， A 真题感知 核心思想 数形结合 将实际问题转化为几何问题，让抽象数量关系直观化，复杂问题简单可算。 关键数学工具 • 勾股定理： 算动态距离 • 二次方程： 求 未知时间 • 根判别式： 根据判别式判事件是否发生 解题五步法 建模→表达→列式→求解→验证 遵循规范流程，确保逻辑严密，让解题过程有条不紊，结果准确 生活启示 数学不仅是数字游戏，更是预测与决策的有力武器。掌握数学思维，从容应对现实挑战。 课堂小结 课后练习 4：某水库计划修建一条横截面为梯形的输水渠道。已知横截面面积为，上口宽比底宽大 m，渠深比渠底宽小 m。求渠道的上口宽和渠深。 解：设渠底宽为 m，则上口宽为 m，渠深为 m。 由题意得： 整理： 解得：，（舍去）。 上口宽： m，渠深： m。 答：渠道的上口宽为3.4 m，渠深为1.5 m。 教材P53页 作业题 ZUOYETI B组 课后练习 5.在中，， cm， cm。点从沿以1 cm/s向移动，点从沿以2 cm/s向移动。经过几秒，的面积等于？ 教材P52页 作业题 ZUOYETI B组 解：设经过秒，的面积为。 由题意得： 化简： 解得：， 检验：和均符合题意。 答：经过2秒或4秒，的面积等于。 感谢聆听! $