2.3　一元二次方程根与系数的关系 课件2025-2026学年 浙教版数学八年级下册

第2章　一元二次方程 2.3　一元二次方程根与 系数的关系 初中数学浙教版（2024）八年级下册 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 1.经历一元二次方程根与系数的关系的发现过程,了解一元二次方程根与 系数的关系及其证明. 2.会运用一元二次方程根与系数的关系简化有关一元二次方程根的运算. 学习目标 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 2 一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0(a,b,c为已知数,a≠0). 一元二次方程的求根公式是什么？ . 如何判定一元二次方程的根的情况？ >0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根; 0方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根; <0方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根. 知识回顾 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 3 先解下列方程,然后计算这些方程的两根之和与两根之积: (1) x212x+11=0. (2) 2x2=0. (3) 4x2 +20x+25=0. 解：(1) ∵ x212x+11=0， ∴(x－1)(x－11)＝0， 则x－1＝0或x－11＝0， 解得x1＝1或x2＝11； 则x1+ x2＝12，x1x2＝11. 新知探究 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 4 先解下列方程,然后计算这些方程的两根之和与两根之积: (1) x212x+11=0. (2) 2x2=0. (3) 4x2 +20x+25=0. 解： (2)将原方程的左边分解因式,得2x(x)=0, 则x=0,或x= 0, 解得x1 =0, x2 =. 则x1+ x2＝ ，x1x2＝0. 新知探究 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 5 先解下列方程,然后计算这些方程的两根之和与两根之积: (1) x212x+11=0. (2) 2x2=0. (3) 4x2 +20x+25=0. 解：(3)由原方程可得(2x)2+2×2×5x+52=0, 则(2x+5)2=0, 解得x1 = x2=. 则x1+ x2＝，x1x2＝. 思考：这些方程的两 根之和与两根之积和 方程的系数a,b,c有什 么联系？ 新知探究 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 6 一般地,一元二次方程的根与系数有如下关系: 如果x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,那么x1+ x2 =, x1x2= . 思考：你能证明一元二次方程的根与系数的关系吗？ 设一元二次方程ax2+bx+c=0(≥0)的两个根为x1, x2, 则,. 新知探究 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 7 ∴ = = . = = = . ∴ 新知探究 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 8 推论1：如果方程x2+px+q=0的两个根是x1, x2，那么 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1, x2，那么和为多少？ 推论2：以两个数x1, x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x2x+ =0. 如果一个一元二次方程的两个根是x1, x2(二次项系数为1)，你能写出这个方程吗？ 新知探究 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 9 例1 设x1, x2是一元二次方程5x2=0的两个根,求和的值. 解：由一元二次方程的根与系数的关系,得 = , . ∴ == = ; = = = × = . 例题精讲 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 10 例2 已知一个一元二次方程的二次项系数是3,它的两个根分别是,1.写出这个方程. 解：设这个方程为3x2=0, 由一元二次方程根与系数的关系,得 = +1= ，解得b=; = ×1= ，解得c=1. 所以这个一元二次方程是3x2=0. 例题精讲 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 11 1.下列4个方程中,其中两根互为倒数的是(　　) A.x2-3x+1=0　 B.2x2-3x+1=0 C.x2-3x+2=0　 D.x2-3x+3=0 A 随堂练习 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 2.一元二次方程2x2-4x+2=1的两根为x1,x2,则下列各式正确的是(　　) A.x1x2=1　 B.x1+x2=4 C.x1+x2=-2　 D.x1x2= D 随堂练习 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 13 3.已知a，b是方程x2﹣2x﹣1=0的两实数根，则＋的值为( ) A.﹣2 B.﹣ C. D.2 A 随堂练习 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 14 4.若两实数a,b满足a+b=-3,ab=2,则以a,b为根的一元二次方程可以是(　　) A.x2-3x+2=0　 B.x2+3x+2=0 C.x2-3x-2=0　 D.x2+3x-2=0 B 随堂练习 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 5.若一个等腰三角形的一边为4，另外两边为x2﹣12x+m＝0的两根，则m的值为 ( ) A．32 B．36 C．32或36 D．不存在 B 随堂练习 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 6.已知x1,x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两个根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a,b的值分别 是(　　) A.-3,1　 B.3,1 C.-,-1　 D.-,1 D 随堂练习 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 7.等腰三角形的一条边长为2，另两边m，n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k﹣1＝0 的两根，则k的值为( ) A．9 B．10 C．9或10 D．8或10 B 随堂练习 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 18 8.已知一元二次方程x2-3x+k=0的两个实数根为x1,x2,若x1x2+2x1+2x2=1,则实数 k=　　　　.  9.若x1,x2是一元二次方程x2+x-3=0的两个实数根,则-x1+2 023的值为　　　　.  10.若直角三角形的两直角边长分别是方程x2﹣14x+48＝0的两根，则该直角三角 形的面积是　 　． 2027 24 随堂练习 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 19 解：(1)∵关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根, ∴[-2(k+1)]2-4k(k-1)>0且k≠0, 解得k>-且k≠0. 随堂练习 11.已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于1? 若存在,求出k的值; 若不存在,说明理由. Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 解：(2)不存在.理由如下:设方程的两根为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=, 由题意得, + =1,即 = =1,解得k=-3,经检验,k=-3是分式方程的根, ∵k>-且k≠0时方程有两个不相等的实数根, ∴不存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于1. 随堂练习 11.已知关于x的方程kx2-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使此方程的两个实数根的倒数和等于1? 若存在,求出k的值; 若不存在,说明理由. Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 一元二次方 程根与系数 的关系 关系 推论1 如果x1, x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根, 那么x1+ x2 =, x1x2= 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1, x2， 那么 课堂小结 推论2 以两个数x1, x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是x2x+ =0 Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS 谢谢 Click to add title OfficePLUS Click to add title Click to add text Second level Third level Fourth level Fifth level OfficePLUS $