湖南长沙市铁路第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 长沙市铁路一中2025-2026高一下期中数学试卷，以函数、几何、三角为核心，通过费马点应用、立体几何翻折等问题，考查数学抽象、空间观念与推理能力，体现知识综合与素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、函数性质、向量运算|基础与能力结合，如第8题向量判断三角形形状| |填空题|3题15分|复数运算、函数周期性、圆台体积|注重知识迁移，如第13题奇函数周期应用| |解答题|5题77分|解三角形、三角函数图像、立体几何翻折、费马点、正方体动态问题|突出数学文化（费马点）、动态探究（P动点）、跨模块综合（如17题翻折与线面角）|

长沙市铁路第一中学2025-2026学年高一下学期 期中考试数学试题 本试卷满分 150 分，考试时量120分钟，考试时间：2026年5月13日 注意事项: 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．集合的子集个数为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 2．在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知非零向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 6．将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，则得到的图象对应的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 7．已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,有选错的得0分,部分选对的得部分分。 9．函数的图象（   ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 10．若平面向量，其中，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为 D．若，则的最小值为2 11．如图所示，已知正方体的棱长为分别是，的中点，P是线段上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当点P与A点重合时，平面截正方体所得的截面面积为 D．的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________． 13．已知奇函数的周期为2，且当时，，则_____． 14．已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 16．（15分） 已知函数． (1)求函数的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图象； (2)求函数的最大值、最小值及相应的的值； (3)若，求函数的取值范围． 17．（15分） 如图，在等腰三角形中，，、分别为边、上靠近、的四等分点，将沿翻折至，使得平面平面，、分别是、的中点． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)求证：； (3)求二面角的余弦值． 18．（17分） “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，设点为的费马点，求； (3)设点为的费马点，求的最小值. 19．（17分） 如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. (1)求直线与所成角的余弦值. (2)设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 长沙市铁路第一中学2025-2026学年 高一下学期期中考试数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B A A C D AC BCD 题号 11 12 13 14 答案 AD 1 -4 15．（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 16．（1）因为， 所以， 在区间上取，可得下表： 据此可作出函数在上的大致图象如下： （2）当时，即，时， 有最大值， 当时，即，时， 有最小值. （3）当时，， 所以， 所以. 17．（1）连接交于点，连接， 不妨设， 因为、分别为边、上靠近、的四等分点，则， 因为为的中点，且， 因为，所以，即点为的中点， 翻折前，，翻折后，则有，则，即， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面，故直线与平面所成角， 易知，，， 故，即， 所以，故. （2）取的中点，连接、，则， 因为，则， 因为平面，则平面，平面，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，故. （3）过点在平面内作垂直于直线，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 因为平面，故， 因为，，、平面，故平面， 因为平面，故，故二面角的平面角为， 因为，为的中点，故， 在平面内，，，则， 所以，故，所以， 故， ， 由勾股定理可得， 故， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 18．（1）因为， 根据正弦定理可得，所以是以角为直角的直角三角形. 所以. （2）因为为的费马点， 所以， 所以，，. 又， 所以， 所以. （3）因为为的费马点， 所以. 由余弦定理，，，. 又，所以. 设，，. 则，又，当且仅当时取等号. 所以 ， 由，所以. 即的最小值为，当且仅当时取等号. 19．（1）在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）（i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $