精品解析：湖南省平江县第一中学2025-2026学年高一下学期期中数学试题

湖南省平江县一中2006年高一下学期期中考试数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1. 若，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算以及复数虚部的定义即可得出结论. 【详解】由，则， 所以z的虚部为. 2. 如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为. 3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出，即可求出． 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以，所以， 则， 故选：B． 4. 设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求出等价于或，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】由等价于，解得或， 由甲可以推出乙成立，但由乙不能推出甲成立. 所以甲是乙的充分条件但不是必要条件. 故选：A. 5. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）. A. 7 B. 10 C. 7π D. 10π 【答案】A 【解析】 【分析】利用祖暅原理将不规则几何体体积转化为正四棱台体积. 【详解】正四棱台的上底面边长为，故上底面积； 下底面边长为，故下底面积，棱台高 所以. 6. 已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，可得， 以及，又因为， 所以， 得， 从而， 同理， 而， 故. 7. 若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知条件求出圆锥的高，从而可求出圆锥的体积 【详解】因为圆锥的底面半径为1，母线长为， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故选：C 8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案. 【详解】由题知， 即 由正弦定理化简得 即 故选：. 【点睛】方法点睛：边角互化的方法 （1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，； （2）角化边： ①利用正弦定理：，， ②利用余弦定理： 二、多项选择题 9. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 向量与向量垂直 【答案】AD 【解析】 【分析】应用数量积公式计算判断A，C，应用数量积运算律计算判断B，应用垂直数量积为0判断D. 【详解】对于任意两个非零向量和， ，A选项正确； ，不一定是1， 不一定成立，B选项错误； ，不一定是1，不一定成立，C选项错误； ，所以向量与向量垂直，D选项正确； 10. 在正三棱台中，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BD 【解析】 【详解】如图，将三棱台补足为三棱锥， 对于A，由于，而与相交，则与相交，故A错误； 对于B，由于平面平面，且平面，则平面，故B正确； 对于C，由于，且，则，又因为在平面内，所以与不垂直，故C错误； 对于D，由于，，且，，平面，则平面，故D正确. 11. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ） A. 点C与点G到平面AEF的距离相等 B. 直线A1G与平面AEF平行 C. 异面直线A1G与EF所成角的余弦值为 D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】连接AD1，FD1，GF，BC1，证得EF//AD1，结合点到面的距离与点到线的距离关系判断A，利用线面平行的判定判断B，结合平面几何的关系与异面直线与所成角是或其补角判断C，梯形的面积计算判断D即可. 【详解】正方体中，连接AD1，FD1，GF，BC1，设，如图： 对A，根据，，可得，又为中位线可得，，故，点C与点G到直线EF的距离不相等，故点C与点G到平面AEF的距离也不相等，故A错误； 对B，因点E，F是BC，CC1中点，则EF//BC1，而正方体的对角面ABC1D1是矩形，则AD1//BC1//EF， 连GF，因G是棱BB1中点，则GF//B1C1//A1D1，且，即四边形A1GFD1是平行四边形，A1G//D1F， 平面AEF，平面AEF，于是A1G//平面AEF，故B正确； 对C，因EF//AD1，A1G//D1F，则异面直线与所成角是或其补角， 作于M，显然，即四边形AEFD1是等腰梯形，， ，，故C正确； 对D，，平面截正方体所得的截面是等腰梯形AEFD1，其面积，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12. 设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用球的截面圆的性质得球心到所在平面的距离，进而得到所在平面的距离的最大值，再根据三棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】设的边长为，由题知，解得， 设外接圆的半径为，由正弦定理， 得到，解得， 设球心到所在平面的距离为，由球的截面圆的性质知， 要使三棱锥体积的最大，则在所在平面的投影为的中心， 且到所在平面距离的最大值为， 所以三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 13. 已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为，则的值是______ 【答案】2 【解析】 【详解】 如图所示，设， 由，则点在以为圆心，以为半径的圆周上， 因为，且，可知 即，所以点在的垂直平分线上， 可知，所以，即， 所以点在以为直径的圆上，所以. 14. 如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论： ①存在无数条直线平面； ②线段长度的取值范围是； ③三棱锥的体积最大值为； ④设，分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆. 则其中正确的命题有______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】构造面面平行，寻找线面平行，可以判断①的对错；通过特殊位置，可以判断②是错误的；分析三棱锥的高是确定的，求底面积最大值，可得三棱锥体积的最大值，判断③的对错；根据公理，两个平面的交点在一条直线上，可得④是错误的. 【详解】对①：过作，交于，连接，则平面，因为点再上运动，故满足条件的直线有无数条.所以①正确； 对②：当与重合，为中点时，，所以长度取值范围是是错误的； 对③： 因为直线平面，所以到平面的距离为定值，是正方体体对角线的，所以当与重合时，底面积最大，此时的体积最大，为，所以③正确； 对④，当，位置确定时，线段的垂直平分线构成一个平面，它和底面的交点应该是一条直线，所以④错误. 故答案为：①③ 四、解答题 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求A， （2）若的周长为20，面积为，求a． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，即，则，即， 又，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 由的周长为20，得，即， 由余弦定理得，即， 于是，解得， 所以. 16. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）求证：平面平面PAD； （2）求证：； 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线线平行证明线面平行，根据线面平行证明面面平行； （2）根据线面平行的性质证明线线平行. 【小问1详解】 因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形， 所以， 又平面平面， 则平面， 同理平面平面， 可得平面， 又平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 因为底面ABCD为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 17. 如图，在中，，，，，，． （1）判断并证明直线与的位置关系； （2）若，求的值． 【答案】（1）直线与平行 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算，以及向量共线的判定定理，证明向量平行，进而说明线线平行； （2）根据向量垂直的性质，以及数量积的概念，列出方程，求出结果即可. 【小问1详解】 设，则． 所以． 而， ，即直线与平行. 【小问2详解】 ，，， 整理得：，则， 又，． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角的大小； （2）若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角； （2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解； （3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得. 【小问1详解】 ，， ，， 由余弦定理得， 又，； 【小问2详解】 由的角平分线将的面积分为两部分， 则，， 于是， 即，解得， 所以的长为； 【小问3详解】 由三角形面积公式得， 由正弦定理得 ， 三角形为锐角三角形，，得，， ，，，. 19. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. （1）若为中点，求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论； （2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； （3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； 【小问2详解】 取的中点，因为为中点， 所以在中，为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得，又， 所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为； 【小问3详解】 当是棱中点时，平面 证明如下：取中点，连接，，则， 平面，平面， 平面， 在中，为中点，为中点， 平面，平面，所以平面； ，所以平面平面； 平面，平面 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县一中2006年高一下学期期中考试数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1. 若，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 2. 如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设甲：；乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）. A. 7 B. 10 C. 7π D. 10π 6. 已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题 9. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 向量与向量垂直 10. 在正三棱台中，为的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 11. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ） A. 点C与点G到平面AEF的距离相等 B. 直线A1G与平面AEF平行 C. 异面直线A1G与EF所成角的余弦值为 D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 三、填空题 12. 设是同一个半径为的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为______. 13. 已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为，则的值是______ 14. 如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论： ①存在无数条直线平面； ②线段长度的取值范围是； ③三棱锥的体积最大值为； ④设，分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆. 则其中正确的命题有______. 四、解答题 15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． （1）求A， （2）若的周长为20，面积为，求a． 16. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． （1）求证：平面平面PAD； （2）求证：； 17. 如图，在中，，，，，，． （1）判断并证明直线与的位置关系； （2）若，求的值． 18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角的大小； （2）若为的角平分线，且，，求角平分线的长度； （3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上. （1）若为中点，求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $