精品解析：广东中山大学附属中学2025学年第二学期期中质量监测初二年级数学科试卷

中大附中2025学年第二学期期中质量监测 初二年级 数学科 试卷 考生注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分； 第一部分（选择题共40分） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等．即可得到结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：B． 3. 在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴, ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 4. 如图，菱形的周长为16，，则的长为（　　） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，以及等边三角形性质和判定，解题的关键是掌握菱形的基本性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．根据菱形的性质得到，，证明为等边三角形，根据等边三角形性质得到，即可解题． 【详解】解：四边形为菱形，周长为16， ， ，为对角线， ， 为等边三角形， ， 故选：B． 5. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形 D. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形、平行四边形、菱形、矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，在此基础上，对角线相等可得矩形，对角线垂直可得菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形；则对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形，故选项A正确； B．只有对角线互相平分的四边形才是平行四边形，对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故选项B错误； C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，不是菱形，故选项C错误； D．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，不是矩形，故选项D错误． 6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，可化简代数式，再根据整式的加减，可得答案． 【详解】解：由数轴知：，， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与整式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键． 7. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 8. 已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知点所在的象限求参数，根据一次函数解析式判断其经过的象限，先理解第一象限的点的横纵坐标都是大于0，故，再分析得出一次函数经过第一、二、三象限，即可作答． 【详解】解：∵点为第一象限内的点， ∴ ∴一次函数经过第一、二、三象限， 故选：A 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形内角和定理、角的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明得到，再结合坐标与图形以及垂线的定义即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵点D在直线图象上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在中，，，是边上的中线，把线段沿着方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接，，与相交于点O，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④的面积为四边形面积的一半．其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】在，是边上的中线，，可得，由平移可得，，，可证四边形为平行四边形，由，可证四边形为菱形，进而可判断①的正误；由菱形的性质可知，为中点，证明为的中位线，则，进而可判断②的正误；由菱形的性质可得，，则，进而可判断③的正误；由中线的性质可得，由菱形的性质可得，则，进而可判断④的正误． 【详解】解：∵在，是边上的中线，， ∴， 由平移可得，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形，①正确，故符合要求； ∵四边形为菱形， ∴为中点， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，②正确，故符合要求； ∵四边形为菱形， ∴， ∴，③正确，故符合要求； ∵是的中线， ∴， 由菱形的性质可得， ∴，④正确，故符合要求； 综上，正确的结论个数为4， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，含的直角三角形，菱形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 第二部分（非选择题共110分） 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 写出一个图象经过第一、三象限的函数，其表达式为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，当时，图象过第一，三象限，当时，图象过第二，四象限，即可解答． 【详解】解： 经过第一、三象限的函数可以是， 故答案为：（答案不唯一） 12. 如图，，数轴上点A表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用数轴上的点表示实数，解题的关键是掌握勾股定理及数轴． 根据勾股定理得，然后根据两点之间的距离，求数轴上点表示的数即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， ∴， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 13. 直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出斜边长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 直角三角形斜边上的中线是6， 斜边长为：， 它的面积， 故答案为：30． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 14. 如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质得到，由等边对等角得 ，再根据三角形外角的性质可得结论．掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有________款扫地机可以购买． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．先建立直角三角形，利用勾股定理解决实际问题． 【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C， 则，， 在中，，即， ∴ ∵扫地机能从角落自由进出， ∴扫地机的直径不大于长， ∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款， 故答案为：3． 16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，图象表示变量之间的关系等知识点，读懂图象上各点表示的意义是解题的关键． 对于第一空：根据题意可知当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值，此时，长为的相反数，从而得解； 对于第二空：先分析出当点的运动路程为时，点P在点上，则设，则，，，再用勾股定理建立方程求出x，由点E即为点P在点B处时对应的点即可得解． 【详解】解：当点P到达点C的位置时，点P、Q、C三点重合，有最小值， 即， ∴在矩形中，， 由题意可知：当点P在上时，(点D除外)， 否则由可得是等腰直角三角形，继而得到，从而得到始终相等，即图象无第一象限部分， ∵当点的运动路程为时，， ∴此时点P在点上， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴，即， 解得：， ∴，， 由题意可知：点E即为点P在点B处时对应的点， 此时点Q与点C重合， ∴此时， ， ∴点的坐标为， 故答案为：3；． 三．解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握相关法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）结合多项式除以单项式法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 已知，． （1）_____________，_____________． （2）求代数式的值． 【答案】（1），13 （2）33 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的加减运算、乘法运算法则以及平方差公式求解即可； （2）先运用完全平方公式变形原式，然后将（1）的结论代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ． 【小问2详解】 解： ． 19. 如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从到，为10米，第二条路是从经过到达地，为8米，为6米，第三条路是从经过地到地共行走26米，若、、刚好在一条直线上，求的长． 【答案】9 【解析】 【分析】先利用勾股定理逆定理可得，根据题意可得，再在中运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵为10米，为8米，为6米， ∴， ∴， ∴， ∵第三条路是从经过地到地共行走26米， ∴，即， ∵在中，， ∴，即，解得：． ∴的长为9． 20. 如图，在四边形中，点，分别在边，上，连接，，已知．条件：①；②；③． 请你从以上三个条件中任选一个条件：___________（填写条件序号），证明四边形是菱形， 【答案】选条件①，证明见解析；选条件②，证明见解析；选条件③，证明见解析； 【解析】 【分析】选条件①，由全等三角形的性质可得，再结合四边形的内角和为360度，可得，即，易证四边形是平行四边形，再结合即可证明结论；选择②、③，同理可证明． 【详解】解：选条件①，证明如下： ∵， ∴ ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 选条件②，证明如下： ∵， ∴， 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴,即， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； 选条件③，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∴, ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与坐标轴分别交于，两点，已知，且． （1）求一次函数的表达式； （2）当轴上有一点，使得的面积为10，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求得点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）点C的坐标为，则，根据的面积为10得到，求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图像经过点和点， ∴，解得：， ∴． 【小问2详解】 解：点C的坐标为，则， ∵的面积为10， ∴，解得或， ∴点C的坐标为或． 22. 综合与实践． 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究的图像和性质． （1）函数自变量的取值范围是____________； （2）①函数中、部分对应值如表，其中____________； 0 1 2 3 … 0 1 2 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； （3）结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质：____________； （4）已知直线，若直线的图像与函数的图像有交点，直接写出的取值范围为____________． 【答案】（1） （2）①；②见解析 （3）当时，y随x的增大而增大（不唯一） （4） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可； （2）①将代入求解即可；②根据列表进行描点、连线即可解答； （3）根据函数图像的增减性写出一条性质即可； （4）求出一次函数经过定点，据此结合函数图像即可解答． 【小问1详解】 解：∵函数， ∴，即． 【小问2详解】 解：①当时，； ②先描点、再连线，作图如下： 【小问3详解】 解：由（2）的函数图像可知：当时，y随x的增大而增大． 【小问4详解】 解：如图：由题意可得：当直线l：，若直线l的图像经过， ∴，即． ∴结合函数的图像可得，． 23. 造纸厂只生产面积为的长方形纸张，称为纸，其他纸张都在纸的基础上裁剪获得，这是全球最广泛使用的纸张规格体系，叫标准．如图，我们把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，由此方法我们可以得到系列纸张、、、， 查阅资料知系列纸张的规格如下： 规格 长（） 宽（） 长与宽的比值 （1）根据表格数据直接写出、纸的长与宽之比：___________，___________（结果保留两位小数）； （2）求证：纸的长与宽的比值等于一个固定的无理数； （3）如图，已知长方形的长与宽之比为（）中所证明的无理数，点、分别为边、的中点，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），； （2）见解析； （3）是直角三角形，理由见解析． 【解析】 【分析】（）利用长除以宽即可求解； （）设的长和宽分别为和，根据题意得到，求得，据此即可求得； （）设，则，利用勾股定理及其逆定理即可判断是直角三角形． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：设的长和宽分别为和，由题意可知，系列纸张的长与宽的比值为一个固定的无理数， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴纸的长与宽的比值等于一个固定的无理数； 【小问3详解】 解：是直角三角形，理由如下： 由（）知，系列纸的长与宽的比值均为， 设，则， ∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 24. 如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． （1）当点P是的中点时，求证：； （2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值； ③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；；②12,；③，见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，再结合P是的中点证明； （2）①设，在中，表示出三角形的其他两边，再由勾股定理列方程计算即可； ②当点恰好位于对角线上时，最小，利用勾股定理计算即可； ③过点作，交于点M，证明，再由即可得到． 【小问1详解】 解：如图，在矩形中，， 即， ∴． ∵点P是的中点， ∴． ∴． 【小问2详解】 ①证明：如图，在矩形中，， ∴． 由折叠可知， ∴． ∴． 在矩形中，， ∵点P是的中点， ∴． 由折叠可知，． 设，则． ∴． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 即． ②解：如图，由折叠可知，． ∴． 由两点之间线段最短可知， 当点恰好位于对角线上时，最小． 连接，在中，， ∴， ∴， ∴． ③解：与的数量关系是． 理由是：如图，由折叠可知． 过点作，交于点M， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴点H是中点． ∵，即， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点G为中点，点H是中点， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠问题、勾股定理、全等三角形的判定、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，根据等腰三角形的性质证明． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“制导点”． （1）如图1，点坐标为． ①当点时，点的“制导点”的坐标为_____________； ②若点为点的“制导点”，则点的坐标为_____________． （2）如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“制导点”，求的取值范围； （3）如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“制导点”，直接写出的取值范围_____________． 【答案】（1）①；② （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）①②直接根据“制导点”的定义求解即可； （2）设S的坐标为，，，由“制导点”的定义可得，，则，然后再跟点S在三角形的边上分别根据直角坐标系、一次函数解析式以及“制导点”的定义求解即可． （3）先求出线段的解析式为；设，S的坐标为，，则，进而得到，即，，则；再把点代入可得；然后分点S在上四组情况，分别列出关于n的方程求出n，然后再结合相关取值范围即可解答． 【小问1详解】 解：①设点T的“制导点”的坐标为， ∵点，点T坐标为， ∴，，解得：，， ∴的坐标为； ②设点S的坐标为， ∵T坐标为，点为点T的“制导点”， ∴，， ∴点S的坐标为． 【小问2详解】 解：设S的坐标为，，， ∴，，则， ∵点在边上，点，，， ∴当S在上时，，，即 ∴， ∴； ∴ 把代入可得，即； 当S在上时，设直线的解析式为， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即 ， ∴， ∴， 把代入可得， ∴ ∵， ∴； 当S在上时，设直线的解析式为， ，，， 则，解得：， ∴线段的解析式为，即， ， ∴，即， 把代入可得， ∴， ∵， ∴； 综上，m的取值范围为． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为，，． 则，解得：， ∴线段的解析式为， 设，S的坐标为，，则， ∴，即，， ∴， 把代入可得：， ∴， ∵点S在正方形边上， ∴当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵ ∴； 当点S在线段上时，，， ∴，解得：， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，， ∴，即， ∵， ∴； ∴当点S在线段上时，，， ∴， 关于n的方程无解． 综上，n的取值范围为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中大附中2025学年第二学期期中质量监测 初二年级 数学科 试卷 考生注意事项： 1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷用2B铅笔涂在答题卡上，第Ⅱ卷用黑色钢笔、签字笔在答题卡上作答； 2．质量监测时间120分钟，全卷满分150分； 第一部分（选择题共40分） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行四边形中，，则的度数为（    ） A. B. C. D. 3. 在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形的周长为16，，则的长为（　　） A. B. 4 C. D. 2 5. 下列命题正确的是（ ） A. 对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是菱形 D. 对角线垂直且互相平分的四边形是矩形 6. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 已知点为第一象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，，，，射线AC与直线交于点D，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是边上的中线，把线段沿着方向平移到点B，使得点C与点B重合，连接，，与相交于点O，则下列结论：①四边形为菱形；②；③；④的面积为四边形面积的一半．其中正确结论的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 第二部分（非选择题共110分） 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分） 11. 写出一个图象经过第一、三象限的函数，其表达式为______． 12. 如图，，数轴上点A表示的数是______． 13. 直角三角形斜边上高和中线分别是5和6，则它的面积是________． 14. 如图，矩形中，对角线，相交于点，若，则________． 15. 为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有________款扫地机可以购买． 16. 如图1，是矩形的对角线，点从点出发，沿在线段和上运动，运动到与点重合时停止(当两点重合时，记连接这两点所得线段的长度为0)．作，垂足为点．记点的运动路程为，线段PQ与DQ长度的差为，即，图2反映了点运动的过程中，与之间的对应关系，那么______，图2中点的坐标为______． 三．解答题（共9小题，满分86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知，． （1）_____________，_____________． （2）求代数式的值． 19. 如图，某人从地到地共有三条路可选，第一条路是从到，为10米，第二条路是从经过到达地，为8米，为6米，第三条路是从经过地到地共行走26米，若、、刚好在一条直线上，求的长． 20. 如图，在四边形中，点，分别在边，上，连接，，已知．条件：①；②；③． 请你从以上三个条件中任选一个条件：___________（填写条件序号），证明四边形是菱形， 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与坐标轴分别交于，两点，已知，且． （1）求一次函数的表达式； （2）当轴上有一点，使得的面积为10，求点的坐标． 22. 综合与实践． 我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究的图像和性质． （1）函数自变量的取值范围是____________； （2）①函数中、部分对应值如表，其中____________； 0 1 2 3 … 0 1 2 … ②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； （3）结合函数图像，任意写出函数图像的一条性质：____________； （4）已知直线，若直线的图像与函数的图像有交点，直接写出的取值范围为____________． 23. 造纸厂只生产面积为的长方形纸张，称为纸，其他纸张都在纸的基础上裁剪获得，这是全球最广泛使用的纸张规格体系，叫标准．如图，我们把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，把纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张，由此方法我们可以得到系列纸张、、、， 查阅资料知系列纸张的规格如下： 规格 长（） 宽（） 长与宽的比值 （1）根据表格数据直接写出、纸的长与宽之比：___________，___________（结果保留两位小数）； （2）求证：纸的长与宽的比值等于一个固定的无理数； （3）如图，已知长方形的长与宽之比为（）中所证明的无理数，点、分别为边、的中点，请判断的形状，并说明理由． 24. 如图1，矩形中，，点P在边上，且不与点B、C重合，直线与的延长线交于点E． （1）当点P是的中点时，求证：； （2）将沿直线折叠得到，点落在矩形的内部，延长交直线于点F． ①证明，并求出在（1）条件下的值； ②连接，求周长的最小值； ③如图2，交于点H，点G是的中点，当时，请判断与的数量关系，并说明理由． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，对于点给出如下定义：先将点向上（当时）或向下（当时）平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点的“制导点”． （1）如图1，点坐标为． ①当点时，点的“制导点”的坐标为_____________； ②若点为点的“制导点”，则点的坐标为_____________． （2）如图2，点，，，点在边上，点．若直线上存在点的“制导点”，求的取值范围； （3）如图3，点，，，，其中，点在正方形边上，点，．若线段上存在点的“制导点”，直接写出的取值范围_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $