精品解析：广东广州大同中学等校2025-2026学年下学期中学业质量诊断调研（初二数学）

2025−2026学年下学期期中学业质量诊断调研（初二数学） （总分150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的为（　　） A. B. C. D. 2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 4、5、6 C. 5、11、12 D. 6、8、10 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 4. 如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 函数中的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 7. 下列命题不正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 8. 以下四点中，在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形中，，，，动点从点出发，沿运动至点停止，设运动的路程为，的面积为，则与的函数关系用图象表示正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 12. 比较大小：_______，_______2，_______． 13. “冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为___________．（填“冰的厚度”或“时间”） 14. 一个正多边形的内角是外角2倍，多边形的边数是_________． 15. 如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程（米）与时间（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行______米． 16. 如图，中，，，于点，，若，分别是，的中点，则的长是_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图所示，在四边形中，，E，F，G分别是的中点．求证：是等腰三角形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在函数上． （1）常量与的值分别为：_________，_________； （2）在网格中画出函数的图像． 22. 如图，在中，已知． （1）尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，若，求的长． 23. 如图，在中，是上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 24. 一次越野赛跑中，当李明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人匀速跑的路程S（米）与时间t（秒）的关系如图，结合图象解答下列问题： （1）请你根据图象写出二条信息； （2）求图中S1和S0的位置． 25. 如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． （1）当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． （2）在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； （3）在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年下学期期中学业质量诊断调研（初二数学） （总分150分） 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：选项A，的被开方数含分母，不是最简二次根式， 选项B，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式； 选项C，，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项D，，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（ ） A. 2、3、4 B. 4、5、6 C. 5、11、12 D. 6、8、10 【答案】D 【解析】 【分析】三角形中，若两较短边的长的平方和等于最长边的长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为2、3、4的三根木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵， ∴长为4、5、6的三根木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵， ∴长为5、11、12的三根木棒不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵， ∴长为6、8、10的三根木棒能组成直角三角形，故此选项符合题意； 3. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘除运算法则，逐个计算选项即可判断正误． 【详解】解：、与不是同类二次根式，无法合并，，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算正确，符合题意． 4. 如图，小明出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，他在报亭看报10分钟，然后用15分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将小明的行程分为三个阶段：①在分钟内，②在分钟内，③在分钟内，据此解答即可． 【详解】解：由题意可知，小明的行程分为三个阶段： 第一阶段：从家走到报亭， ∵从家走了20分钟到一个离家900米的报亭， ∴在分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标为900的一条线段； 第二阶段：在报亭看报， ∵在报亭看报10分钟，此时离家的距离不变，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为平行于轴的一条水平线段； 第三阶段：返回家， ∵用15分钟返回家，且（分钟）， ∴在分钟内，图象应为从纵坐标下降至0的一条线段，且终点横坐标为45； 观察各选项图象，只有D选项符合． 5. 函数中的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式的定义，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：函数中的取值范围： ， 解得， 故选：B． 6. 如图，，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标以及勾股定理求出两点之间的距离． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴点的坐标为． 7. 下列命题不正确的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形的判定定理，根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断选项，找出错误命题即可． 【详解】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是平行四边形的判定定理，命题正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，命题正确，不符合题意； C、对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形；只有对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，因此该命题错误，符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，是正方形的判定定理，命题正确，不符合题意． 8. 以下四点中，在函数图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征的理解和掌握，只要把点的坐标代入函数的解析式，若左边右边，则点在函数的图象上，反之就不在函数的图象上，代入检验即可． 【详解】A选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； B选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点在函数的图象上； C选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上； D选项：把点代入函数中，左边，右边，左边右边，点不在函数的图象上． 故选：B 9. 如图，平行四边形中，，，，动点从点出发，沿运动至点停止，设运动的路程为，的面积为，则与的函数关系用图象表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当点E在BC上运动时，三角形的面积不断增大，当点E在DC上运动时，三角形的面积不变，当点E在AD上运动时三角形的面积不等减小，然后计算出三角形的最大面积即可得出答案． 【详解】当点E在BC上运动时,三角形的面积不断增大,最大面积= ×3××4=3； 当点E在DC上运动时，三角形的面积为定值3. 当点E在AD上运动时三角形的面不断减小，当点E与点A重合时，面积为0. 故选D. 【点睛】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于结合函数图象进行解答. 10. 如图，在矩形中，，，是上一动点，平行于交于，是上一动点，平行于交于，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和判定，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．设交于，连接、．由四边形、四边形是矩形，推出，，推出，由，即可解决问题． 【详解】解：如图，设交于，连接、、． 四边形是矩形，，， 可得四边形、四边形是矩形， ，， ， ，， 的最小值为13， 的最小值为13． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得． 12. 比较大小：_______，_______2，_______． 【答案】 ①. < ②. < ③. > 【解析】 【分析】实数的大小比较方法： 比较带二次根号的正数，可通过比较被开方数的大小判断结果；比较两个负数，先比较两个数的绝对值，再根据负数大小比较法则判断． 【详解】解：①比较和， ， ； ②比较和， ， ，即； ③比较和， ，， ， ，即， ． 13. “冰冻三尺，非一日之寒．”这句谚语体现了冰的厚度随时间的变化而变化．在这个变化过程中，自变量为___________．（填“冰的厚度”或“时间”） 【答案】时间 【解析】 【分析】根据函数的定义，在冰的厚度随时间变化的过程中，时间是独立变化的量，因此是自变量． 本题主要考查自变量的概念：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x叫做自变量，y叫做因变量。熟记函数的概念是解题的关键． 【详解】在冰的厚度随时间变化的过程中，时间不断变化，冰的厚度随之变化，所以自变量是时间． 故答案为：时间． 14. 一个正多边形的内角是外角2倍，多边形的边数是_________． 【答案】 6 【解析】 【分析】设正多边形的一个外角的度数为，则其内角的度数为，利用邻补角的性质求出外角度数，再根据多边形外角和为计算边数即可． 【详解】解：设正多边形的一个外角为，则它的一个内角为， 由邻补角的性质可得：， 解得：， 任意多边形的外角和为，正多边形各外角相等， 这个正多边形的边数为， 故答案为：． 15. 如图，小明从家跑步到儿童公园，接着马上原路步行回家．如图是小明离家的路程（米）与时间（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行______米． 【答案】80 【解析】 【分析】先分析函数图像得到小明家距儿童公园的距离和从儿童公园步行回家的时间，再根据路程、时间、速度的关系求解即可． 【详解】解：通过读图可知：小明家距儿童公园800米，小明从儿童公园步行回家的时间是（分），所以小明回家的速度是每分钟步行（米）． 16. 如图，中，，，于点，，若，分别是，的中点，则的长是_________． 【答案】4 【解析】 【分析】先根据三角形中位线定理求得的长，再在中利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求得的长，最后在中利用含角的直角三角形的性质求得的长． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理得， 即， 解得（负值舍去）， 在中，，， ， ． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法和加法即可得； （2）先化简二次根式、计算零次幂、用完全平方公式计算乘方，再计算加减法即可得． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质证明四边形AECF是平行四边形，即可得到结论． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴AE∥CF， 又∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE． 【点睛】考点：平行四边形的判定与性质． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先对括号里的进行通分合并，将其化为最简分式，然后把原式中的除法转化为乘法，同时对分母利用平方差公式进行因式分解，再对转化后的式子进行约分，得到最简形式，最后将​代入最简分式，计算出结果． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 20. 如图所示，在四边形中，，E，F，G分别是的中点．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】证明分别是的中位线，从而证明，即可证明是等腰三角形． 【详解】证明：∵E，F，G分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴ 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判断，证明分别是的中位线是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，都在函数上． （1）常量与的值分别为：_________，_________； （2）在网格中画出函数的图像． 【答案】（1）； （2）图见解析 【解析】 【分析】（1）将点，代入一次函数解析式得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可； （2）一次函数图象是一条直线，因此在网格中建立平面直角坐标系，描出点，，作直线即可． 【小问1详解】 解：将点，代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所作函数的图象． 22. 如图，在中，已知． （1）尺规作图：作的高，垂足为（保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． （2）在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点向直线作垂线即可； （2）先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长． 【小问1详解】 解：（1）如图，为所作． 【小问2详解】 解：∵， 在中，根据勾股定理得， ∴， 在中，根据勾股定理得． 23. 如图，在中，是上一点，连接，，，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； 【小问2详解】 解：， ． 24. 一次越野赛跑中，当李明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人匀速跑的路程S（米）与时间t（秒）的关系如图，结合图象解答下列问题： （1）请你根据图象写出二条信息； （2）求图中S1和S0的位置． 【答案】（1）①小刚比李明早到终点100秒；②小刚的速度大于李明的速度；（2）1750． 【解析】 【详解】分析：（1）根据图象可得出小刚和李明第一次相遇的时间是100秒；小刚比李明早到终点100秒；两人匀速跑时，小刚的速度大于李明的速度； （2）求得小刚和李明速度，再乘以相遇的时间，两个路程相减即可得出两人的路程之差150． 详解：（1）由图象可得出： ①小刚比李明早到终点100秒； ②两人匀速跑时，小刚的速度大于李明的速度； （2）∵×100-×100=150， ∴S1=2050， ∴S0=1450+×100=1750． 点睛：本题考查了函数图像. 25. 如图，中，，将沿的方向平移得到，连接． （1）当点D移至什么位置时，四边形是菱形，并加以证明． （2）在（1）的条件下，如果，，求四边形的面积； （3）在（1）的条件下，四边形能否为正方形？若能，请说明理由；若不能，请给添加一个条件，使四边形为正方形，并写出推理过程． 【答案】（1）当D移至的中点时，四边形是菱形．证明见解析 （2）30 （3）不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理见解析 【解析】 【分析】（1）当D移至的中点时，四边形是菱形；由平移的性质可得且，，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知，再证明四边形是平行四边形，结合即可证明； （2）由勾股定理可得，由平移的性质可得，再根据菱形的性质求面积即可； （3）不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件即可解答． 【小问1详解】 解：如图：当D移至的中点时，四边形是菱形．证明如下： ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴且，， 在中，，D是中点， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． 【小问2详解】 解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿的方向平移得到，连接． ∴， ∵平行四边形是菱形， ∴四边形的面积为． 【小问3详解】 解：如图：四边形不能为正方形，添加条件：时，四边形为正方形．推理如下： ∵，D是中点， ，即， ∵四边形为菱形， ∴四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $