8.1 功和功率 培优讲义 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

本讲义聚焦高中物理“功和功率”核心知识点，系统梳理摩擦力做功特点（静摩擦力做功总和为零、滑动摩擦力做功总和为负）、6种变力做功方法（微元累积法、图像法等）及两种机车启动问题（恒定功率、恒定加速度），构建递进式学习支架。 该资料通过典例解析、触类旁通及“爬杆”“书法墨条运动”等生活实例设计，培养科学思维中的模型建构与科学推理能力，创新拓展练结合高考真题，助力学生巩固物理观念，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

8.1 功和功率 目录 考点分组 1 题型01摩擦力做功问题 1 题型02 6种变力做功方法 2 题型03 两种机车启动问题 7 创新拓展练 10 链接高考 20 考点分组 考点01 摩擦力做功问题 【关键能力】 1．静摩擦力做功的特点 (1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 在图甲中，光滑水平面上放着一辆小车B，小车B上放一物体A，用力F拉动车上的物体A，B与A一起做加速运动，且A与B间无相对滑动，则静摩擦力Ff对A做负功，Ff′对B做正功，如图乙所示。 在圆盘M上放置一物体A，两者一起做匀速圆周运动，保持相对静止，如图丙所示，则物体A所需的向心力由静摩擦力Ff提供，静摩擦力Ff的方向在任何时刻都与物体A的速度方向垂直，所以静摩擦力不做功。 (2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且两物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcosα可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。 2．滑动摩擦力做功的特点 (1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 如图丁所示，光滑水平面上放一木板A，其上放一物体B，物体B用细绳固定在竖直墙上，现用力F将A从B下面拉出，则B、A间的滑动摩擦力对B不做功，对A做负功。 如图戊所示，子弹沿水平方向射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。在此过程中木块发生了位移，子弹对木块的滑动摩擦力对木块做正功，木块对子弹的滑动摩擦力对子弹做负功。 (2)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向，但两物体间发生了相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcosα可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且一定为负值。 【典例01】如图所示，一个木块放在光滑水平面上，一颗子弹（视为质点）水平射入木块。已知子弹受到的平均阻力大小为，子弹射入木块的深度为，在此过程中木块的位移大小为，下列说法正确的是（　　） A．子弹克服阻力做的功为 B．子弹克服阻力做的功为 C．子弹对木块做的功为 D．子弹对木块做的功为 【答案】D 【详解】AB．该过程中子弹的位移大小为 因此子弹克服阻力做的功为 故A错误； CD．该过程中木块的位移大小为，因此子弹对木块做的功为 故C错误，D正确。 故选D。 【触类旁通】如图所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离s，此时物块刚好滑到小车的左端。物块与小车间的摩擦力为f，在此过程中（　　）    A．摩擦力对小物块做的功为 B．摩擦力对系统做的总功为0 C．力F对小车做的功为 D．小车克服摩擦力所做的功为 【答案】D 【详解】A．由题意，小物块对地的位移方向向右，大小为，小物块受到的摩擦力方向水平向右，则摩擦力对小物块做的功为 故A错误； B．物块相对于小车的位移大小为L，则摩擦力对系统做的总功为，故B错误； C．小车对地位移大小为s，则力F对小车做的功为，故C错误； D．小车受到的摩擦力方向水平向左，位移方向向右，大小为s，则小车克服摩擦力所做的功为，故D正确。 故选D。 【灵活运用】“爬杆”是一项有趣的竞技运动，所用的杆早期是用粗的竹竿，现在一般用铁管，直径大约8cm，下端栽入地下少部分，上端用其他方式固定。高一物理组举行爬杆比赛，胡德军老师获得第一名。胡老师的爬杆动作很标准；上爬时，双手抓杆不打滑，其余部分悬空且不乱动，将下面的手转移动到上面，如此交替，直到爬到杆顶；下落时，两腿缠绕铁管，双手握住铁管滑下。下列关于胡老师在爬杆过程中所受摩擦力的做功情况的分析，正确的是（　　） A．上爬时的摩擦力做正功 B．上爬时的摩擦力做负功 C．下滑时的摩擦力做正功 D．下滑时的摩擦力做负功 【答案】D 【详解】AB．当力与位移夹角为锐角时，力对物体做正功，胡老师向上爬杆过程中，双手抓杆不打滑，其余部分悬空且不乱动，将下面的手转移动到上面，如此交替，直到爬到杆顶，此时双手与铁管间的摩擦力是静摩擦力，方向向上，手与铁杆之间没有相对滑动，即摩擦力不做功，故AB错误； CD．胡老师下滑时，两腿缠绕铁管，双手握住铁管滑下，摩擦力向上，位移向下，夹角为钝角，摩擦力做负功，故C错误，D正确。 故选D。 题型02 变力做功问题 【关键能力】 变力做功的求解方法： 1．W＝Pt 若某个变力做功的功率恒定，则可用W＝Pt求解该变力做的功。 2．微元累积法 当做曲线运动的物体所受力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线运动，先求力在每一小段上的功，再求和即可。 如图所示 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 3．图像法 当力F和运动方向相同时，根据恒力做功的公式W＝Fl，利用微元累积法可知，F­x图像中图线与x轴围成的面积表示功。同理，根据公式W＝Pt，P­t图像中图线与t轴围成的面积也表示功。 如图甲所示，在位移x0内力F做的功W＝x0(力与位移同向)。在图乙中，0～t0时间内做功W＝·t0。 4．平均值法 当力的方向不变，力的大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，则平均力＝，由W＝lcosα求功。如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2。 若功率P随时间均匀变化，也可用类似的方法计算变力的功。 5．转化法 若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以将变力做功转换为恒力做功求解。 如图所示，轻绳拉物体的力的方向不断变化，根据功能关系，该力做的功可用作用于轻绳末端的力F做的功间接计算。 6.应用动能定理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cosθ)＝0，得WF＝mgL(1－cosθ) 【典例02】一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力f为物块重力的倍，水平拉力的大小，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】物块受到的阻力为 当x=0时，牵引力大小为 当时，牵引力大小为 由于牵引力随位移线性变化，所以整个过程的平均牵引力大小为 在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为 故选D。 【触类旁通】力F对物体所做的功可由公式求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功，那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解变力所做的功。如图，对于甲、乙、丙三种情况下求解某个力所做的功。 (1)甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W=______； (2)乙图中，全过程F做的总功为______； (3)丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W=______； 【答案】(1) (2)72J (3) 【详解】（1）甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为。 （2）乙图中，力与位移的图线围成的面积表示功，全过程F做的总功为。 （3）丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，由微元法，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为。 【灵活运用】（多选）某星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为，可认为均匀分布。如图所示，以星系中心为坐标原点，沿某一半径方向为轴正方向，在处有一质量为的探测器，向着星系边缘运动。已知引力常量为。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零。（　　） A．探测器在星系内受到的引力大小随变化的规律 B．探测器在星系内受到的引力大小随变化的规律 C．探测器从处沿轴运动到球体边缘的过程中引力做的功 D．探测器从处沿轴运动到球体边缘的过程中引力做的功 【答案】AC 【详解】AB．根据 可知星系内以为半径的球体质量为 质量为的探测器在处受到万有引力的大小 解得，故A正确，B错误； CD．由 可知 则探测器运动至球体边缘的过程中平均力 得万有引力做功，故D错误，C正确； 故选AC。 题型03 机车启动问题 【关键能力】 1．核心公式：和 2．机车的两种启动方式对比 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图和 v­t图 OA段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变，v↑⇒P＝Fv↑，直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动 3..三个重要关系式 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速直线运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v1＝<vm＝。 (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝P额t。由动能定理：P额t－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。 【典例03】质量的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在末汽车的速度恰好达到最大。下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力 B．汽车的最大牵引力为 C．过程中汽车牵引力做功为不可求解 D．过程中汽车的位移大小可以求解出 【答案】D 【详解】A．末汽车的速度恰好达到最大，此时牵引力等于阻力，则有 可得汽车受到的阻力为，故A错误； B．汽车做匀加速运动时，汽车的牵引力最大，根据牛顿第二定律可得 由图甲可得 联立解得，故B错误； C．过程中汽车牵引力做的功为，故C错误； D．汽车在内做变加速运动，设该过程中的位移大小为，根据动能定理可得 解得，故D正确。 故选D。 【触类旁通】质量的汽车由静止开始沿平直公路行驶。利用传感器测得汽车由静止到达最大速度过程中该汽车的牵引力与对应的速度，并描绘出的图像如图所示，假设该汽车行驶过程中所受的阻力恒定。 (1)求该汽车的额定功率； (2)该汽车由静止开始运动，求汽车匀加速行驶的时间。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当汽车达到最大速度时，牵引力与阻力平衡，即 。 由图可知，最大速度 ，此时阻力 额定功率 ，代入数据得 （2）汽车匀加速运动时，牵引力恒定为 ，根据牛顿第二定律 可得加速度 匀加速结束时，汽车功率刚好达到额定功率，此时匀加速的末速度 满足 可得 由匀加速运动公式 解得匀加速时间 【灵活运用】额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化图线如图所示。两车分别从和时刻开始以额定功率行驶，从和时刻开始牵引力均视为不变。若两车行驶时所受阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则（　　） A．甲车质量大于乙车质量 B．乙车可能比甲车先开始运动 C．甲车在时刻的速率小于乙车在时刻的速率 D．甲车在时刻的速率等于乙车在时刻的速率 【答案】A 【详解】A．根据题述，两车额定功率P相同，两车从和时刻开始牵引力不变，可知此后两车牵引力等于各自所受阻力，结合题图可知，甲车所受阻力大于乙车所受阻力，又两车行驶时阻力大小与重力成正比且比例系数相同，可知甲车的质量比乙车大，故A正确； B．对甲、乙两车启动的第一阶段，甲车的牵引力达到最大时，乙车的牵引力还小于其行驶时所受的阻力，可知甲车一定比乙车先开始运动，故B错误； C．甲车在时刻的牵引力等于乙车在时刻的牵引力，又两车均刚达到额定功率，根据可知，甲车在时刻的速率与乙车在时刻的速率相同，故C错误 D．时刻甲车达到最大速度，时刻乙车达到最大速度，汽车的额定功率，又甲车所受的阻力比乙车所受阻力大，所以甲车在时刻的速率小于乙车在时刻的速率，故D错误。 故选A。 创新拓展练 一、单选题 1．列车在平直轨道上由静止开始启动，启动过程受到的合力随时间变化的关系图像如图所示，列车达到额定功率后保持该功率不变，若列车所受阻力恒定，下列说法正确的是（　　） A．时刻，列车刚达到额定功率 B．时间内，列车的功率不变 C．时间内，列车的动力逐渐减小 D．时间内，列车先后做匀加速直线运动和匀速直线运动 【答案】C 【详解】列车所受合力与牵引力与阻力大小的关系： 得 A．根据 时间内，列车的功率在随速度均匀增大，在时刻达到额定功率，但速度还未达到最大，即故A错误； B．根据牛顿第二定律 即在时间内，列车的加速度不变，则列车的功率为 所以，列车的功率随时间均匀增大，故B错误； C．在 时间内，列车保持额定功率 不变，速度 v继续增大。根据 可知，牵引力，随速度增大而逐渐减小，故C正确； D．根据可知，列车的加速度变化与合外力的变化相同，即在时间内，列车先做匀加速直线运动，再做加速度减小的变加速直线运动，最后做匀速直线运动，故D错误。 故选C。 2．如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，此时浮力大小为 解得 木块上表面刚浸没时，浮力大小为 则此过程中木块克服浮力做功为 解得 故选C。 3．书法乃中华文化之瑰宝，传承千年文脉。如图所示，砚台台面水平并和桌面始终静止，若控制墨条做匀速圆周运动，墨条的线速度，砚台对墨条沿运动方向的滑动摩擦力的大小恒为，墨条每转动一圈克服摩擦力做功，取重力加速度。则墨条运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】假设墨条转动一圈的路程为，则克服摩擦力做功 墨条转动一圈做匀速圆周运动，墨条的路程满足 联立解得，故C正确，ABD错误。 故选C。 二、多选题 4．一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动，其加速度随时间变化的图像如图甲所示，机车牵引力F和车速倒数的关系图像如图乙所示，机车前进过程中所受阻力大小恒定，时刻机车达到额定功率，之后保持该功率不变，下列说法正确的是（    ） A．所受恒定阻力大小为1.5×105N B．机车运动的额定功率为6×106W C．机车匀加速运动的时间为30s D．机车的质量为6×105kg 【答案】AD 【详解】A．由图乙可知，机车在BC段以恒定功率行驶，当速度达到最大值后，机车将匀速行驶，则机车所受的恒定阻力大小等于此时机车受到的牵引力的大小，所以机车所受恒定阻力的大小为，故A正确； B．由图乙可知，机车行驶的最大速度为，所以机车运动的额定功率为，故B错误； C．由图乙可知，机车在AB段做匀加速直线运动，其匀加速运动时的牵引力为，则机车匀加速结束时的速度大小为 由甲图可知，机车匀加速运动时的加速度大小为，所以机车匀加速运动的时间为，故C错误； D．对机车匀加速运动过程，根据牛顿第二定律有 解得机车的质量为，故D正确。 故选AD。 5．某次车辆行驶测试时的加速度和车速的倒数的关系图像如图所示。汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶中阻力恒定，已知汽车的质量为，行驶的最大速度为，下列说法正确的是（    ） A．无法求出汽车做匀加速运动的时间 B．可以求出汽车的额定功率为 C．可以求出汽车所受阻力大小为 D．可以求出汽车的加速度为时的速度大小为 【答案】BD 【详解】A．由图知，汽车以恒定加速度启动，汽车匀加速运动的加速度为， 汽车匀加速运动的末速度 解得 匀加速运动的时间，故A错误； BC．由图可知，汽车的最大速度为，汽车开始做匀速直线运动，此时F=f 当时，汽车的加速度 根据牛顿第二定律可知 解得 ，，故B正确，C错误； D．当汽车的加速度为时，由牛顿第二定律可得 解得牵引力大小为 此时汽车的速度大小为，故D正确。 故选BD。 6．“大疆创新”于2026年3月26日全球发布旗下首款全景无人机产品——Avata360。在某次测试时，时刻质量为m的无人机在地面从静止开始竖直升空，运动过程中一段时间内通过传感器获得的图像如图所示，t时刻飞机达到额定功率且功率不再变化，2t时刻图像与时间轴相切。已知当地重力加速度为g，上升过程中无人机受到的空气阻力不计，则下列说法正确的是（　　） A．无人机的额定功率为 B．无人机的最大速度为 C．0~t和t~2t时间内无人机升力做功之比为 D．0~t和t~2t时间内无人机升力做功之比为 【答案】AD 【详解】A．由题知，在时间内无人机的加速度不变，为，可知无人机在这段时间内做初速度为零的匀加速直线运动，设无人机的升力为，根据牛顿第二定律有 解得 t时刻无人机的速度为 t时刻无人机达到额定功率，则有，故A正确； B．当无人机的升力等于重力，加速度为零时，无人机的速度最大，则有 解得，故B错误； C．在0~t时间内，无人机的功率为 可知无人机的功率从0线性增加到额定功率，即平均功率为，故无人机升力做功为 在t~2t时间内无人机的功率保持额定功率不变，故无人机升力做功为 联立可得0~t和t~2t时间内无人机升力做功之比为，故C错误，D正确。 故选AD。 7．一质量为的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出拉力随位移变化的关系图像，则根据以上信息，利用目前所学知识，取，能精确得出的物理量有（　　） A．物体与水平面间的动摩擦因数为 B．物体在处的加速度大小为 C．整个过程中拉力做功大小 D．整个过程中合力做功大小 【答案】AD 【详解】A．物体做匀速运动时，受力平衡，则 则物体与水平面间的动摩擦因数为 故A正确； B．由图可知在8m处拉力大小为4N，根据牛顿第二定律可得 可得加速度大小为 故B错误； CD．图像与坐标轴围成的面积表示拉力做的功，则有 滑动摩擦力做的功为 所以合外力做功大小为 故C错误，D正确； 故选AD。 8．下列四种物理过程分别用四个图描述。 甲：绳拉力F大小不变，物块从A处被拉到B处，物块和光滑轮O可视为质点； 乙：物体沿x轴运动，受到一个与x轴方向平行的力F，F的大小与位置的关系可用图乙描述（力沿+x轴时取正值），物体从x=0移动到x=12米的过程； 丙：绳长为R，小球（视为质点）沿竖直面从与圆心等高的A点运动至圆心正下方的B点，此过程空气阻力为大小不变的f； 丁：悬挂的小球（视为质点）在水平力F作用下，被缓慢拉到悬线与竖直方向成θ角的位置（从P拉到Q），悬线长为l。 这四种情形的运动过程中，关于力F或f做功的说法正确的有（　　） A．甲：F做功 B．乙：F做功等于63J C．丙：克服空气阻力f做的功 D．丁：F做功可以用求解，其中 【答案】AC 【详解】A．以力的作用点为对象，物块从A到拉到B过程中，作用点发生的位移大小为 则力做功围殴，故A正确； B．由图可知，先做正功，后做负功，全过程中做的总功为，故B错误； C．小球从A沿圆弧运动到B过程中空气阻力做负功，且空气阻力为大小不变，故克服空气阻力f做的功，故C正确； D．小球在水平力作用下，被缓慢从P拉到Q，根据受力平衡可得 由于逐渐增大，所以逐渐增大，即为变力，所以做功不可以用求解，故D错误。 故选AC。 9．如图所示，可视为质点、质量为m的遥控动力玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定的速率v做完整的圆周运动，A、B为圆轨道上某一竖直方向上的两点，A点与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ。已知圆轨道的半径为R，玩具车与轨道间的摩擦力与轨道对车的支持力成正比，且比例系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力。玩具车在一次完整的圆周运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．玩具车在A点对轨道的压力方向沿半径指向圆心 B．玩具车在B点所受轨道支持力的大小为 C．玩具车通过A、B两点时对轨道的压力大小之和为 D．玩具车由最低点到最高点克服摩擦力做功为kmgπR 【答案】BC 【详解】A．在A、B两点的受力如图所示，玩具车在A点受轨道所给支持力沿半径指向圆心，由牛顿第三定律可得，玩具车在A点对轨道的压力沿半径背离圆心，A错误； B．在B点，由向心力公式有 解得，B正确； C．在A点，由向心力公式有 两式相加可得 根据牛顿第三定律，玩具车通过A、B两点时对轨道的压力大小之和为，C正确； D．将圆轨道分成N段，每段的长度为 因玩具车在不同位置与圆轨道间的压力不同，所以摩擦力是一个变力，在轨道上下关于水平直径对称的位置上取两小段P、Q 则在P、Q两小段的压力之和为定值，摩擦力做功之和为 解得 所以玩具车从最低点到最高点克服摩擦力做功为，D错误。 故选BC。 10．如图所示，在水平桌面上，长的轻绳一端固定于点（俯视图），另一端系一质量为的小球，现对小球施加一个大小不变的拉力，方向始终与小球在该点的切线成角，拉着小球从点运动到点。已知小球与桌面间的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度取，，。则拉力做的功与小球克服摩擦力做的功分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】A B．由微元法可知，拉力做的功，故A错误，B正确； CD．由于摩擦力方向始终与速度方向相反，由微元法可知，小球克服摩擦力做的功，故C错误，D正确。 故选BD。 11．如图所示，足够长的平板B静置于粗糙水平地面上，物体A静置于B上。现用水平恒力F拉B。使B从静止开始做匀加速直线运动，A与B存在相对滑动且A、B间有摩擦力。以地面为参考系，则在B向前运动一段距离的过程中（　　） A．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能增加量 B．B对A的摩擦力所做的功与A对B的摩擦力所做的功大小相等 C．B与地面摩擦产生的热量等于外力F做功与A、B动能增加量之差 D．外力F做功等于B的动能增加量与B克服地面摩擦以及A对B的摩擦做功之和 【答案】AD 【详解】A．根据动能定理可知，B对A的摩擦力所做的功等于A的动能增加量，选项A正确； B．因A的位移小于B的位移，可知B对A的摩擦力所做的功小于A对B的摩擦力所做的功，选项B错误； C．由能量关系可知，B与地面摩擦产生的热量与AB之间的摩擦产生的热量之和等于外力F做功与A、B动能增加量之差，选项C错误； D．对B根据动能定理， 可知，外力F做功等于B的动能增加量与B克服地面摩擦以及A对B的摩擦做功之和，选项D正确。 故选AD。 三、解答题 12．如图所示，工人师傅用电动机通过细绳将货物从倾角为θ的斜面底端拉到高处的平台上。现有质量为m的货物在绳子拉力作用下从静止开始沿着斜面向上运动，运动一段时间t后，货物达到最大速度，此时电动机突发故障，无法正常工作，使得绳子上拉力为零，货物继续沿斜面向上运动一段位移后最终停在斜面上。已知电动机工作时输出的功率恒为P，货物与斜面间的动摩擦因数为tanθ，重力加速度为g。求： (1)货物在加速过程受到的摩擦力大小； (2)货物在运动过程中的最大速度； (3)整个过程中，货物在斜面上运动的位移大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）对货物受力分析，则有 因此货物受到的摩擦力大小为 （2）货物达到最大速度时受力平衡，则有 其中 联立解得 （3）t时间内，货物位移x1，由动能定理可得 此后货物向上滑行位移x2，则有 货物在斜面上运动的总位移 联立解得 链接高考 1．（2022·浙江·高考真题）小明用额定功率为、最大拉力为的提升装置，把静置于地面的质量为的重物竖直提升到高为的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过的匀减速运动，到达平台的速度刚好为零，取，则提升重物的最短时间为（　　） A．13.2s B．14.2s C．15.5s D．17.0s 【答案】C 【详解】为了以最短时间提升重物，一开始先以最大拉力拉重物做匀加速上升，当功率达到额定功率时，保持功率不变直到重物达到最大速度，接着做匀速运动，最后以最大加速度做匀减速上升至平台速度刚好为零，重物在第一阶段做匀加速上升过程，根据牛顿第二定律可得 当功率达到额定功率时，设重物的速度为，则有 此过程所用时间和上升高度分别为 重物以最大速度匀速时，有 重物最后以最大加速度做匀减速运动的时间和上升高度分别为 设重物从结束匀加速运动到开始做匀减速运动所用时间为，该过程根据动能定理可得 又 联立解得 故提升重物的最短时间为 C正确，ABD错误； 故选C。 2．（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为和，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为和。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知两节动车分别有 当将它们编组后有 联立可得 故选D。 二、多选题 3．（2022·广东·高考真题）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平段以恒定功率、速度匀速行驶，在斜坡段以恒定功率、速度匀速行驶。已知小车总质量为，，段的倾角为，重力加速度g取，不计空气阻力。下列说法正确的有（　　） A．从M到N，小车牵引力大小为 B．从M到N，小车克服摩擦力做功 C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功 【答案】ABD 【详解】A．小车从M到N，依题意有 代入数据解得 故A正确； B．依题意，小车从M到N，因匀速，小车所受的摩擦力大小为 则摩擦力做功为 则小车克服摩擦力做功为800J，故B正确； C．依题意，从P到Q，重力势能增加量为 故C错误； D．依题意，小车从P到Q，摩擦力为f2，有 摩擦力做功为 联立解得 则小车克服摩擦力做功为700J，故D正确。 故选ABD。 4．（2025·海南·高考真题）一起重机将质量为m的集装箱由静止匀加速竖直向上提升，加速度为a，重力加速度为g，不计空气阻力，匀加速时间为t，则（    ） A．匀加速的最大速度为 B．集装箱的机械能增加 C．起重机的最大输出功率为 D．起重机对集装箱的作用力为 【答案】AC 【详解】A．匀加速的最大速度，A正确； B．集装箱的动能增加量为 集装箱上升的高度 重力势能的增加量为 集装箱的机械能增加，B错误； CD．对集装箱进行受力分析，集装箱受到重力mg和起重机的拉力F，根据牛顿第二定律 可得起重机对集装箱的作用力 起重机的最大输出功率为，C正确，D错误。 故选AC。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1 功和功率 目录 考点分组 1 题型01摩擦力做功问题 1 题型02 6种变力做功方法 2 题型03 两种机车启动问题 5 创新拓展练 7 链接高考 12 考点分组 考点01 摩擦力做功问题 【关键能力】 1．静摩擦力做功的特点 (1)静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 在图甲中，光滑水平面上放着一辆小车B，小车B上放一物体A，用力F拉动车上的物体A，B与A一起做加速运动，且A与B间无相对滑动，则静摩擦力Ff对A做负功，Ff′对B做正功，如图乙所示。 在圆盘M上放置一物体A，两者一起做匀速圆周运动，保持相对静止，如图丙所示，则物体A所需的向心力由静摩擦力Ff提供，静摩擦力Ff的方向在任何时刻都与物体A的速度方向垂直，所以静摩擦力不做功。 (2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且两物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcosα可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零。 2．滑动摩擦力做功的特点 (1)滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。 如图丁所示，光滑水平面上放一木板A，其上放一物体B，物体B用细绳固定在竖直墙上，现用力F将A从B下面拉出，则B、A间的滑动摩擦力对B不做功，对A做负功。 如图戊所示，子弹沿水平方向射入静止在光滑水平面上的木块，并留在其中。在此过程中木块发生了位移，子弹对木块的滑动摩擦力对木块做正功，木块对子弹的滑动摩擦力对子弹做负功。 (2)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向，但两物体间发生了相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcosα可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且一定为负值。 【典例01】如图所示，一个木块放在光滑水平面上，一颗子弹（视为质点）水平射入木块。已知子弹受到的平均阻力大小为，子弹射入木块的深度为，在此过程中木块的位移大小为，下列说法正确的是（　　） A．子弹克服阻力做的功为 B．子弹克服阻力做的功为 C．子弹对木块做的功为 D．子弹对木块做的功为 【触类旁通】如图所示，长为L的小车置于光滑的水平面上，小车前端放一小物块，用大小为F的水平力将小车向右拉动一段距离s，此时物块刚好滑到小车的左端。物块与小车间的摩擦力为f，在此过程中（　　）    A．摩擦力对小物块做的功为 B．摩擦力对系统做的总功为0 C．力F对小车做的功为 D．小车克服摩擦力所做的功为 【灵活运用】“爬杆”是一项有趣的竞技运动，所用的杆早期是用粗的竹竿，现在一般用铁管，直径大约8cm，下端栽入地下少部分，上端用其他方式固定。高一物理组举行爬杆比赛，胡德军老师获得第一名。胡老师的爬杆动作很标准；上爬时，双手抓杆不打滑，其余部分悬空且不乱动，将下面的手转移动到上面，如此交替，直到爬到杆顶；下落时，两腿缠绕铁管，双手握住铁管滑下。下列关于胡老师在爬杆过程中所受摩擦力的做功情况的分析，正确的是（　　） A．上爬时的摩擦力做正功 B．上爬时的摩擦力做负功 C．下滑时的摩擦力做正功 D．下滑时的摩擦力做负功 题型02 变力做功问题 【关键能力】 变力做功的求解方法： 1．W＝Pt 若某个变力做功的功率恒定，则可用W＝Pt求解该变力做的功。 2．微元累积法 当做曲线运动的物体所受力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线运动，先求力在每一小段上的功，再求和即可。 如图所示 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功Wf＝Ff·Δx1＋Ff·Δx2＋Ff·Δx3＋…＝Ff(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝Ff·2πR 3．图像法 当力F和运动方向相同时，根据恒力做功的公式W＝Fl，利用微元累积法可知，F­x图像中图线与x轴围成的面积表示功。同理，根据公式W＝Pt，P­t图像中图线与t轴围成的面积也表示功。 如图甲所示，在位移x0内力F做的功W＝x0(力与位移同向)。在图乙中，0～t0时间内做功W＝·t0。 4．平均值法 当力的方向不变，力的大小随位移按线性规律变化时，即F是位移l的线性函数，则平均力＝，由W＝lcosα求功。如将劲度系数为k的弹簧由原长拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2。 若功率P随时间均匀变化，也可用类似的方法计算变力的功。 5．转化法 若某一变力的功和某一恒力的功相等，则可以将变力做功转换为恒力做功求解。 如图所示，轻绳拉物体的力的方向不断变化，根据功能关系，该力做的功可用作用于轻绳末端的力F做的功间接计算。 6.应用动能定理法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有：WF－mgL(1－cosθ)＝0，得WF＝mgL(1－cosθ) 【典例02】一质量为m的物块，在水平拉力F的作用下从静止开始沿水平面运动，其阻力f为物块重力的倍，水平拉力的大小，其中k为比例系数，x为物块运动的距离。在物块运动的距离为s的过程中拉力做的功为（　　） A． B． C． D． 【触类旁通】力F对物体所做的功可由公式求得。但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功，那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解变力所做的功。如图，对于甲、乙、丙三种情况下求解某个力所做的功。 (1)甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W=______； (2)乙图中，全过程F做的总功为______； (3)丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W=______； 【灵活运用】（多选）某星系中有大量的恒星和星际物质，主要分布在半径为的球体内，球体外仅有极少的恒星。球体内物质总质量为，可认为均匀分布。如图所示，以星系中心为坐标原点，沿某一半径方向为轴正方向，在处有一质量为的探测器，向着星系边缘运动。已知引力常量为。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零。（　　） A．探测器在星系内受到的引力大小随变化的规律 B．探测器在星系内受到的引力大小随变化的规律 C．探测器从处沿轴运动到球体边缘的过程中引力做的功 D．探测器从处沿轴运动到球体边缘的过程中引力做的功 题型03 机车启动问题 【关键能力】 1．核心公式：和 2．机车的两种启动方式对比 两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动 P­t图和 v­t图 OA段 过程分析 v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ a＝不变⇒F不变，v↑⇒P＝Fv↑，直到P额＝Fv1 运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝ AB段 过程分析 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝ v↑⇒F＝↓⇒a＝↓ 运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动 BC段 无 F＝F阻⇒a＝0⇒F阻＝，以vm做匀速直线运动 3..三个重要关系式 (1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速直线运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。 (2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v1＝<vm＝。 (3)机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W＝P额t。由动能定理：P额t－F阻x＝ΔEk。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。 【典例03】质量的小型电动汽车在平直的公路上由静止启动，图甲表示汽车运动的速度与时间的关系，图乙表示汽车牵引力的功率与时间的关系。设汽车在运动过程中阻力不变，在末汽车的速度恰好达到最大。下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力 B．汽车的最大牵引力为 C．过程中汽车牵引力做功为不可求解 D．过程中汽车的位移大小可以求解出 【触类旁通】质量的汽车由静止开始沿平直公路行驶。利用传感器测得汽车由静止到达最大速度过程中该汽车的牵引力与对应的速度，并描绘出的图像如图所示，假设该汽车行驶过程中所受的阻力恒定。 (1)求该汽车的额定功率； (2)该汽车由静止开始运动，求汽车匀加速行驶的时间。 【灵活运用】额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从静止启动，其发动机的牵引力随时间的变化图线如图所示。两车分别从和时刻开始以额定功率行驶，从和时刻开始牵引力均视为不变。若两车行驶时所受阻力大小与重力成正比，且比例系数相同，则（　　） A．甲车质量大于乙车质量 B．乙车可能比甲车先开始运动 C．甲车在时刻的速率小于乙车在时刻的速率 D．甲车在时刻的速率等于乙车在时刻的速率 创新拓展练 一、单选题 1．列车在平直轨道上由静止开始启动，启动过程受到的合力随时间变化的关系图像如图所示，列车达到额定功率后保持该功率不变，若列车所受阻力恒定，下列说法正确的是（　　） A．时刻，列车刚达到额定功率 B．时间内，列车的功率不变 C．时间内，列车的动力逐渐减小 D．时间内，列车先后做匀加速直线运动和匀速直线运动 2．如图所示，边长为的正方体木块漂浮在足够大的水面上，现用竖直向下的力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，已知水的密度为，木块的密度为，重力加速度大小为，则此过程中木块克服浮力做功为（    ） A． B． C． D． 3．书法乃中华文化之瑰宝，传承千年文脉。如图所示，砚台台面水平并和桌面始终静止，若控制墨条做匀速圆周运动，墨条的线速度，砚台对墨条沿运动方向的滑动摩擦力的大小恒为，墨条每转动一圈克服摩擦力做功，取重力加速度。则墨条运动的周期为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 4．一辆机车在水平路面上从静止开始做直线运动，其加速度随时间变化的图像如图甲所示，机车牵引力F和车速倒数的关系图像如图乙所示，机车前进过程中所受阻力大小恒定，时刻机车达到额定功率，之后保持该功率不变，下列说法正确的是（    ） A．所受恒定阻力大小为1.5×105N B．机车运动的额定功率为6×106W C．机车匀加速运动的时间为30s D．机车的质量为6×105kg 5．某次车辆行驶测试时的加速度和车速的倒数的关系图像如图所示。汽车由静止开始沿平直公路行驶，行驶中阻力恒定，已知汽车的质量为，行驶的最大速度为，下列说法正确的是（    ） A．无法求出汽车做匀加速运动的时间 B．可以求出汽车的额定功率为 C．可以求出汽车所受阻力大小为 D．可以求出汽车的加速度为时的速度大小为 6．“大疆创新”于2026年3月26日全球发布旗下首款全景无人机产品——Avata360。在某次测试时，时刻质量为m的无人机在地面从静止开始竖直升空，运动过程中一段时间内通过传感器获得的图像如图所示，t时刻飞机达到额定功率且功率不再变化，2t时刻图像与时间轴相切。已知当地重力加速度为g，上升过程中无人机受到的空气阻力不计，则下列说法正确的是（　　） A．无人机的额定功率为 B．无人机的最大速度为 C．0~t和t~2t时间内无人机升力做功之比为 D．0~t和t~2t时间内无人机升力做功之比为 7．一质量为的物体，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，图中给出拉力随位移变化的关系图像，则根据以上信息，利用目前所学知识，取，能精确得出的物理量有（　　） A．物体与水平面间的动摩擦因数为 B．物体在处的加速度大小为 C．整个过程中拉力做功大小 D．整个过程中合力做功大小 8．下列四种物理过程分别用四个图描述。 甲：绳拉力F大小不变，物块从A处被拉到B处，物块和光滑轮O可视为质点； 乙：物体沿x轴运动，受到一个与x轴方向平行的力F，F的大小与位置的关系可用图乙描述（力沿+x轴时取正值），物体从x=0移动到x=12米的过程； 丙：绳长为R，小球（视为质点）沿竖直面从与圆心等高的A点运动至圆心正下方的B点，此过程空气阻力为大小不变的f； 丁：悬挂的小球（视为质点）在水平力F作用下，被缓慢拉到悬线与竖直方向成θ角的位置（从P拉到Q），悬线长为l。 这四种情形的运动过程中，关于力F或f做功的说法正确的有（　　） A．甲：F做功 B．乙：F做功等于63J C．丙：克服空气阻力f做的功 D．丁：F做功可以用求解，其中 9．如图所示，可视为质点、质量为m的遥控动力玩具车在竖直面内沿圆周轨道内壁以恒定的速率v做完整的圆周运动，A、B为圆轨道上某一竖直方向上的两点，A点与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ。已知圆轨道的半径为R，玩具车与轨道间的摩擦力与轨道对车的支持力成正比，且比例系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力。玩具车在一次完整的圆周运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．玩具车在A点对轨道的压力方向沿半径指向圆心 B．玩具车在B点所受轨道支持力的大小为 C．玩具车通过A、B两点时对轨道的压力大小之和为 D．玩具车由最低点到最高点克服摩擦力做功为kmgπR 10．如图所示，在水平桌面上，长的轻绳一端固定于点（俯视图），另一端系一质量为的小球，现对小球施加一个大小不变的拉力，方向始终与小球在该点的切线成角，拉着小球从点运动到点。已知小球与桌面间的动摩擦因数，不计空气阻力，重力加速度取，，。则拉力做的功与小球克服摩擦力做的功分别为（　　） A． B． C． D． 11．如图所示，足够长的平板B静置于粗糙水平地面上，物体A静置于B上。现用水平恒力F拉B。使B从静止开始做匀加速直线运动，A与B存在相对滑动且A、B间有摩擦力。以地面为参考系，则在B向前运动一段距离的过程中（　　） A．B对A的摩擦力所做的功等于A的动能增加量 B．B对A的摩擦力所做的功与A对B的摩擦力所做的功大小相等 C．B与地面摩擦产生的热量等于外力F做功与A、B动能增加量之差 D．外力F做功等于B的动能增加量与B克服地面摩擦以及A对B的摩擦做功之和 三、解答题 12．如图所示，工人师傅用电动机通过细绳将货物从倾角为θ的斜面底端拉到高处的平台上。现有质量为m的货物在绳子拉力作用下从静止开始沿着斜面向上运动，运动一段时间t后，货物达到最大速度，此时电动机突发故障，无法正常工作，使得绳子上拉力为零，货物继续沿斜面向上运动一段位移后最终停在斜面上。已知电动机工作时输出的功率恒为P，货物与斜面间的动摩擦因数为tanθ，重力加速度为g。求： (1)货物在加速过程受到的摩擦力大小； (2)货物在运动过程中的最大速度； (3)整个过程中，货物在斜面上运动的位移大小。 链接高考 1．（2022·浙江·高考真题）小明用额定功率为、最大拉力为的提升装置，把静置于地面的质量为的重物竖直提升到高为的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过的匀减速运动，到达平台的速度刚好为零，取，则提升重物的最短时间为（　　） A．13.2s B．14.2s C．15.5s D．17.0s 2．（2023·湖北·高考真题）两节动车的额定功率分别为和，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为和。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2022·广东·高考真题）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平段以恒定功率、速度匀速行驶，在斜坡段以恒定功率、速度匀速行驶。已知小车总质量为，，段的倾角为，重力加速度g取，不计空气阻力。下列说法正确的有（　　） A．从M到N，小车牵引力大小为 B．从M到N，小车克服摩擦力做功 C．从P到Q，小车重力势能增加 D．从P到Q，小车克服摩擦力做功 4．（2025·海南·高考真题）一起重机将质量为m的集装箱由静止匀加速竖直向上提升，加速度为a，重力加速度为g，不计空气阻力，匀加速时间为t，则（    ） A．匀加速的最大速度为 B．集装箱的机械能增加 C．起重机的最大输出功率为 D．起重机对集装箱的作用力为 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $