精品解析：2026年湖南长沙市雅礼教育集团2026年 九年级 一模数学试题

2026年上学期初三第一次模拟检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 年是农历丙午马年，的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数，且， ∴的倒数是． 2. 据文化和旅游部数据中心测算，年清明节假期天，全国国内出游约亿人次，同比增长．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 3. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟练运用数形结合思想．从左边观看立体图形即可得到． 【详解】解：从左边观看立体图形可得左视图为直角在左边的直角三角形， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项与同底数幂的运算，积的乘方，掌握好相关知识是关键． 根据整式的加法和乘法运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：A：，但右边为，故A错误； B：，但右边为，故B错误； C：，但右边为，故C错误； D：，右边为，故D正确． 故选：D． 5. 一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据定理确定第三边的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，可得， ∴，选项中只有满足该范围． 6. 某校举办了关于航空航天的知识竞赛，随机抽取了10名参赛学生的成绩，绘制成如图所示的统计图，则参赛学生成绩的中位数是（ ） A. 90 B. 92.5 C. 95 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】将10名参赛学生的成绩按照从小到大排列，找出位置在第个和第个的成绩，求这两个数的平均数即可得出结果． 【详解】解：将10名参赛学生的成绩按照从小到大排列为：，，，，，，，，，，位置在第个和第个的成绩分别为，， 故参赛学生成绩的中位数是． 7. 如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析原三角形的边长与垂直关系，结合旋转的性质和旋转后点所在的象限，确定旋转后点的坐标． 【详解】解：，原中轴， 因此，， 绕逆时针旋转后，如图： 在中轴， 因此，， 旋转后落在第二象限（横坐标为负，纵坐标为正）， 因此坐标为． 8. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫、雁俱起，问何日相逢？大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相逢？设经过天相遇，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将总路程看作单位1，根据相遇时野鸭飞行路程与大雁飞行路程之和等于总路程列方程即可． 【详解】解：设总路程为单位1，经过天相遇， ∵野鸭飞完全程需要7天，． ∴野鸭每天飞行的路程为，天的飞行路程为， ∵大雁飞完全程需要9天， ∴大雁每天飞行的路程为，天的飞行路程为， 相遇时两者飞行路程和等于总路程， ∴可列方程 9. 如图，四边形的顶点在上，点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧上取点D，连接，得，即得的度数． 【详解】解：在优弧上取点D，连接， ∵，且， ∴ ， ∴． 10. 小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表： 时间（s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计上的度数（） 49 31 22 16 14 12 12 下列说法中不正确的是（ ） A. 当时，温度计上的度数是 B. 这个表中时间是自变量，温度计上的度数是时间的函数 C. 温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变 D. 当温度计的度数为时，经过的时间可能是 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据，结合变量、函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由表格数据可得，当时，温度计上的度数是，说法正确，本选项不符合题意； B、时间主动变化，对每一个确定的，都有唯一确定的温度计度数与之对应，因此时间是自变量，温度计上的度数是的函数，说法正确，本选项不符合题意； C、观察表格数据，温度计度数从逐渐下降到，之后保持不变，因此温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变，说法正确，本选项不符合题意； D、时温度为，时温度为，温度随时间增加持续下降，对应的时间在到之间，，此时温度低于，不可能为，说法错误，本选项符合题意． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】2 【解析】 【详解】依题意得：x﹣2=0， 解得x=2． 经检验x=2符合题意， 故答案是：2． 12. 如图，，，，则的长是__________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，代入已知数据计算即可． 【详解】解：， ． ，， ， ． 13. 如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为__________． 【答案】120 【解析】 【分析】大量反复见详解下，频率的稳定值即为概率值，则点落在椭圆内部的概率为，再根据点落在椭圆内部的概率等于椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值列式求解即可． 【详解】解：经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在左右， 点落在椭圆内部的概率为， 椭圆的面积与矩形纸片的面积的比值为， 椭圆的面积为． 14. 反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为__________．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式求出三个点的纵坐标，再利用有理数大小比较法则即可判断大小关系． 【详解】解：将三个点的横坐标分别代入反比例函数可得，，， ， ． 15. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 由四边形是菱形，，，可求得此菱形的面积与的长，求得答案． 【详解】解：设与交于， ∵四边形是菱形，，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为：． 16. 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 【答案】17.5 【解析】 【分析】首先设汽车的速度，根据题意分别表示汽车绿灯通过B，C两个路口应满足的时间范围，进而确定出速度的取值范围． 【详解】设汽车的绿波速度为v m/s，设车辆从A路口出发的时刻为0，则到达B路口的时间为 s，到达C路口的时间为 s． 红绿灯的循环周期为． 根据各路口绿灯亮起的时间规律，则有 B路口的绿灯时间段满足，其中k为非负整数， C路口的绿灯时间段满足，其中n为非负整数． 要求v的最大值，由于v越大，tB，tC越小，因此从最小的非负整数开始讨论： 当时，解不等式得， 当时，不等式得． 所以“绿波速度”的取值范围为10 ≤ v ≤ 17.5， 所以的最大值是17.5 m/s． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、特殊角的三角函数值，先计算绝对值、负整数指数幂、零指数幂和三角函数，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据平方差公式、单项式乘以多项式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，原式． 19. 人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点． 求作：过点作直线的平行线． 作法：①过点作一条直线，与直线相交于点； ②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； ③以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据提供的材料完成下面的问题． （1）这种过直线外一点作平行线的方法的依据是（ ）（填选项） A． B． C． D． （2）请你证明． 【答案】（1）A （2）见详解 【解析】 【分析】（1）证明，即可解答； （2）根据平行线的判定证明即可． 【小问1详解】 解：由作图可知，在和中， ， ， ． 即这种过直线外一点作平行线的方法的依据是“”． 【小问2详解】 证明：∵． ∴（同位角相等，两直线平行）． 20. 为进一步宣传推广湖南文旅，某校开展“春假最想去的湖南特色景点”问卷调查，每人限选一项：A张家界武陵源，B南岳衡山，C凤凰古城，D岳阳楼．收集数据后绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，已知选C凤凰古城的人数占总抽取人数的． （1）本次调查一共抽取__________名学生，扇形统计图中“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为__________； （2）补全条形统计图； （3）甲、乙两名同学各自随机任选一个景点，用树状图或列表法，求两人选择同一景点的概率． 【答案】（1）100； （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出选D岳阳楼的人数所占比例，然后用人数除以其所占比例可得这次被调查的学生人数，求出选C凤凰古城人数，选B南岳衡山人数，然后用乘以选B南岳衡山人数所占比例即可求解； （2）根据（1）中数据补全条形统计图即可； （3）画出树状图可知一共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一景点的结果有4种，然后用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：总人数：（人）， 选C凤凰古城人数：（人）， 选B南岳衡山人数：（人）， “B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为． 【小问2详解】 解：如图，补全条形统计图； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 一共有16种等可能的结果，其中两人恰好选择同一景点的结果有4种， ∴两人恰好都选中同一景点的概率． 21. 如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明三角形全等，再结合角的关系进行推理． （1）通过证明，得到，进而证明； （2）利用，得到，，从而得到，利用角平分线的定义得到，求出的度数． 【小问1详解】 证明：在和中 ； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， 平分， ， ． 22. 2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． （1）求A，B两种型号机车的单价； （2）该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆，解题过程见详解 （2）购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元，解题过程见详解 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列二元一次方程组求解即可； （2）结合第（1）问的结果，先建立总利润与机车数量的一次函数关系式，然后根据条件确定自变量的取值范围，再利用函数的性质求最大值即可． 【小问1详解】 解： 设A型机车单价为万元/辆，B型机车单价为万元/辆，根据题意列方程组得 解得 答：A型机车单价为3万元/辆，B型机车单价为2万元/辆； 【小问2详解】 解：设购进A型机车辆，则购进B型机车辆，总利润为万元，则 ． 购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍， ， ． 又为非负整数， 的最大值为33． ， ∴随的增大而增大， 当时，取得最大值， 此时，， 所以购进A型机车33辆、B型机车17辆时，获得最大利润，最大利润为53.2万元． 【点睛】本题综合考查了利用一次函数、二元一次方程组以及不等式解决实际问题．能够结合已知条件建立恰当的数学模型是解题的关键． 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：∠BAE=∠DAF； （2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD为平行四边形，得到∠B=∠D，AB=CD，再由∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90°即可得到∠BAE=∠DAF； （2）由tan∠BAE，AE=4，得到BE=3，可求出，证明△ABE∽△ADF 得到，求出DF的长，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠B=∠D，AB=CD， ∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB=90°，∠AFD=90° ∴∠B+∠BAE=90°，∠DAF+∠D=90° ∴∠BAE=∠DAF； （2）解：∵tan∠BAE，AE=4， ∴BE=3， ∴在△ABE中，， ∴ ∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，∠AEB=∠AFD=90°，∠BAE=∠DAF， ∴△ABE∽△ADF ∴， ∴， ∴FC==． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，熟记相关知识是解题的关键． 24. 如图，在中，为直径，点在上方的半圆上，且点不与点，重合．过点作的切线，交的延长线于点．过点作，垂足为点．连接，交于点． （1）求证：； （2）记与的面积分别为，，若，求的值； （3）若的半径为，设，，求关于的函数解析式． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据是的直径，得出，根据是的切线，得出，则，结合，证出，结合，即可证明． （2）证明，得出​，则，设，，由勾股定理得，证明，得出，由得​，则，又​，即可求解． （3）由勾股定理，根据，求出，由，得​，则​，由，得​，，则，由，得，即可得​，表示出，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又由（1）知， ∴， ∴​， ∴， 设，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由得​， ∴， 又​， ∴． 【小问3详解】 解：∵半径为1， 故，， ∵， ∴由勾股定理， ∵， ∴平方得， ∴， 由，得​， ∴​， ∴​， 由，得​，， ∴，故， 由，得， 则， ∴​， ∴， ， ∵点不与重合， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故函数解析式为：． 25. 在平面直角坐标系中，若抛物线（，，为常数且）的顶点为，点为该抛物线上不与点重合的一点，连接．我们不妨约定：直线与抛物线的对称轴相交所成的锐角，称为点的“轴偏角”． （1）若点为抛物线上一点，求点的“轴偏角”的度数； （2）若抛物线（，，为常数且）的顶点为，与轴交于点，点的“轴偏角”为，且直线与两坐标轴围成的平面图形的面积为，求的值； （3）已知抛物线（，，为常数且）与抛物线（，，为常数且）开口方向相同，顶点公共，点与点分别是抛物线和上的点，且都不与顶点重合．若点和点的“轴偏角”分别是和，且，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先确定抛物线的顶点坐标与对称轴，将点的横坐标代入解析式求纵坐标，得到点坐标，因为“轴偏角”是直线与对称轴的夹角，所以构造直角三角形，通过两点坐标计算水平、竖直距离，利用三角函数定义求角度； （2）先写出抛物线顶点、与轴的交点的坐标，对称轴，因为轴偏角为，所以直线的斜率绝对值为，得到与的关系；再求直线与轴交点坐标，结合直线与坐标轴围成图形的面积条件列方程，联立关系求解； （3）首先设公共顶点坐标，将两条抛物线写成顶点式，因为点、纵坐标相同，所以分别代入对应抛物线解析式，用，表示两点到对称轴的水平距离；根据轴偏角的正切值等于水平距离与对应竖直距离的比值，结合正切比值条件，推导的值． 【小问1详解】 解：将代入解析式得：， 且函数顶点坐标为原点，对称轴为轴， ∴， ∴点的“轴偏角”的度数为． 【小问2详解】 解：已知顶点，对称轴为直线，， 根据“轴偏角”的定义，点的“轴偏角”为， ∴， ∴， 设直线解析式为：， 将点代入，解得， 将点代入，解得， ∴直线解析式为：， ∴与轴交点为， ∵直线与两坐标轴围成的平面图形的面积为， ∴， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：设两抛物线的公共顶点为， 则抛物线的顶点式为， ， ∵点与点分别是抛物线和上的点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期初三第一次模拟检测试卷 数学科目 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 年是农历丙午马年，的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 据文化和旅游部数据中心测算，年清明节假期天，全国国内出游约亿人次，同比增长．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国古代数学著作《九章算术》中，将两底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.将一个“堑堵”按如图方式摆放，则它的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 一个三角形的三边长度分别为2，5和x，则x的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 某校举办了关于航空航天的知识竞赛，随机抽取了10名参赛学生的成绩，绘制成如图所示的统计图，则参赛学生成绩的中位数是（ ） A. 90 B. 92.5 C. 95 D. 100 7. 如图，点的坐标为，将绕点逆时针旋转得到，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”（凫：野鸭）问题：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫、雁俱起，问何日相逢？大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天；大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相逢？设经过天相遇，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形的顶点在上，点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 小阳同学将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔记录一次温度计上显示的度数，记录结果如表： 时间（s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计上的度数（） 49 31 22 16 14 12 12 下列说法中不正确的是（ ） A. 当时，温度计上的度数是 B. 这个表中时间是自变量，温度计上的度数是时间的函数 C. 温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变 D. 当温度计的度数为时，经过的时间可能是 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式的值为0，则x的值为______． 12. 如图，，，，则的长是__________． 13. 如图，为估计椭圆的面积，小明在面积为的矩形纸片上进行随机投点实验，经过大量实验，发现点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积约为__________． 14. 反比例函数的图象上三个点的坐标分别是，，，则，，的大小关系为__________．（用“”连接） 15. 如图，四边形是菱形，，，于，则_____． 16. 在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．某模拟线路上依次设有，，三个路口，相邻路口间距为，．假设，，各路口红绿灯均按“绿灯30 s、红灯30 s”交替循环，路口绿灯亮起后20 s，路口绿灯亮起；路口绿灯亮起后40 s，路口绿灯亮起．绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．一辆汽车从路口出发时路口绿灯刚好开始亮起，全程绿灯匀速通过，，三个路口的“绿波速度”的最大值是__________． 三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点． 求作：过点作直线的平行线． 作法：①过点作一条直线，与直线相交于点； ②以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； ③以点为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据提供的材料完成下面的问题． （1）这种过直线外一点作平行线的方法的依据是（ ）（填选项） A． B． C． D． （2）请你证明． 20. 为进一步宣传推广湖南文旅，某校开展“春假最想去的湖南特色景点”问卷调查，每人限选一项：A张家界武陵源，B南岳衡山，C凤凰古城，D岳阳楼．收集数据后绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，已知选C凤凰古城的人数占总抽取人数的． （1）本次调查一共抽取__________名学生，扇形统计图中“B南岳衡山”对应扇形的圆心角度数为__________； （2）补全条形统计图； （3）甲、乙两名同学各自随机任选一个景点，用树状图或列表法，求两人选择同一景点的概率． 21. 如图，在中，为边上一点，为的中点，连接并延长至点，使得，连接． （1）求证：； （2）若，且平分，求的度数． 22. 2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．某经销商计划购进A，B两种型号的机车进行销售．若购进1辆A型机车，2辆B型机车，共需7万元；若购进2辆A型机车，1辆B型机车，共需8万元． （1）求A，B两种型号机车的单价； （2）该经销商计划购进A，B两种型号的机车共50辆，并且购进A型机车的数量不超过B型机车的2倍．若一辆A型机车的售价为4.2万元，一辆B型机车的售价为2.8万元，怎样进货才能在全部售完时获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F． （1）求证：∠BAE=∠DAF； （2）已知AE=4，AF=6，tan∠BAE=，求CF的长． 24. 如图，在中，为直径，点在上方的半圆上，且点不与点，重合．过点作的切线，交的延长线于点．过点作，垂足为点．连接，交于点． （1）求证：； （2）记与的面积分别为，，若，求的值； （3）若的半径为，设，，求关于的函数解析式． 25. 在平面直角坐标系中，若抛物线（，，为常数且）的顶点为，点为该抛物线上不与点重合的一点，连接．我们不妨约定：直线与抛物线的对称轴相交所成的锐角，称为点的“轴偏角”． （1）若点为抛物线上一点，求点的“轴偏角”的度数； （2）若抛物线（，，为常数且）的顶点为，与轴交于点，点的“轴偏角”为，且直线与两坐标轴围成的平面图形的面积为，求的值； （3）已知抛物线（，，为常数且）与抛物线（，，为常数且）开口方向相同，顶点公共，点与点分别是抛物线和上的点，且都不与顶点重合．若点和点的“轴偏角”分别是和，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $