精品解析：云南曲靖市宣威市2026届高三第二次模拟考试数学试题

数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解不等式得，故， 解不等式得，故， 所以. 2. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，其对应点为， 复数对应的点与复数对应的点关于直线对称， 对应点为，则． 3. 经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知左顶点，上顶点，则， 所以， 所以椭圆的焦点在y轴上， 所以. 4. 若曲线的一个对称中心为，则不可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【详解】， ， 当时，，A满足； 当时，，B满足； 当时，，C满足； 当时，，D不满足． 5. 已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 6. 已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】取正方形内切圆圆心，再利用向量数量积的运算律列式求解. 【详解】依题意，正方形的内切圆的半径为1，设圆心为O， 则， 当点P为正方形的顶点时，有最大值，所以的最大值为1． 7. 若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知确定曲线的图形，数形结合并应用直线与圆的位置关系及已知条件分析临界情况，即可求范围. 【详解】由，可得， 即表示圆的上半部分（包含与x轴交点）， 当圆心到直线的距离为3时， 此时曲线C上恰有一点到直线l的距离为6， 由点到直线距离公式，可得， 结合图形位置关系知，点到直线l的距离为6， 此时为曲线C上存在两点到直线的距离为6的另一临界情形， 所以，可得， 故n的取值范围为． 8. 已知正项数列的前n项和为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知关系式得到数列是首项为2、公差为1的等差数列，从而求得的通项公式，则有，应用放缩法、裂项法求和确定范围. 【详解】因为，所以，且， 因此数列是首项为2、公差为1的等差数列，则， 所以，令，则， 因为， 所以， ， 因此，． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校高三年级共有800人，其中男生480人，为调查学生的身高情况，现采用性别比例分配的分层随机抽样抽取容量为40的样本，其中，男生身高的平均数和方差分别为170和16，女生身高的平均数和方差分别为160和16，则（ ） A. 该校每位男生被抽到的可能性大于每位女生被抽到的可能性 B. 男生中抽取的样本量为24 C. 该校高三年级学生身高的平均数估计值为165 D. 该校高三年级学生身高的方差估计值为40 【答案】BD 【解析】 【详解】A，比例分配的分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故A错； B，由题抽样比例为，故男生被抽到人数为人，故B对； C，估计该校高三年级学生身高的平均数为：，故C错； D，估计该校高三年级学生身高的方差为：，故D对． 10. 如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，为正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在棱上运动，则与一定为异面直线 B. 若点在棱上运动，则存在点，使得平面 C. 若点是底面内一点（包括边界），且点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 D. 若点为中点，则三棱锥体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据异面直线的定义即可判断；对于B，作出过点与平面平行的正方体的截面，即可判断；对于C，由题意可得点到定点的距离等于点到定直线的距离，根据抛物线的定义即可判断；对于D，判断平面，根据即可判断. 【详解】当点在棱上运动时，在平面上， 而与平面相交，且交点不在上， 所以与既不相交也不平行，一定为异面直线，故A正确； 如图1，取分别为中点， 则四边形为过点与平面平行的正方体的截面，与棱无交点， 故B错误； 当点在底面内运动时， 由底面可得点到直线的距离即为， 则在平面内，点到定点的距离等于点到定直线的距离， 由抛物线定义可得点的轨迹为以为焦点，为准线的抛物线的一部分， 故C正确； 如图2，取为中点，设与交于点， 因为为中点，易证与全等， 故，因为， 所以，所以， 又因为平面，平面 所以， 又，所以平面， ， 故D正确． 11. 已知满足，且外接圆半径为1，则（ ） A. B. C. 当面积取得最大值时， D. 当周长取得最大值时， 【答案】AC 【解析】 【分析】应用二倍角正余弦公式、和角正弦公式及整理化简判断A，根据A的结论得，再应用诱导公式、正弦边角关系求值判断B，由三角形面积公式及正弦边角关系、二倍角余弦公式、正弦型函数的性质求面积最大值对应的角判断C，应用正弦边角关系和导数求周长最大值对应的角判断D. 【详解】A，已知， 变形可得， 即， 即，故A对； B，由A知或， 即或， 即或， 即（舍）或或（舍）， 故，有，， 故，故B错； C，易知，， 当，即时，面积最大，且为，故C对； D，设周长为l，则． 令，，则， 显然，， 故不会是的极大值点，即若周长存在最大值，，故D错． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前n项和，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】若等比数列的公比为，则， 而，则，其中，解得， 又，解得，故． 13. 已知圆锥的高为，A，B为底面圆周上两点且满足，，则该圆锥的体积为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知及圆锥的结构特征列方程求底面半径，再应用圆锥的体积公式求体积. 【详解】如图所示，取中点C，连接，， 由题意可得，，，，为等边三角形， 设该圆锥的底面半径为a，则，，故， 因为，所以，整理得， 即（舍），故圆锥的体积． 14. 一项比赛由A，B，C，D，E共5人参加，任意两人之间都需要比赛一场并且分出胜负，若5人实力相当（即每场比赛两人胜负概率均为），则A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先得到比赛共有种可能的胜负情况，分析得A的胜场数只可能为4或3，再分情况讨论研究A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多的情况数，最后应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题意，共比赛场比赛，这些比赛共有种可能的胜负情况， 要使A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多，则A的胜场数只可能为4或3． 若A胜4场，则剩下6场比赛共有种胜负情况，均满足条件． 若A胜3场，此时B、C、D、E各至多胜2场且胜场数为7，故恰有其中一人胜1场，其余三人均胜2场， 由对称性，只需考虑A胜于B、C、D且负于E的情况数，记为． 若E胜1场，则E胜A且负于B、C、D，则B、C、D之间的比赛各自一胜一负，共2种情况； 若E胜2场，除胜A外，E还另胜了一场（有3种可能），不妨设E胜于A、B，负于C、D， 此时C、D之间的胜负情况有2种，不妨设C胜于D， 由于C已胜于D，必负于B，而B、D之间胜负情况（有2种可能）， 无论如何均满足条件，从而， 根据对称性，满足A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多的情况数为， 则A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多的概率为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若函数，求方程在上的解的个数． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，结合正弦型函数的性质求参数值，即可得； （2）应用三角恒等变换化简函数为，再由正弦函数的性质求区间内的零点个数. 【小问1详解】 的最小值为，所以， 的最小正周期，得，又，所以， 结合图象可知，即， ， ， ； 【小问2详解】 ， ∴令，即，又， ， ∴当或或时，， 分别对应，，，故方程在上的解的个数为3. 16. 某食盐厂生产标准质量为500克的袋装食盐，由于各种因素，实际质量与标准质量或多或少会存在一些误差，误差在克以内视为质量合格，现为了检测一条自动流水线的机器运行情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐检测它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为，，…，且由样本数据绘制频率分布直方图如图： （1）求a的值； （2）从质量不合格的食盐样本中，随机抽取3袋，其中质量在的食盐袋数记为X，求X的分布列和期望． 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）由频率和为1列方程求参数值； （2）首先确定随机变量的可能值，应用超几何分布的概率求法求对应概率，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由直方图得，则； 【小问2详解】 区间中有5袋食盐，区间中有5袋食盐， 且质量不合格的食盐所在区间为和， 从中随机抽取3袋，则X的所有可能取值为0，1，2，3， ，， ，， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以. 17. 如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． （1）证明：； （2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为E，连接，，易得，，根据线面垂直的判定、性质证明结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求出相关平面的法向量，再应用向量法求面面角余弦值的范围. 【小问1详解】 如图，取中点为E，连接，， 因为，，所以，， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 因为为等腰三角形，，即， 所以，因为为等边三角形， 所以，故，， 因为，则，即，又，， 所以，，两两互相垂直，以E为原点，为基底建立空间直角坐标系, 则，，， 设平面的法向量为，，， 则，即，取，得， 设，所以，则，故， 设平面的法向量为，， 则，即，取，得， 所以， 令，则，所以， 因为时，，所以， 所以. 18. 已知，． （1）若，求的单调区间和极值； （2）若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围； （3）设，求中元素个数的所有可能值． 【答案】（1）单调减区间为，单调增区间为，极小值1，无极大值． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对进行求导，利用导函数求出单调区间，即可求出答案； （2）通过求导得到的单调性，当不符合题意，当时，根据题意得到，，解不等式即可求出答案； （3）设为方程在上的解的个数，为方程在上的解的个数，可化为，可化为，令，，分别求导求出和，根据即可求出答案. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为， ，令， 则当时，当时，且， 所以的单调减区间为，单调增区间为， 在处取到极小值，无极大值． 【小问2详解】 因为，所以， ①若，则，此时在上单调递增，不存在极小值点，与题设矛盾，故舍去； ②若，令（舍去）， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为在上存在极小值点，所以，解得， 又因为在上存在零点，且，当，， 所以，即，解得， 综上，参数的取值范围为． 【小问3详解】 设为方程在上的解的个数， 为方程在上的解的个数， 显然, 对于方程，因为，所以， 则等价于， 对于方程，等价于， 设，， ，时，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 故在取得最小值， 又因为，；，， 所以方程的解的个数为， ， 则当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故在取得最小值， 又因为，；，， 所以方程的解的个数为， 因为， 所以当时，， 当时，， 当时，， 综上，的所有可能值为． 19. 已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，O为坐标原点．设点P、Q、R是上不同的三点，点Q、点P分别在的左支、右支上． （1）已知点在上，过作x轴的平行线，与双曲线的两条渐近线交于M、N两点，． （i）求的标准方程； （ii）的外心为D（异于原点O），若直线、、、的斜率均存在且不为0，分别记为、、、，探究是否为定值．（注：） （2）设直线与直线交于点E，直线与直线交于点G，求证：． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ），是定值． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（i）由点在曲线上并求出的坐标，应用向量的坐标表示列方程求参数值，即可得；（ii）设、不过原点O，，，，，应用点差法得到、，进而得到、的垂直平分线的方程、，最后得到，即可得结论； （2）设直线的方程为，且，，联立双曲线及韦达定理得、且直线为，直线为，联立得，应用分析法及向量平行的坐标表示证明结论. 【小问1详解】 （i）由题得，过与x轴平行的直线，双曲线的渐近线， 所以，不妨令， 则，所以， 所以，，则的标准方程为； （ii）根据条件知，的三边中至多有一边经过原点O， 不妨设、不过原点O，，，，， 如图，则，， 两式相减，得， 所以，，同理， 于是线段的垂直平分线的方程为， 整理，得， 同理线段的垂直平分线的方程为， 所以，， 两式相减，得， 整理，得， 即，又，， 所以，于是，是定值； 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立，消y，得， 所以，，，， 把代入得，则直线为． 由题，，如图，则直线为， 联立直线与直线的方程，得， ，又， 要证明，只需证明， 即证明， 把，代入上式，得 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于直线对称，则（ ） A. B. C. D. 3. 经过椭圆的左顶点与上顶点的直线的斜率为，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 若曲线的一个对称中心为，则不可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 12 5. 已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方形的边长为2，为该正方形内切圆的直径，点P在正方形的边上运动，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 若曲线上存在两点到直线的距离为6，则n的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正项数列的前n项和为，，，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 某学校高三年级共有800人，其中男生480人，为调查学生的身高情况，现采用性别比例分配的分层随机抽样抽取容量为40的样本，其中，男生身高的平均数和方差分别为170和16，女生身高的平均数和方差分别为160和16，则（ ） A. 该校每位男生被抽到的可能性大于每位女生被抽到的可能性 B. 男生中抽取的样本量为24 C. 该校高三年级学生身高的平均数估计值为165 D. 该校高三年级学生身高的方差估计值为40 10. 如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，为正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若点在棱上运动，则与一定为异面直线 B. 若点在棱上运动，则存在点，使得平面 C. 若点是底面内一点（包括边界），且点到直线与到直线的距离相等，则点的轨迹为抛物线的一部分 D. 若点为中点，则三棱锥体积为 11. 已知满足，且外接圆半径为1，则（ ） A. B. C. 当面积取得最大值时， D. 当周长取得最大值时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前n项和，若，则_____________． 13. 已知圆锥的高为，A，B为底面圆周上两点且满足，，则该圆锥的体积为_____________． 14. 一项比赛由A，B，C，D，E共5人参加，任意两人之间都需要比赛一场并且分出胜负，若5人实力相当（即每场比赛两人胜负概率均为），则A的胜场数比其余任何一人的胜场数都多的概率为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若函数，求方程在上的解的个数． 16. 某食盐厂生产标准质量为500克的袋装食盐，由于各种因素，实际质量与标准质量或多或少会存在一些误差，误差在克以内视为质量合格，现为了检测一条自动流水线的机器运行情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐检测它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为，，…，且由样本数据绘制频率分布直方图如图： （1）求a的值； （2）从质量不合格的食盐样本中，随机抽取3袋，其中质量在的食盐袋数记为X，求X的分布列和期望． 17. 如图甲，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿翻折到的位置，其中（如图乙），点F在线段上（不含端点）． （1）证明：； （2）设平面与平面的夹角为，求的取值范围． 18. 已知，． （1）若，求的单调区间和极值； （2）若在上既存在极小值点，又存在零点，求参数的取值范围； （3）设，求中元素个数的所有可能值． 19. 已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，O为坐标原点．设点P、Q、R是上不同的三点，点Q、点P分别在的左支、右支上． （1）已知点在上，过作x轴的平行线，与双曲线的两条渐近线交于M、N两点，． （i）求的标准方程； （ii）的外心为D（异于原点O），若直线、、、的斜率均存在且不为0，分别记为、、、，探究是否为定值．（注：） （2）设直线与直线交于点E，直线与直线交于点G，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $