精品解析：云南保山市2026届高三毕业生第二次模拟考试数学试卷

2026届高三毕业生第二次模拟考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.007 D. 将总体划分为三层，通过分层抽样，得到三层的样本平均数和样本方差分别为，，和，，，若，则总体方差 5. 函数在区间上的极小值点个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 7. 公园某处有一个半径为40米的圆形水池，准备在水池中建两个喷泉.如图，设该圆形水池的圆心为O，A，B两点为喷泉，为该圆形水池边缘任意一点，要求O，A，B三点共线，且.若在该水池边缘任意一点处观察喷泉，观察角度的最大值不小于，则A，B这两个喷泉间距离的最小值为（ ） A. 米 B. 米 C. 80米 D. 40米 8. 平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若且，则 10. 若数列的前项和为，且，在数列的前项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知是定义在上的函数，若，则（ ） A. 当函数均为奇函数时，为奇函数 B. 当函数均为增函数时，为增函数 C. 当函数均有最小值时，有最小值 D. 当函数均有最大值时，有最大值 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中，项的系数为-10，则________. 13. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 14. 已知是边长为7的等边三角形内一点（含边界），，，则的取值范围为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，设内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的值. 16. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，设动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出相应直线的方程；若不存在，请说明理由. 17. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 18. 如图，在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与，不重合，，，. （1）若平面和平面的交线为，证明：平面； （2）设平面、平面和底面圆所成的锐二面角分别为和，若，求平面和底面圆所成的锐二面角的正切值. 19. 某分布式存储系统中，数据块容量上限为，数据块的初始数量为.系统运行遵循以下规则： ①在每一时间步，系统以概率执行清理操作（数据块的数量减），以概率执行写入操作（数据块的数量加）； ②当数据块的数量为（成功复位）或为（内存溢出）时，系统运行立即终止. 记当数据块的数量为时，系统最终以“成功复位”状态终止的概率为. （1）直接写出、的数值，并写出、、的关系式； （2）当时，比较系统最终以“成功复位”与“内存溢出”状态终止的概率大小关系； （3）已知：若随机变量的取值不会影响随机变量的概率分布列，则称与相互独立，且满足.记为系统运行步后的数据块的数量（假设系统在此期间未终止）.当时，若与无关，求正实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三毕业生第二次模拟考试 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页，考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、学校、班级、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得， 故， 定义域是，故， 则． 2. 棣莫弗公式是由法国数学家棣莫弗发现的.若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由棣莫弗公式，. 3. 设椭圆的离心率为，，，分别为其左、右焦点，点为椭圆短轴的一个端点，且的面积为2，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由椭圆离心率为，得，即，又因为，所以， 又点为椭圆短轴顶点，则，解得，所以， 即椭圆的方程为. 4. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据47，48，49，53，54，56，58，59的上四分位数为57 B. 在成对样本数据分析中相关系数，表示两个变量之间没有线性相关关系 C. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为34，则残差为0.007 D. 将总体划分为三层，通过分层抽样，得到三层的样本平均数和样本方差分别为，，和，，，若，则总体方差 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，上四分位数（即第75百分位数）的计算位置为， 则上四分位数应取第6个数和第7个数的平均值，即，A正确； 对于B，相关系数的含义是两个变量没有线性相关关系，但可能存在非线性关系，B正确； 对于C，残差的定义是观测值与预测值之差，即， 则残差为，C正确； 对于D，设总体分为三层，各层样本容量为，总样本容量为. 各层样本平均数为，样本方差为. 总体方差. 当时，设， ， 即， 则总体方差等于， 仅当时，，而题目未说明各层样本容量相等（），不正确，故选D. 5. 函数在区间上的极小值点个数为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数后判断其符号，从而可得极小值点的个数. 【详解】由函数，可得， 令，即，可得或， 因为，可得，，0，，， 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递增； 当时，，，所以，单调递减； 当时，，，所以，单调递增， 所以在,，，上递增， 在，上递减， 所以在区间的极小值点为，，共有2个. 6. 已知各项均为整数的数列中，，，前10项依次成等差数列，从第9项起依次成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，，，成等比数列， ， 整理得，解得或， 又数列的各项均为整数，， ，， ， 当时，， ． 7. 公园某处有一个半径为40米的圆形水池，准备在水池中建两个喷泉.如图，设该圆形水池的圆心为O，A，B两点为喷泉，为该圆形水池边缘任意一点，要求O，A，B三点共线，且.若在该水池边缘任意一点处观察喷泉，观察角度的最大值不小于，则A，B这两个喷泉间距离的最小值为（ ） A. 米 B. 米 C. 80米 D. 40米 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用余弦定理得到，再找出观察角度最大时，取得最小值，进而利用余弦定理和基本不等式求解即可． 【详解】设，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 结合余弦函数的性质得，当观察角度最大时，取得最小值， 在中，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， 因为的最大值不小于，所以，解得， 即，故，这两个喷泉间距离的最小值为米． 8. 平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面与球相交截面是一个圆，首先确定外接球球心及半径，再求球心到平面距离，最后根据勾股定理求截面半径． 【详解】 如图，设中点为，，， ，，即， ，则，． 又平面，平面，， 则，，即， 三棱锥中，，均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， 对于三棱锥，高为，底面积， 故， ， ，，解得， 截面半径，面积为． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若且，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，，若，则，故A为假命题； 对于B，，，又，，故B为真命题； 对于C，，则，，故C为真命题； 对于D，且，则，，故D为真命题． 10. 若数列的前项和为，且，在数列的前项中任取两项都是正数的概率记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求出数列的通项，再就的奇偶性分类求出，最后根据前两者逐项判断可得正确的选项. 【详解】数列中，，当时，， 则，而 ，解得， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列，故. 当，时， 数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为， 当，时，数列的前项中，有个正数，个负数， 任取两项都是正数的概率为. 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，，D正确， 11. 已知是定义在上的函数，若，则（ ） A. 当函数均为奇函数时，为奇函数 B. 当函数均为增函数时，为增函数 C. 当函数均有最小值时，有最小值 D. 当函数均有最大值时，有最大值 【答案】BC 【解析】 【分析】取，，计算可判断A；根据函数单调性定义可判断B；根据函数最小值定义可判断C，取，取，计算可判断D. 【详解】对于A，设，，则， 即.此时为偶函数，故A错误. 对于B，若，都有，则，为增函数； 若，都有，则，为增函数； 若，假设时，时， 则在上的最大值，在上的最小值， 且必有，此时为增函数.故B正确. 对于C，由，可设. 若最小值为，最小值为，记， ，有，， 则，且使得， 即有最小值，故C正确. 对于D，取，取， 则，此时为上的增函数，无最大值，故D错误. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知的展开式中，项的系数为-10，则________. 【答案】4 【解析】 【详解】项系数为，解得． 13. 已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【详解】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 14. 已知是边长为7的等边三角形内一点（含边界），，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】的运动轨迹实际上是等边三角形内一条线段，分别令，，可得线段两端点，然后求出的取值范围． 【详解】取，，，． 由题， 因为，所以M，E，F三点共线． 在中，， 记中EF边上的高为，，解得， 即的最小值为，当与点重合时，的最大值为5， 所以． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，设内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得到， 整理得到， 即， 又，则， 得到，又，解得． 【小问2详解】 由（1）知， 由余弦定理得， 又，，所以， 由正弦定理知（其中为外接圆的半径）， 得到，， 所以． 16. 已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为8，设动圆圆心的轨迹为. （1）求的方程； （2）已知点，过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出相应直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设点坐标，根据，由轴上截得的弦长为8及勾股定理构建方程，化简得到的方程． （2）首先考虑直线垂直轴的情况，显然存在使得为等边三角形．对于直线不与轴垂直，设直线方程，与曲线联立．设中点为，根据韦达定理求出点坐标，根据，求出点，进而求出．根据抛物线定义及韦达定理求出焦点弦弦长．最后根据建立方程，解出直线参数． 【小问1详解】 设动圆圆心，半径为，动圆过定点， ， 又圆在轴上截得的弦长为8，所以， 联立两式消去得， 动圆圆心的轨迹的方程为． 【小问2详解】 由题，设直线，，， 联立， ，， 中点为， 假设满足条件， ， 且为等边三角形， ，且． ①若，则直线，，，， 存在，构成等边三角形； ②若，由题意得，， ， 又且， ， ，无解， 综上，存在点，，使得为等边三角形， 此时直线l的方程为． 17. 已知函数. （1）若，求函数的单调区间； （2）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，得出单调区间． （2）构造函数，求导，再讨论参数范围．这是一个端点效应的题，端点处为，可以令端点处导数大于等于零，得到参数范围，再据此讨论． 【小问1详解】 当时，， 则． 令，即，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 ． 设， 则在恒成立等价于在恒成立． ， 又，，，当且仅当时等号成立， 当时，． ①当，即时，， 在上单调递增，又， ，满足在上恒成立． ②当，即时， 令，则． ，，， 则，在上单调递增. 又，当时，， 存在，使得，即， 当时，，单调递减，则， 不满足在上恒成立． 综上，a的取值范围为． 18. 如图，在圆柱中，是圆的一条直径，是圆柱的母线，其中点与，不重合，，，. （1）若平面和平面的交线为，证明：平面； （2）设平面、平面和底面圆所成的锐二面角分别为和，若，求平面和底面圆所成的锐二面角的正切值. 【答案】（1） ，且是圆的一条直径， 是的中点，是的中点，， 又平面，且平面， 平面， 又平面，平面平面， 由线面平行的性质定理可得，， 又平面，且平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线有，再证明平面，根据线面平行性质，证明，最后利用线面平行的判定定理证明即可． （2）根据，以，，为轴，轴，轴建立平面直角坐标系，求出平面、平面和底面圆所成的锐二面角，根据，确定，的位置，最后求出平面和底面圆所成的锐二面角的正切值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，是圆的一条直径，且与A，B不重合，， 又是圆柱的母线，垂直于底面圆所在的平面， 所以以为坐标原点，CB，CA，CD所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系， 设，，则，，， ，，，，，， ， ，，，， 设平面的一个法向量，则， 令，则， 设平面的一个法向量，则， 令，则， 由题意可得底面圆的一个法向量为， 所以， 同理， 因为，所以，即， 又，所以，， 所以，， 所以，， 设平面的一个法向量，则， 令，则， 所以， ，所以. 故平面和底面圆所成的锐二面角的正切值为． 19. 某分布式存储系统中，数据块容量上限为，数据块的初始数量为.系统运行遵循以下规则： ①在每一时间步，系统以概率执行清理操作（数据块的数量减），以概率执行写入操作（数据块的数量加）； ②当数据块的数量为（成功复位）或为（内存溢出）时，系统运行立即终止. 记当数据块的数量为时，系统最终以“成功复位”状态终止的概率为. （1）直接写出、的数值，并写出、、的关系式； （2）当时，比较系统最终以“成功复位”与“内存溢出”状态终止的概率大小关系； （3）已知：若随机变量的取值不会影响随机变量的概率分布列，则称与相互独立，且满足.记为系统运行步后的数据块的数量（假设系统在此期间未终止）.当时，若与无关，求正实数的值. 【答案】（1），，. （2） 当时，“成功复位”的概率大于“内存溢出”的概率， 当时，“成功复位”的概率等于“内存溢出”的概率， 当时，“成功复位”的概率小于“内存溢出”的概率. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出、的数值，再利用全概率公式可得出、、的关系式； （2）结合（1）推导出可知数列为等差数列，求出该数列的公差，可得出的表达式，求出系统最终以“成功复位”、“内存溢出”状态终止的概率，作差比较出这两种状态终止概率的大小，即可得出结论； （3）设为第步数据块的数量的变化值，、、、相互独立，求出的分布列，由题意可知，根据题中期望的性质得出，根据题意得出恒成立，只需，再结合的分布列可得出关于的等式，解之即可. 【小问1详解】 由题意可知，， 由全概率公式可得. 【小问2详解】 当时，， 即，故数列为等差数列，设其公差为， 设其通项公式可得， 由可得，所以， 又因为系统数据块的初始数量为， 所以系统最终以“成功复位”状态终止的概率为， 从而系统最终以“内存溢出”状态终止的概率为， 令，解得， 所以当时，“成功复位”的概率大于“内存溢出”的概率， 同理可得，当时，“成功复位”的概率等于“内存溢出”的概率， 当时，“成功复位”的概率小于“内存溢出”的概率. 【小问3详解】 设为第步数据块的数量的变化值，、、、相互独立， 且分布列均为，， 由题意可知， 所以， 因为每步操作相互独立，所以第步的变化值与之前的累积状态相互独立， 从而随机变量与相互独立，则， 因为与无关，所以恒成立，所以， 事实上，故只需， 由的分布列可知， 因式分解得， 又因为，所以， 所以当时，若与无关，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $