精品解析：山西晋中市太谷区明星镇中学校2025—2026学年第二学期期中质量监测七年级数学试卷

2025—2026学年第二学期期中质量监测 七年级数学 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 春季花粉易引发过敏，某种花粉的直径约为0.0000092米，将数据0.0000092用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 太阳东升西落 C. 扑克牌里抽一张牌是黑桃牌 D. 投一次篮命中篮筐 4. 如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 5. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 2，4，2 B. 3，3，7 C. 4，5，6 D. 5，6，11 6. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（ ） A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 7. 如图，将直角三角板的直角顶点放在直尺一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如今，智能健身市场的新产品不断涌现．动感单车、划船机等智能化健身设备让人们既可以简单方便的随时练；也可以跟着智能教练精准练、科学练，让人人都能很方便地构建属于自己的一站式健康管理平台．如图是动感单车抽象出的平面图形，若，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：，根据图②你能得到的数学公式是（ ） 图① 图② A. B. C. D. 10. 如图所示，在长方形的中，已知，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 4或 D. 4或 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是___． 12. 如图，已知BE＝DC，请添加一个条件，使得△ABE≌△ACD：_____． 13. 在一个不透明的盒子中装有6个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则______ 14. 如图，AE是ABC的角平分线、AD是BC上的高．若，，则____________． 15. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于_________． 三、解答题（本题共8 小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，点D是延长线上的一点，且． （1）求作：，使且E、A在直线同侧．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接交于F，则与数量关系如何，并说明理由． 19. 如图，在中， ，是的角平分线，点E在上，且，求的度数． 20. 如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： （1）在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； （2）为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 21. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 22. 数学活动： 【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 【直接应用】（1）已知：，，求的值； 【解决问题】（2）如图2，四边形是长方形，分别以，为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】（3）若，求的值． 23. （1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，求证：； （2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期期中质量监测 七年级数学 一、单选题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，故原题计算错误； B．，故原题计算错误； C．，故原题计算正确； D．，故原题计算错误． 2. 春季花粉易引发过敏，某种花粉的直径约为0.0000092米，将数据0.0000092用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，需满足，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上 B. 太阳东升西落 C. 扑克牌里抽一张牌是黑桃牌 D. 投一次篮命中篮筐 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查事件的分类，必然事件是指一定会发生的事件. 选项A、C、D都是随机事件，不一定发生；选项B是自然规律，必然发生． 【详解】解：A、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合题意； B、太阳东升西落是地球自转的必然结果，是必然事件，故符合题意； C、扑克牌里抽一张牌是黑桃牌，是随机事件，故不符合题意； D、投一次篮命中篮筐，是随机事件，故不符合题意． 故选：Ｂ． 4. 如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 两点确定一条直线 D. 三角形的稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：D． 5. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. 2，4，2 B. 3，3，7 C. 4，5，6 D. 5，6，11 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握构成三角形的条件“较小的两边之和大于第三边”是解题的关键． 【详解】解：A.，不能摆成三角形； B.，不能摆成三角形； C.，能摆成三角形； D. ，不能摆成三角形； 故选C． 6. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（ ） A. 第1块 B. 第2块 C. 第3块 D. 第4块 【答案】B 【解析】 【详解】解：1、3、4、5这几块玻璃不同时具备包括一个完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 7. 如图，将直角三角板的直角顶点放在直尺一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的性质，平角的定义即可解决问题． 【详解】∵,， ∴ ∵， ∴． 8. 如今，智能健身市场的新产品不断涌现．动感单车、划船机等智能化健身设备让人们既可以简单方便的随时练；也可以跟着智能教练精准练、科学练，让人人都能很方便地构建属于自己的一站式健康管理平台．如图是动感单车抽象出的平面图形，若，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．先利用平行线的性质得到，再根据三角形的内角和定理求得，然后再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 9. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式，例如根据图①我们可以得到两数和的平方公式：，根据图②你能得到的数学公式是（ ） 图① 图② A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用两种方式表示较大正方形的面积即可得解． 【详解】观察图形可得从整体来看（a-b）2等于大正方形（边长为a）的面积减两个边长分别为a和b的图形面积，其中最小部分被减了两次，因此应重新加上一次， ∴根据图②能得到的数学公式是：（a-b）2=a2-2ab+b2， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是完全平方公式的几何背景，从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义是解答本题的关键． 10. 如图所示，在长方形的中，已知，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若以A，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，则a的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 4或 D. 4或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键．分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，，即， 解得； 当时，，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为或， 故选：D． 二、填空题（共5题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是___． 【答案】 【解析】 【分析】利用同底数幂的除法法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法，解题的关键是掌握运算法则． 12. 如图，已知BE＝DC，请添加一个条件，使得△ABE≌△ACD：_____． 【答案】∠B＝∠C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵BE＝DC，∠A＝∠A， ∴根据AAS，可以添加∠B＝∠C，使得△ABE≌△ACD， 故答案为：∠B＝∠C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 13. 在一个不透明的盒子中装有6个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据随机摸出一个球，它是白球的概率为，结合概率公式得出关于的方程，解之可得的值，继而得出答案． 【详解】解：根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 所以， 故答案是：3． 【点睛】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数及解分式方程的步骤． 14. 如图，AE是ABC的角平分线、AD是BC上的高．若，，则____________． 【答案】15° 【解析】 【分析】先求出∠BAC的度数，再求出∠BAD的度数和∠BAE的度数，再求出∠DAE的度数． 【详解】解：∵∠BAC=180°-34°-64°=82°， 又∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE=41°， ∵∠ABC=34°，AD是BC边上的高． ∴∠BAD=90°-34°=56°， ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=56°-41°=15°． 故答案为：15°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 15. 如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，且的面积等于，则阴影部分图形面积等于_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质得，同理可得，，进而求出，最后根据三角形中线的性质得出答案． 【详解】解：∵，点D是的中点， ∴． ∵点E是的中点， ∴，同理， ∴． ∵点F是的中点， ∴． 三、解答题（本题共8 小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）； 【答案】（1） （2） （3）1 （4） 【解析】 【分析】（1）先计算的奇数次幂、零指数幂、负指数幂，再进行加减计算即可； （2）先分别计算平方差公式、单项式乘多项式，再合并同类项即可； （3）先把变形，再用平方差公式计算，再进行加减计算即可； （4）先算乘方，再算乘法，最后算除法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，19 【解析】 【详解】解：原式 ， 将代入，得： 原式 ． 18. 如图，已知，点D是延长线上的一点，且． （1）求作：，使且E、A在直线同侧．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接交于F，则与数量关系如何，并说明理由． 【答案】（1）见详解 （2），理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形和作图，全等三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定定理． （1）利用定理，分别以C，D为圆心，以长为半径作弧交于点E，连接即可得到． （2）根据全等三角形的性质得，可判定四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质即可得与数量关系． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作的三角形． 【小问2详解】 解：连接和，如图， ∵， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形， ∴． 19. 如图，在中， ，是的角平分线，点E在上，且，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，然后根据角平分线求解的度数，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：， ． 是的角平分线， ． 在中，， ． 20. 如图是一个可以自由转动的转盘，且转盘被分成面积相等的十个扇形．小颖和同伴利用这个转盘做下面的游戏： ①自由转动转盘，每人分别将转出的数填入两个方格中的任意一个； ②继续转动转盘，每人再将转出的数字填入剩下的方格中； ③转动两次转盘后，每人得到一个“两位数”； ④比较两人得到的“两位数”大小，谁的大谁就获胜． 通过游戏经验的积累，小颖发现： （1）在一次游戏中，小颖第一次转出的数字是，求她下一次转出的数字大于的概率； （2）为了更有可能得到一个较大的两位数，你认为小颖应当把第一次转出的数字6放在______（填“十位”或“个位”）的方格中． 【答案】（1） （2）十位 【解析】 【分析】（1）根据转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个，可知小颖下一次转出的数大于的概率为； （2）根据转盘上小于的数字有个，所以小颖下一次转出的数字小于的概率为，所以小颖下一次转出的数字小于的概率大，因为在十位上应该填入一个较大的数，所以数字应该放在十位上． 【小问1详解】 解：转盘上一共有个数字，其中大于的数字有个， 她下一次转出的数字大于的概率为； 【小问2详解】 解：由第一问可知，她下一次转出的数字大于的概率为， 转盘上小于的数字有个， 小颖下一次转出的数字小于的概率为， ， 小颖下一次转出的数字小于的概率大， 在十位上应该填入一个较大的数， 数字应该放在十位上． 21. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直达，的点，再连接，，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． （1）以上两位同学所设计的方案，可行的有______； （2）请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】（1）甲方案、乙方案 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是： （1）根据全等三角形的判定与性质可解答甲、乙； （2）甲方案利用“”，证明，测出的长即为，B的距离；乙方案利用“”，证明，测出的长即为，的距离． 【小问1详解】 解：根据“”证明，可得，所以甲方案可行； 根据“”证明，可得，所以方案乙可行， 【小问2详解】 解：甲方案：在和中， ， ： 乙方案：， ． 在和中， ， ． ． 22. 数学活动： 【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 【直接应用】（1）已知：，，求的值； 【解决问题】（2）如图2，四边形是长方形，分别以，为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】（3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】此题考查了据完全平方公式的变形，完全平方公式的几何应用， （1）根据完全平方公式的变形求解即可； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据，代入求解即可； （3）设，，则，，根据完全平方公式的变形求解即可． 【详解】解：（1）， ； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， ， ， ， ， ； （3）设，，则，， ． 23. （1）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形， 如图1，和是是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，求证：； （2）类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，请直接写出的长，不说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）与的数量关系，位置关系是，理由见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形全等的判定和性质即可解答． （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即． （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴， ∴． （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质、三线合一等性质，熟练掌握三角形的有关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $