10.1.2复数的几何意义 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，核心内容包括复数与复平面内点、向量的一一对应关系，共轭复数的概念及几何特征，复数模的定义与几何意义。课堂导入从实数与数轴的对应关系出发，通过“情境与问题”引导学生思考复数的几何模型，借助有序实数对建立复数与平面点的联系，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于通过“探究新知”中的实例分析和“尝试与发现”活动，培养学生的几何直观（数学眼光）和逻辑推理（数学思维）能力，如结合复平面分析共轭复数的对称关系、利用模的定义解决轨迹问题。小结部分系统梳理对应关系和模的性质，规范数学表达（数学语言）。学生能直观理解抽象概念，教师可依托结构化内容提升教学效率。

第十章 复数 10.1.2 复数的几何意义 《人教B版2019高中数学必修第四册》 一方面，根据复数相等的定义，复数z=a+bi(a,b∈R)被它的实部与虚部唯一确定，即复数z被有序实数对（a,b）唯一确定；另一方面，有序实数对（a,b）在平面直角坐标系中对应着唯一的点Z(a,b).因此不难发现，可以在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，即 复数z=a+bi↔点Z(a,b).(复数的几何意义） 探究新知 例如，复数1+2i对应的点为A(1,2)，复数3对应的点为B(3,0)，而点C(0,-1）对应的复数为      ，如图10-1-1所示． 建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为实轴；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为虚轴. -i 探究新知 一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示，因此，当z=a+bi(a,b∈R)时，有 =a-b. 显然，在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数. 复数还有另外一种几何意义：因为平面直角坐标系中的点Z(a,b）能唯一确定一个以原点O为始点、Z为终点的向量，所以复数也可用向量来表示，这样一来也就能在复数集与平面直角坐标系中以O为始点的向量组成的集合之间建立一一对应关系，即复数z=a+bi↔向量=(a,b) 探究新知 因此我们也就能借助向量来描述复数.一般地，向量=(a,b)的长度称为复数z=a+bi的模（或绝对值），复数z的模用|z|表示，因此 |z|=a2+b2 可以看出，当b=0时， |z|==|a| 这说明复数的模是实数绝对值概念的推广.(实数绝对值对应数轴上点到远点的距离，复数模对应复平面上的点到原点的距离） 例如，复数z1=3+i对应的向量=(3,1)，复数z2=3−i对应的向量=(3,−1)，而且此时有|3+i|=|3−i|=,如图10-1-2所示． 一般地，两个共轭复数的模相等，即 |z|=||. 探究新知 例1 设复数z1=3+4i在复平面内对应的点为Z1，对应的向量为；复数z2在复平面内对应的点为Z2，对应的向量为.已知Z1与Z2关于虚轴对称，求z2，并判断||与||的大小关系. 解 由题意可知Z1(3,4)，又因为Z1与Z2关于虚轴对称，所以Z2(−3,4)，从而有z2=−3+4i，因此 |z2|==5. 又因为 |OZ1|=|z1|=5 |OZ2|=|z|=5, 所以||= || 探究新知 例2 设复数z在复平面内对应的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示. (1)|z|=2; (2)1<|z|≤3. 解 （1）由|z|=2可知向量的长度等于2，即点Z到原点的距离始终等于2，因此点Z组成的集合是圆心在原点、半径为2的圆．如图10-1-3(1）所示． 图10-1-3(1） 图10-1-3(2） 又因为满足|z|≤3的点Z的集合，是圆心在原点、半径为3的圆及其内部，而满足|z|>1的点Z的集合，是圆心在原点、半径为 的圆的外部，所以满足条件的点Z组成的集合是一个圆环（包括外边界但不包括内边界）．如图10-1-3(2）所示． 解 （2）不等式1<|z|≤3等价于不等式组 |z|≤3, |z|>1. 1 练习A ① 分别写出下列复数在复平面内对应的点的坐标. (1)2+5i; (2)-3+2i; (3)3-2i; (4)-2i-4; (5)3; (6)-3i; (7)4i; (8)-2. (1)2+5i（2，5） (2)-3+2i（-3，2） (3)3-2i（3，-2） (4)-2i-4（-4，-2） (5)3（3，0） (6)-3i（0，-3） (7)4i（0，4） (8)-2（-2，0） ② 判断下列命题的真假. （1）在复平面内，实轴上的点都表示实数； （2）在复平面内，实轴与虚轴的交点对应复数0． ③ 已知z=-1-i,求与|z| √ √ ④写出“复数z的共轭复数是它本身”的一个充要条件． =-1+i,|z|= 复数z的虚部为0（或z是实数） 练习B ①设复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内对应的点为Z(a,b)，分别写出a,b 必须满足的条件，使得点Z位于 （1）实轴上； （2）虚轴上； （3）上半平面（不包括实轴）； （4）右半平面（不包括虚轴）． b=0 a=0 b>0 a>0 ② 求下列各式的值. (1)|3+4i|; (2)|2+2i| (3)|−−i| ③ 如果两个复数的模相等，那么这两个复数一定互为共轭复数吗？为什么？ 5 2 1 两个复数的模相等，只说明它们在复平面内对应点到原点的距离相等，不一定关于实轴对称,以原点为圆心的圆上的所有点到原点的距离都相等。 练习B ④ 用“＞”、“＜”或“＝”填空． （1）复数z1=4−3i,z2=4+3i，则|z1| |z2|； （2）复数z1=5−12i,z2=+3i，则|z1| |z2| ⑤ 设复数z在复平面内对应的点为Z，说明当z分别满足下列条件时，点Z组成的集合是什么图形，并作图表示. (1)|z|=1 (2)|z|<1; (3)|z|≥1; (4)1<|z|<2. ＝ ＞ |z1|=13,|z2|= 是以原点为圆心，半径为 1 的圆 是以原点为圆心，半径为 1 的圆的内部（不含边界） 是以原点为圆心，半径为 1 的圆及其外部（含边界） 是以原点为圆心,半径 1 和半径 2 的圆之间的圆环(不含两个边界圆) 小结 1.基本对应关系 复数形式：z=a+bi(a,b∈R) 一一对应三组关系： 复数z=a+bi⇔复平面内点Z(a,b) 复数z=a+bi⇔平面向量=(a,b) 实轴：x轴（表示实部a），虚轴：y轴（表示虚部b） 2.复数的模 定义：|z|=|a+bi|= 几何意义：向量的长度，点Z(a,b)到坐标原点的距离 性质:|z|=||; 拓展：模是实数绝对值从一维数轴到二维平面的推广 小结 1.基本对应关系 复数形式：z=a+bi(a,b∈R) 一一对应三组关系： 复数z=a+bi⇔复平面内点Z(a,b) 复数z=a+bi⇔平面向量=(a,b) 实轴：x轴（表示实部a），虚轴：y轴（表示虚部b） 2.复数的模 定义：|z|=|a+bi|= 几何意义：向量的长度，点Z(a,b)到坐标原点的距离 性质:|z|=||; 拓展：模是实数绝对值从一维数轴到二维平面的推广 小结 3.共轭复数几何意义 几何位置：z与关于实轴对称 4.常见轨迹问题 |z|=r：以原点为圆心，r为半径的圆 |z-z0|=r：以点Z0为圆心，r为半径的圆 1<|z|<2是以原点为圆心,半径 1 和半径 2 的圆之间的圆环(不含两个边界圆) |z-z1|=|z-z2|：线段Z1Z2的垂直平分线 5.特殊位置复数 实数：点在实轴上，b=0 纯虚数：点在虚轴（原点除外），a=0,b≠0 第一象限：a>0,b>0，其余象限同理判断正负 巩固提升 1.复数的几何意义 (1) 在复平面内，复数3-4i，2i+i2对应的点分别是A,B，则线段AB的中点C对应的复数为（ ） A. -2+2i B.2-2i C. -1+i D.1-i 解析：因为2i+i2=-1+2i，所以复数3-4i，2i+i2对应的点分别为A(3,-4)，(B(-1,2)，所以线段AB的中点C的坐标为(1,-1)，则线段AB的中点C对应的复数为1-i. 故选 D. D 巩固提升 1.复数的几何意义 (2) 已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0，则复数z在复平面内对应点的集合是（ ） A. 1 个圆 B. 线段 C. 2 个点 D. 2 个圆 解析：由题意知(|z|-3)(|z|+1)=0，即|z|=3或|z|=-1，因为|z|≥0，所以|z|=3，所以复数z在复平面内对应点的集合是 1 个圆. 故选 A. A 巩固提升 1.复数的几何意义 (3) 设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i（i为虚数单位），则|z2|=______。 解析：因为复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，所以z2=-2+i，所以|z2|==. 巩固提升 1.复数的几何意义 （5）复数z满足|z+3+4i|=2，则|z|的最大值是 ______ . 解析：由题意可知|z - (-3-4i)|=2，即复数 z 在复平面内对应的点与复数-3-4i在复平面内对应的点的距离为2，复数z在复平面内对应的点在复平面内的轨迹为如图所示的圆Q，数形结合可知|z|的最大值在点P处取得，其最大值为 + 2 = 7. 7 规律总结 复数的几何意义及应用 (1) 复数 z、复平面上的点 Z 及向量 相互联系，即z = a + bi (a,b∈R)⇔Z(a,b) ⇔= (a,b). (2) 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，解题时可运用数形结合的方法，使问题更加直观. (3) |z - z0| (z,z0∈C) 的几何意义：设复数 (z, z0) 在复平面内分别对应点 A,B，则 |z - z0| (z,z0∈C)的几何意义是点 A 到点 B 的距离. 巩固提升 2.复数的模 （1）1.已知复数z=3a-2+(a-2)i(a∈R),若z为实数,则|z|=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.5 解析： 因为复数z=3a-2+(a-2)i(a∈R)为实数,所以a-2=0,即a=2,则z=4,所以|z|=4. C 巩固提升 2.复数的模 （2）若复数z的实部等于虚部的2倍,且|z|=2,则复数z=(　　) A.4+2i　　　　 B.4+2i或-4-2i C.2+4i或-2-4i　　　　D.2+4i B x=2y, x2+y2=25, 解析： 设z=x+yi(x,y∈R),依题意得 解得 或 所以z=4+2i或z=-4-2i. x=4, y=2， x=-4, y=-2, 巩固提升 3.共轭复数 (1)已知复数z=3+4i,则z的共轭复数的虚部与实部之差为(　　) A.7　　　　B.-7　　　　C.1　　　　D.-1 (2)设复数z满足=|1-i|+i(i为虚数单位),则复数z=(　　) A.2-i　　　　B.2+i　　　　C.1　　　　D.-1-2i 解析： 因为z=3+4i,所以z=3-4i,其虚部与实部之差为-4-3=-7. B 解析： 因为=|1-i|+i=2+i,所以复数z=2-i A 巩固提升 4.复数与复平面内点的对应关系 (1)在复平面内,复数z对应的点为Z(1,2),则|z|=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 (2)在复平面内,复数z=(a-2)+(1+2a)i对应的点位于第二象限,则实数a的取值范围为(　) A.(-,2)　　　　B.(-∞,-) C.(2,+∞)　　　　D.(-2,) 解析： 由题意可得z=1+2i,所以|z|=|1+2i|==. A 解析： 设复数z=(a-2)+(1+2a)i在复平面内对应的点为Z,则Z(a-2,1+2a). 因为点Z位于第二象限,所以a-2<0且1+2a>0,解得-<a<2. A 巩固提升 5.复数与复平面内向量的对应关系 已知复数1+i与3i在复平面内对应的向量分别为和(其中i是虚数单位,O为坐标原点),则与的夹角为 . 解析：　根据题意得=(1,1),=(0,3), ∴cos<,>===, 又0≤<OA,OB>≤π,∴向量与的夹角为. $