10.1.2 复数的几何意义（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学课件聚焦复数的几何意义，涵盖复平面、复数与点/向量的对应关系、共轭复数及复数的模，通过高斯建立复数几何基础的历史背景导入，搭建从复数代数形式到几何表示的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是以“思考-探究-应用”为主线，通过“思考”引导学生用数学眼光发现复数与有序实数对的对应，例题（如复数对应点在象限、向量模的计算）培养数学思维中的推理能力，知识梳理与小结用数学语言精确表述概念。学生能深化数形结合理解，教师可依托系统例题和训练提升教学效率。

10．1.2　复数的几何意义 1 新课导入 学习目标   德国数学家高斯把复数与平面内的点一一对应起来，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础．复数的几何意义从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础． 1.理解复数表示的几何意义． 2．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． 3．理解共轭复数的概念． 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 4 一　复平面及复数的几何意义 思考　有序实数对和坐标平面上的点一一对应，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？ 提示　复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z＝a＋bi与有序实数对(a，b)是一一对应的，所以复数可以和坐标平面上的点一一对应． 返回导航 [知识梳理] 1．建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为________．在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，因此x轴称为________；y轴上的点除了原点外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，称y轴为________． 2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi对应复平面内的点Z(a，b).如图： 复平面 实轴 虚轴 返回导航 点拨　复数的实部、虚部分别对应了复平面内对应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所对应的点所处的位置，决定了复数实部、虚部的取值特征． 3．复数的几何意义 返回导航 √ 返回导航 √ 返回导航 返回导航 √ 返回导航 －1－2i 返回导航 思考2　复数z1＝3＋4i与复数z2＝3－4i的模有何关系？在复平面内它们对应的点有何关系？ 提示　相等，关于实轴对称． 返回导航 相等 互为相反数 (2)在复平面内，表示两个共轭复数的点关于________对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数． 实轴 返回导航 |z| |a| 返回导航 √ 返回导航 (2)若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为__________． 5 返回导航 复数的模、共轭复数计算技巧 (1)计算复数的模、共轭复数，要去确定复数的实部和虚部． (2)两个共轭复数的模相等；利用定义可将复数模的问题转化为实数问题求解． 返回导航 √ 返回导航 (2)已知0＜a＜2，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是______________． 返回导航 返回导航 因为不等式|z|≥1的解集是圆|z|＝1上和该圆的外部所有的点组成的集合，不等式|z|≤2的解集是圆|z|＝2上和该圆的内部所有的点组成的集合，所以满足条件1≤|z|≤2的点Z的集合是以原点O圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界． 返回导航 解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是|z|表示点Z到原点的距离，可依据|z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决． 返回导航 √ 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 25 √ 返回导航 √ 返回导航 3．已知z∈C，在复平面内z对应的点为Z，Γ为满足2≤|z|<5的点Z的集合所对应的图形，则Γ的面积为________． 解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，因为|z|≥2的解集是以原点O为圆心，2为半径的圆上和圆外部所有点组成的集合，|z|<5的解集是以原点O为圆心，5为半径的圆内部所有点组成的集合，所以Γ是以原点为圆心，2为半径和5为半径的两个圆组成的圆环部分(如图所示)， 故Γ的面积为(52－22)π＝21π. 21π 返回导航 4．若复数z＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)，满足|z|＝3，则a的值为____________． 返回导航 －3＋i 返回导航 返回导航 [知识梳理] 1．共轭复数 (1)定义：一般地，如果两个复数的实部________，而虚部___________，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，因此，当z＝a＋bi(a，b∈R)时，有＝a－bi. $