精品解析：山东省鄄城县2025－2026学年 下学期九年级一模考试数学试题

初中九年级数学学习素养诊断测试 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相反数和倒数的定义，先求出的相反数，再计算所得数的倒数，即可得到答案． 【详解】解：∵符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是， ∵乘积为1的两个数互为倒数，且， ∴的倒数是． 2. 郎窑红釉穿带直口瓶是清康熙年间的文物，属于国家级文物，是故宫博物馆十大镇馆之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，从不同方向看物体的形状，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图、俯视图都相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在物体的正面看到的视图，叫做主视图，由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；由左向右观察物体的视图，叫做左视图．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：结合题干的图形，得郎窑红釉穿带直口瓶的主视图与左视图相同， 故选A． 3. 2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟涌入2870000请求，90后占比达．文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家的理解．”其中2870000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，正确确定的值和的值是解题的关键．根据科学记数法的表示形式即可解答． 【详解】解：． 故选：C． 4. 有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】左边看去是一个正方形，中间有一个圆柱形孔，圆柱的左视图是矩形，所以左视图的正方形里面还要两条虚线． 故选：C． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示． 5. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣2a3）2＝4a6 B. a2•a3＝a6 C. 3a+a2＝3a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个选项中的运算，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确； ∵a2•a3＝a5，故选项B错误； ∵3a+a2不能合并，故选项C错误； ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，掌握以上知识是解题的关键． 6. 如图，线段是的直径，C，D为上两点，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，构造直角三角形，利用已知边的长度结合锐角三角函数的定义求得的度数，最后利用圆周角定理确定的度数即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】考查了圆周角定理的知识，解题的关键是能够作出半径构造直角三角形． 7. 如图，已知直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据三角形外角性质得出，再利用平行线的性质解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8. 某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别是（　　） A. 18，12，12 B. 12，12，12 C. 15，12，14.8 D. 15，10，14.5 【答案】C 【解析】 【分析】利用折线统计图得到50个数据，其中第25个数为12，第26个数是18，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数． 【详解】解：由折线统计图得这组数据的中位数为， 众数为12， 平均数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了数据的集中趋势，理解相关统计量的意义及从折线统计图准确读取数据是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，由正方形的性质可得，，由勾股定理可得，从而得出，证明，得出，即可得解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”． 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的 “永恒点”．点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，构造相似三角形是解题的关键；过点P作轴交直线于点E，过点B作轴交直线于点F，分别过点B、P作直线的垂线，垂足分别为C、Q，则可得，得；求出“永恒点”B及点P的坐标，从而可求得点E、F的坐标，则可求得，即可求得结果． 【详解】解：如图，过点P作轴交直线于点E，过点B作轴交直线于点F， 则； 分别过点B、P作直线的垂线，垂足分别为C、Q， 则，， ∴， ∴， 即； 令，解得：， ∴； 当时，，即； ∴； 而抛物线的对称轴为直线， 当时，，即；当时，，即； ∴； ∴； 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分请把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知设出a=k，b=2k，再把a，b的值代入即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴设a=k，b=2k， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形． 12. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系，求代数式的值，一元二次方程解的定义．解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，． 13. 因式分解：=______． 【答案】2（x+3）（x﹣3） 【解析】 【分析】先提公因式2后，再利用平方差公式分解即可． 【详解】=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）． 故答案为：2（x+3）（x﹣3） 【点睛】考点：因式分解． 14. 如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得________度． 【答案】25 【解析】 【分析】题目主要考查角平分线的作法及垂直平分线的作法，根据题意得出，再由等边对等角得出，结合图形确定，利用角平分线求解即可，熟练掌握两种基本的作图方法是解题关键． 【详解】解：∵，． ∴， 根据作法得：垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， 由作法得：平分， ∴， 故答案为：． 15. 如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展到．则、两点之间的距离为________．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】6.7 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先作辅助线，在中，求出 ，，然后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】过点A作，交的延长线于点D，连接． ∵， ∴． 在中，，，， 解得（m），（m）， ∴（m）． 在中，（m）． 故答案为：6.7． 16. 我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”，则的值为__________． 【答案】386 【解析】 【分析】根据图形可得第n个“三角形数”为，第n个“正方形数”为n2，在小于200的数中确定出m、n的值，即可得答案． 【详解】由图形知第个三角形数为， 第个正方形数为， 当时，， 当时，， 所以最大的三角形数； 当时，，当时，， 所以最大的正方形数， 则， 故答案为386． 【点睛】本题考查图形变化类规律，正确得出变化规律是解题关键． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 18. 解不等式组，并写出所有的整数解． 【答案】，1，2 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为，整数解：1，2． 19. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，，求AB的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）连接OC，利用三角形的外角定理得到：，因为，可证明，因为，进一步可得； （2）分析可得：，再利用同弧所对圆周角相等可知：，利用，，即可求出AB． 【小问1详解】 证明：连接OC， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴CD是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：连接AC，BC， ∵BE是⊙O的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，第（1）问证CD是⊙O的切线，关键是证明；第（2）问的关键是证明，． 20. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：84，84，84，85，85，87，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）七年级所抽学生竞赛成绩中C组对应扇形的圆心角是___________； （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），86，30 （2）126 （3）估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293人 【解析】 【分析】（1）理解题意，分别求出组，B组的数据个数，再运用总数分别减去其他各组数据个数，得出组的数据个数，再列式计算得出；又结合中位数和众数的定义进行分析，即可作答． （2）结合求扇形统计图的圆心角公式列式计算，即可作答． （3）运用样本估计总体公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意得，七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据有（人）， 在组中的数据有（人）， ∵在组中的数据有7人， 在组中的数据有（人）， ， ， 依题意，七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据， 则落在组数据的第3和4个，分别是84，85， 中位数， 依题意，八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是86， ∴众数； 【小问2详解】 解：， 即七年级所抽学生竞赛成绩中C组对应扇形的圆心角是． 【小问3详解】 解：依题意，（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是293人． 21. 如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA． （1）已知△AOB的面积是3，求k的值； （2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值． 【答案】（1）6；（2） 【解析】 【分析】（1）依据△AOB的面积是3，即可得到mn=6，进而得出k的值； （2）延长DC交x轴于E，依据四边形ABED是矩形，即可得到DE=AB=n，CE=n-m，OE=m+n，进而得到C（m+n，n-m），根据点A，C都在双曲线上，即可得到mn=（m+n）（n-m），进而得出的值． 【详解】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B， ∴AB＝n，OB＝m， 又∵△AOB的面积是3， ∴mn＝3， ∴mn＝6， ∵点A在双曲线y＝上， ∴k＝mn＝6； （2）如图，延长DC交x轴于E， 由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°， ∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°， ∵AB⊥x轴， ∴∠ABE＝90°， ∴四边形ABED是矩形， ∴∠DEB＝90°， ∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n， ∴C（m+n，n﹣m）， ∵点A，C都在双曲线上， ∴mn＝（m+n）（n﹣m）， 即m2+mn﹣n2＝0， 方程两边同时除以n2，得 +﹣1＝0， 解得＝， ∵n＞m＞0， ∴＝． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题时注意：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变． 22. 2021年2月20日，长沙市奋力实施“三高四新”战略全面推进高质量发展大会圆满召开．推进农业农村现代化是实施“三高四新”战略、建设现代化新湖南的重要基础．为积极响应响应党的政策，某科技公司为助力“数字农场”建设，计划对农场进行返利销售．返利前，销售1台A型设备、1台B型设备共获利万元，销售2台A型设备、3台B型设备共获利万元． （1）返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利多少万元？ （2）农场计划添置A、B型设备共10台，科技公司对此制定返利政策：A型设备销售方式不变，B型设备每台返利a万元．在返利政策下，科技公司发现销售获利与A型设备销售量无关，求a的值．（说明：科技公司销售获利A型设备所获利润B型设备所获利润．） 【答案】（1）返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利万元 （2）a的值为 【解析】 【分析】（1）设返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利x，y万元，根据销售1台A型设备、1台B型设备共获利万元，销售2台A型设备、3台B型设备共获利万元列出方程组求解即可； （2）设A型设备销售m台，则B型设备销售台，获利为万元，然后根据科技公司销售获利A型设备所获利润B型设备所获利润列出w关于m的代数式，再根据获利与A型设备销售量无关进行求解即可． 【小问1详解】 解：设返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利x，y万元 依题意得：， 解得：． 答：返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利万元． 【小问2详解】 解：设A型设备销售m台，则B型设备销售台，获利为万元， 依题意得：， ∵科技公司发现销售获利与A型设备销售量无关， ∴，即， ∴a的值为． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，多项式乘法中的无关型问题，正确理解题意列出对应的方程和式子是解题的关键． 23. 定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． （1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； （3）关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 【答案】（1）存在， （2）见解析 （3）n的取值范围为且 【解析】 【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可； （2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明． （3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可． 【小问1详解】 解：函数的图象上存在点的“级变换点” 根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为， 把点代入中， 得，解得． 【小问2详解】 证明：点为点的“级变换点”， 点的坐标为． 直线，的解析式分别为和． 当时，． ， ． ， ． ． 【小问3详解】 解：由题意得，二次函数的图象上的点的 “1级变换点”都在函数的图象上． 由，整理得． ， 函数的图象与直线必有公共点． 由得该公共点为． ①当时，由得． 又得， 且． ②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去． 综上，n的取值范围为且． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键． 24. “联想”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关“联想”就有很多 【问题提出】 （1）如图1，是的角平分线，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考． 思路1：联想“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形相似”． 思路2：联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”． 【理解应用】 （2）如图2，在中，，，，平分交于，求的长． 【深度思考】 （3）如图3，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点，连接，当时，求的长． 【拓展升华】 （4）如图4，是的角平分线，若，，请直接写出的面积最大值． 【答案】（1）详见解析 （2） （3）6 （4） 【解析】 【分析】（1）选择思路1：过点作，交的延长线于点，证明，列出比例式，根据角平分线的定义即可得证；选择思路2：过点分别作交于点，作交于点，作于点F，根据角平分线的性质及三角形的面积公式，即可得证； （2）由勾股定理得，由平分交于得，代入数据计算可得； （3）利用（1）的结论得出的长度，再根据已知条件证明，由相似三角形的性质得出的长度即可； （4）作的外角平分线，交的延长线于F，在的延长线上截取，易得，由（1）结论可得，由等量代换可得，利用（1）中的结论得到，求得的半径为，当A运动到点，时，的面积最大，计算即可．． 【详解】解：（1）证明：选择思路1： 如图，过点交的延长线于点D， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； 选择思路2：如图，过点分别作交于点，作交于点，作于点F， ∵是的角平分线， ∴， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）在中，，， ∴， ∵平分交于， ∴， ∴， 解得，； （3）∵为的角平分线， ∴，， ∵中，， ∴， ∴， ∵的垂直平分线交延长线于F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴AF=6， 故答案为：6． （4）如图，在的延长线上截取，作的外角平分线，交的延长线于F， ∵，， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点A在以半径为的上， 如图，当A运动到点，时， 的面积最大，最大值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线、中垂线、等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中九年级数学学习素养诊断测试 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 的相反数的倒数是（ ） A. B. C. D. 5 2. 郎窑红釉穿带直口瓶是清康熙年间的文物，属于国家级文物，是故宫博物馆十大镇馆之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，从不同方向看物体的形状，下列说法正确的是（ ） A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同 C. 左视图与俯视图相同 D. 主视图、左视图、俯视图都相同 3. 2025年春节期间，北京天安门广场观看升旗仪式预约系统开放1分钟涌入2870000请求，90后占比达．文旅部专家分析：“Z世代正用数字时代的仪式感，重构对国家的理解．”其中2870000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣2a3）2＝4a6 B. a2•a3＝a6 C. 3a+a2＝3a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 6. 如图，线段是的直径，C，D为上两点，如果，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别是（　　） A. 18，12，12 B. 12，12，12 C. 15，12，14.8 D. 15，10，14.5 9. 如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作的垂线交对角线于点，垂足为，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”． 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的 “永恒点”．点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分请把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 若，则的值为__________． 12. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 13. 因式分解：=______． 14. 如图，在中，，．小明按以下操作进行尺规作图：以为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、点，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点；分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、点，作直线交于，交于，连接．可以求得________度． 15. 如图是“神舟十四号”载人航天飞船搭载的机械臂，可以在天宫空间站外进行维修作业．如图是处于工作状态的机械臂示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，工作时，机械壁伸展到．则、两点之间的距离为________．（结果精确到，参考数据：，，，） 16. 我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如1，3，6，10…）和“正方形数”（如1，4，9，16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为，最大的“正方形数”，则的值为__________． 三、解答题（本题共72分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内） 17. 计算：． 18. 解不等式组，并写出所有的整数解． 19. 如图，AB是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D，连接BO并延长，与⊙O交于点E，连接EC，． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若，，求AB的长． 20. 学校开展了航天知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：84，84，84，85，85，87，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：62，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___________，___________，___________； （2）七年级所抽学生竞赛成绩中C组对应扇形的圆心角是___________； （3）该校七年级有学生560人，八年级有学生500人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 21. 如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA． （1）已知△AOB的面积是3，求k的值； （2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值． 22. 2021年2月20日，长沙市奋力实施“三高四新”战略全面推进高质量发展大会圆满召开．推进农业农村现代化是实施“三高四新”战略、建设现代化新湖南的重要基础．为积极响应响应党的政策，某科技公司为助力“数字农场”建设，计划对农场进行返利销售．返利前，销售1台A型设备、1台B型设备共获利万元，销售2台A型设备、3台B型设备共获利万元． （1）返利前，每台A型设备和每台B型设备各获利多少万元？ （2）农场计划添置A、B型设备共10台，科技公司对此制定返利政策：A型设备销售方式不变，B型设备每台返利a万元．在返利政策下，科技公司发现销售获利与A型设备销售量无关，求a的值．（说明：科技公司销售获利A型设备所获利润B型设备所获利润．） 23. 定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”． （1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由； （2）点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：； （3）关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围． 24. “联想”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关“联想”就有很多 【问题提出】 （1）如图1，是的角平分线，求证：． 请写出完整的证明过程，以下解决问题思路仅供参考． 思路1：联想“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形相似”． 思路2：联想 “角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作交于点，作交于点，利用“等面积法”． 【理解应用】 （2）如图2，在中，，，，平分交于，求的长． 【深度思考】 （3）如图3，中，，，为的角平分线．的垂直平分线交延长线于点，连接，当时，求的长． 【拓展升华】 （4）如图4，是的角平分线，若，，请直接写出的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $