精品解析：山东临沂市莒南县2025—2026学年度下学期阶段性素养作业 九年级数学试题

2025-2026学年度下学期阶段性素养作业九年级数学试题 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，、、是上的点，是圆的直径，，在延长线上取一点，使，连接，则为（ ） A. B. C. D. 6. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 下列不等式的变形不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，则 8. 如图在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称，过点D作的垂线交延长线于点E．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 10. “不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是（ ） ①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为； ②； ③点到的距离为； ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_______． 12. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 13. 北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为______． 14. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为___． 15. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解答： （1）解不等式组：； （2）化简：． 17. 2024年3月23日是第64个世界气象日，今年世界气象日的主题是“气候行动最前线”．学校借此机会举行气象知识竞赛，要求每班选派10名同学参加（满分10分，成绩为整数），比赛结束后，竞赛组委会将八年级甲、乙两班参赛同学的成绩汇总并绘制成下面的条形统计图． （1）两个班的成绩分析如表： 班级 平均分 中位数 方差 甲班 6.7 b 3.41 乙班 a 7.5 1.69 填空： ， ． （2）参赛同学小婷说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小婷是 班的学生（填“甲”或“乙”）； （3）你认为甲乙两班哪个班成绩更好？请结合上表中的两种统计量说明理由． 18. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 19. 数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 20. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求一次函数的解析式； （2）若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 21. 如图，在中，，与相切于点A，且经过边的中点D，连接并延长交于点E． （1）求证：． （2）若，求的半径． 22. 解答： （1）如图1，在与中，，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点；若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，求的面积． 23. 已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期阶段性素养作业九年级数学试题 第I卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． 2. 笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是寓意“规矩方圆”的一方砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了俯视图的概念，理解俯视图的概念是解题的关键． 根据俯视图是从物体的上面看得到的图形即可解答． 【详解】解：由题意可得，从物体上面看到的图形如下： 故选：C． 3. 如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴ ． 4. 古人云“车马很慢，书信很远”，曾几何时，春运“一票难求”是无数人的共同记忆，而如今，发达的铁路网让“千里归乡一日还”成为现实．2026年春运，铁路客运量约5.4亿人次，峰值刷新了历史纪录．数据“5.4亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 5. 如图，、、是上的点，是圆的直径，，在延长线上取一点，使，连接，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可解答． 【详解】解：是圆的直径， ， ∵， ∴ ， ， ∴． 6. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案即可． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故选：D． 7. 下列不等式的变形不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行分析即可． 【详解】解：A、若，则，正确，故此选项不符合题意； B、若，且时，则，故该选项不正确，符合题意； C、若，当时，则，正确，故此选项不符合题意； D、若，由题分析得，不等式两边同时除以正数，则，原变形正确，故此选项不符合题意． 故选：B． 8. 如图在四边形中，，对角线与相交于点O．点B，点D关于所在直线对称，过点D作的垂线交延长线于点E．若，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据对称的性质和可推得，从而得四边形为平行四边形，根据对称的性质得，则平行四边形为菱形，根据菱形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】解：∵ 点B，点D关于所在直线对称， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， ∴， 则四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， ， 则， 在中，， 在中，， 则， 在中，． 9. 已知点，在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出的值，再根据时反比例函数图象的象限分布与增减性，确定的取值范围． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象分布在第二、四象限，且每个象限内，随的增大而增大， 点在反比例函数图象上， 代入得 ， ，即 ， 点在第二象限， ， 第二象限内随增大而增大，， ， 综上，的取值范围是． 10. “不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是（ ） ①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为； ②； ③点到的距离为； ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①设圆心为O，连接，，根据切线的性质求出的度数，再根据圆周角定理可得出的度数，则可判断正误；②先证得平分，则有，再根据锐角三角函数解直角三角形即可求得的长度；③利用垂径定理求得点O到的距离，取的中点Q，的中点为M，点到的距离为，计算出长度即可；④分别求出圆锥底面半径，圆锥的母线长，圆锥底面周长，再根据弧长公式求展开图扇形的圆心角即可判断． 【详解】解：①如图1，设圆心为O，连接，，，，， 由切线性质，得，， 在四边形中，，， ∴圆心角． 由图可知点一直在优弧上， ∴，故①正确； ②∵，，， ∴平分， ∴， 在中，，则， 同理，． ∴，故②正确； ③如图2，取的中点Q，的中点为M， ∵，， ∴， 正方形边长为，底部居中放置，其中心在对称轴上，则点都在对称轴上， ∴点P到的距离即的长度， ∵， ∴． ∴，故③错误； ④如图3， 圆锥的母线长， 设圆锥底面圆心为，且在上， 在直角三角形中，． ∴圆锥底面周长， 根据弧长公式，， ∴展开图是圆心角为的扇形，故④正确． 综上所述，所有正确结论的序号是①②④． 第Ⅱ卷（选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 13. 北宋时期的《营造法式》是中国古代第一部详细论述建筑工程技术及规范的官方著作，书中涉及了正多边形的使用和组合，这些内容可以被视作密铺设计的早期实践．小明同学利用2个正方形和4个形状大小完全一样的菱形设计了如图所示的图案，则图中的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的性质，如解图，根据题意，易得，，，等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系求出即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为： 14. 如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据折叠的性质以及已知条件得出四边形是正方形，进而得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ 又∵， ∴， 在中， ∴ ∵折叠， ∴ ∴， 在中， ∴在中，． 15. 随着科技的发展，部分快递送货被无人驾驶快递车替代．一辆无人驾驶快递车从公司出发，到达甲快递点卸完包裹后，立即前往乙快递点，卸完包裹后，快递车按原路返回公司．已知公司和甲、乙两个快递点依次在同一条直线上，且在每个快递点卸包裹的时间相同，快递车离公司的路程s（米）与时间t（）的函数关系如图所示，根据图象可知，快递车在每个快递点卸包裹的时间为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息，解题关键是读懂函数图象． 根据函数图象求解． 【详解】解：由题意可知，快递车行驶米所需时间为（）， 所以快递车行驶的总时间为（）， 所以快递车在每个驿站卸包裹的时间为：（）， 故答案为：4． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解答： （1）解不等式组：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】（1）解不等式组： 解：由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． （2）解： 17. 2024年3月23日是第64个世界气象日，今年世界气象日的主题是“气候行动最前线”．学校借此机会举行气象知识竞赛，要求每班选派10名同学参加（满分10分，成绩为整数），比赛结束后，竞赛组委会将八年级甲、乙两班参赛同学的成绩汇总并绘制成下面的条形统计图． （1）两个班的成绩分析如表： 班级 平均分 中位数 方差 甲班 6.7 b 3.41 乙班 a 7.5 1.69 填空： ， ． （2）参赛同学小婷说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游略偏上！”观察上表可知，小婷是 班的学生（填“甲”或“乙”）； （3）你认为甲乙两班哪个班成绩更好？请结合上表中的两种统计量说明理由． 【答案】（1）7.1，6 （2）甲 （3）乙班的成绩更好，见解析 【解析】 【分析】本题考查平均分、中位数、众数、方差、合格率的概念，正确掌握这些概念是解题的关键． （1）根据中位数是定义即可求得． （2）求出中位数即可判断，小明的成绩大于中位数． （3）根据方差即可判断． （4）可以从五个方面（平均分、中位数、众数、方差、合格率）回答． 【小问1详解】 解：乙组的成绩为：5，5，6，7，7，8，8，8，8，9． 乙组平均数为 甲组的成绩为：3，6，6，6，6，6，7，8，9，10． 甲组中位数为6， 故答案分别为7.1，6； 【小问2详解】 解：小婷的成绩为7分属中游略偏上，甲组的中位数是6， 小婷在甲组． 故答案为甲． 【小问3详解】 解：因为从平均分、中位数、众数看，乙班成绩大于甲班，从方差看乙班小于甲班， 所以乙的成绩比较好． 18. 如图，在中，D是中点． （1）求作：的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若l交于点E，连接并延长至点F，使，连接．补全图形，并证明四边形是平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，中位线的性质，平行四边形的判定． （1）利用尺规作图作出线段的垂直平分线l即可； （2）由D，E分别为，的中点，根据中位线的性质，得到，，结合，得到，即可证明结论成立． 【小问1详解】 解：直线l如图所示， ； 【小问2详解】 证明：补全图形，如图， 由（1）作图知，E为的中点， ∵D，E分别为，的中点， ∴，， ∵，即：， ∴， ∵， ∴ 四边形是平行四边形． 19. 数学综合实践活动中，两个兴趣小组要合作测量楼房高度．如图，第一小组用无人机在离地面40米高的点D处，测得地面上一点A的俯角为45度，测得楼顶C处的俯角为30度（点A，B，C，D都在同一平面内，无人机在点A和楼房之间的点D处测量）；第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离米．请根据提供的数据，求出楼房高度．（结果精确到1米，参考数据：）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，过点作于点，可得四边形为矩形，在中，，则，解，可得，再由即可求解． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 由题意得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 答：楼房高度约为． 20. 如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． （1）求一次函数的解析式； （2）若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，结合等腰三角形的性质确定点的坐标，再利用函数交点关系求解参数． （1）利用一次函数图象经过的两点、，代入列方程组，求解、得到一次函数解析式； （2）先根据轴求出点的坐标，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，确定点的纵坐标，将点代入一次函数求出其横坐标，最后代入反比例函数解析式求出的值． 【小问1详解】 解：一次函数的图象过两点 ， ． 【小问2详解】 解：如图，过点C作，垂足为E， ， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 21. 如图，在中，，与相切于点A，且经过边的中点D，连接并延长交于点E． （1）求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由⊙与相切得，结合得，由得，推得，故； （2）由得，结合、得，故；作得，由可得的长度． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 与相切于点， ， ． ， ． ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ． 又，， ， 边的中点D， ， 如图，过点作于点， 则， ，， ， ， ， 即的半径为． 【点睛】本题以圆的切线为背景，综合运用切线性质、等边对等角与三角函数求解，通过角度转化证明垂直，结合垂径定理求半径，体现了数形结合与转化化归的核心思想． 22. 解答： （1）如图1，在与中，，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点；若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可； （2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得即可． 【小问1详解】 证明：， ，即， ，， ； 【小问2详解】 解：∵，即， ∴，，， 作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 【小问3详解】 解：设， 由旋转的性质得，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 已知二次函数（a为常数）． （1）当时，求该二次函数图象的顶点坐标； （2）与轴平行的直线交该二次函数图象于，两点，且点的横坐标为，求线段的长； （3）若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，则有，解得， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； 【小问3详解】 解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， 当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $