精品解析： 山东省菏泽市鄄城县2024－2025学年 下学期九年级一模考试数学试题

2024～2025学年度第二学期阶段性质量检测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置．） 1. 方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】解：方程变形得：x2-3x=0， 分解因式得：x（x-3）=0， 可得x=0或x-3=0， 解得：x1=3，x2=0． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断每个选项． 【详解】解：选项A的图形不是轴对称图形，是中心对称图形，所以选项A不符合题意； 选项B的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，所以选项B符合题意； 选项C的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以选项C不符合题意； 选项D的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以选项D不符合题意． 故选：B． 3. 使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A. x≥4 B. x＞4 C. x≤4 D. x＜4 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：使得式子有意义，则：4﹣x＞0， 解得：x＜4 即x的取值范围是：x＜4 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键． 4. 点在轴上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，掌握x轴上点的坐标特点，纵坐标为零是解题关键．直接利用x轴上点的坐标特点得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点在x轴上，且， ∴，且， 解得：， 则， 则点P的坐标为． 故选：C． 5. 已知为正方形内的一点，，则到4个顶点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形三边关系，先分析点P不在正方形的对角线的交点上时，得出，当P在O点时，则，再根据勾股定理计算，即可作答． 【详解】解：如图：交于点O，当P不在O点时 则 当P在O点时，如图 则 则到4个顶点距离之和的最小值为 ∵四边形是正方形 ∴ ∴到4个顶点距离之和的最小值为 故选：B 6. 已知实数，，满足，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意得到，，则根据不等式的性质可得，，，进而得到，根据现有条件无法证明，据此可得答案． 【详解】解：∵实数，，满足，且， ∴，， ∴，，， ∴，即， 根据现有条件无法证明， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 7. 若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，根据概念列比例式即可求解． 【详解】解：∵线段，C是的黄金分割点，且， ∴根据黄金分割的概念得：， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查黄金分割的含义，解题关键是理解黄金分割的概念，熟悉黄金比的值． 8. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 9. 研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． 阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体（如图）．因为在平面中，，与相交于点，所以直线与所成的就是既不相交也不平行的两条直线与所成的角． 解决问题 如图，已知正方体，则既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、平行线的性质，读懂题意是解题的关键．连接，则为等边三角形，即可求得既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小． 【详解】解：连接， ∵，与相交与点， 根据正方体性质可得：， ∴为等边三角形， ∴， 即既不相交也不平行的两条直线与所成角为． 故选：C． 10. 如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用中位线、菱形、矩形的性质可知，每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，由此可解． 【详解】解：如图，连接AC，BD，，． ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴，，． ∵ ，，，分别是矩形四个边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵ ，， ∴四边形的面积为：． 同理，由中位线的性质可知， ，， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为：． ∴每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半， ∴四边形的面积是． 故选:A． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的性质以及中位线的性质，证明四边形是菱形，四边形是矩形是解题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 12. 如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】设AT与圆O相交于点C，连接BC，根据切线的性质得到AB⊥TB，因为∠ATB＝45°，得到∠TAB＝45°＝∠ATB，根据等腰直角三角形的性质得到AB＝TB＝2，根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，推出∠CAB＝∠CBA＝45°＝∠ATB，AC＝BC＝TC，点C是弧ACB的中点，则S阴影＝S△TCB，即可求解. 【详解】解：如图：设AT与圆O相交于点C，连接BC ∵BT是⊙O的切线 ∴AB⊥TB， 又∵∠ATB＝45° ∴∠TAB＝45°＝∠ATB ∴AB＝TB＝2 ∵AB是直径 ∴∠ACB＝90° ∴∠CAB＝∠CBA＝45°＝∠ATB ∴AC＝BC＝TC ∴点C是的中点 ∴S阴影＝S△TCB ∴S阴影＝S△ABT 故答案为1 【点睛】考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，比较基础，难度不大. 13. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用．首先利用图标得出一组对称点，然后利用二次函数对称轴与顶点（最值）得出即可． 【详解】解：由，可知抛物线的对称轴为直线， 故当时，植物生长的温度最快． 故答案为：． 14. 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线______． 【答案】x=-1． 【解析】 【详解】试题分析：因为点（-4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可． 试题解析：∵抛物线与x轴的交点为（-4，0），（2，0）， ∴两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线x=，即x=-1． 考点：抛物线与x轴的交点． 15. 如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD=___cm． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵OC是⊙O的半径且OC⊥AB，垂足为D， ∴OA=OC=10cm，AD=AB=×12=6cm， ∵在Rt△AOD中，OA=10cm，AD=6cm， ∴OD=cm， ∴CD=OC﹣OD=10﹣8=2cm． 故答案为2． 三、解答题（本题共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x满足． 【答案】（1）0；（2）， 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式化简求值． （1）先进行乘方、去绝对值、零次幂、负指数幂运算，特殊角三角函数运算，再进行加减运算，即可求解； （2）先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后进行整体代换计算，即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵x满足， ∴， ∴原式． 17. 如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形分割成的小正方形网格．在该矩形边上取点，来表示的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题： （答题卷用） 作法（如图） 结论 ①在上取点，使． ，点表示． ②以为圆心，8为半径作弧，与交于点． ，点表示． ③分别以为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点，连结与相交于点． … ④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点． … （1）分别求点表示的度数． （2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点，使该点表示（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）点表示；点表示 （2） 如图2，点即为所求作的点． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可求出度数，根据线段垂直平分线的性质度数，即可求出的度数，从而知道点表示度数；利用半径相等即可求出，再根据平行线的性质即可求出以及对应的度数，从而知道点表示度数． （2）利用角平分线的性质作图即可求出答案． 【小问1详解】 解：①四边形是矩形， ． 由作图可知，是的中垂线， ． ． ． 点表示． ②由作图可知，． ． 又， ． ． ∴点表示． 故答案为：点表示，点表示． 【小问2详解】 解：如图所示， 作的角平分线等．如图2，点即为所求作的点． ∵点表示，点表示． ． ∴表示． 【点睛】本题考查的是尺规作图的应用，涉及到的知识点有线段垂直平分线、角平分线性质、圆的相关性质，解题的关键需要正确理解题意，清楚知道用到的相关知识点． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为． （1）若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，等腰三角形的性质； （1）根据已知求出与点坐标，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式； （2）表示出相应的平移后与坐标，将之代入反比例函数表达式即可求解． 【小问1详解】 过作于， ，，点． ，， ， ∵， ∴ ， 若反比例函数的图象经过点，则，解得，， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 点， 将向下平移个单位长度， ， 两点同时落在反比例函数图象上， ， ． 19. 中国是世界上拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，为增强学生的文化自信，某校组织了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动．其中有一项为围绕中国非物质文化遗产展开的知识竞赛．为了解全校学生知识竞赛成绩的分布情况，数学组的学生们进行了抽样调查，过程如下： 收集数据： 随机抽取50名学生的知识竞赛成绩（单位：分）如下： 10 9 9 6 8 9 6 9 7 9 6 7 8 9 10 10 8 6 8 6 8 7 7 10 9 7 8 6 10 7 9 10 9 10 7 10 6 8 7 8 9 9 10 8 8 6 7 8 9 10 整理分析： 数学组的学生们整理了这组数据，并绘制成了如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）将条形统计图和扇形统计图补充完整； （2）这50名学生知识竞赛成绩的众数和中位数分别是多少； 数据运用： 请根据上述信息，解答下列问题： （3）若该校共有1200名学生，估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数； （4）学生们通过调查了解到，截至2023年12月，中国入选联合国教科文组织非物质文化遗产名册（名录）项目共计43项，学校想从中医针灸、中国皮影戏、中国剪纸、中国篆刻4个项目中随机选出2个项目聘请专业人士重点给学生讲解．请用列表或画树状图的方法，求所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率． 【答案】（1）补全条形统计图和扇形统计图如下： （2）众数是9分，中位数是8分； （3）240名；（4） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是： （1）先用计算出成绩为7分人数和成绩为8的人数所占的百分比，然后补全条形统计图和扇形统计图； （2）根据众数和中位数的求法计算即可； （3）用1200乘以样本中成绩达到“10分”的学生对应百分比即可； （4）画树状图（用、、、分别表示中医针灸、中国皮影戏、中国剪纸、中国篆刻）展示所有12种等可能的结果，再找出选中“中医针灸”和“中国剪纸”的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：（1）， ； （2）众数是9分，中位数是8分； （3）（名）， 答：估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数为240名； （4）画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能得情况，其中所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的情况有2种， ∴所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率为． 20. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而根据等腰三角形的性质可得，即得，即可求证； （）如图，过作于，可得，，即得，最后根据解答即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作于， ∵，， ∴，， ∵于， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，不规则图形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． （1）【初步应用】如图2，有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，若，证明：； （2）【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，则为多少度？ 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，进而得到，求出，从而得证； （2）过点作，根据平行线的传递性可得，根据平行线的性质及三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作， ∵，， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴为． 【点睛】本题考查平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 22. 阅读理解： 如图1，在中，，，，的对边分别为，，（注：）． ，，，．． ，． 拓展探究： 如图2，在锐角中，，，的对边分别为，，．思考特例中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解决问题： 如图3，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用前面的结论，求点到点的距离（不取近似值）． 【答案】拓展探究：结论仍然成立． 理由如下：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， 在中，， 在中，， ，， ， ， 同理可得：， ； 解决问题： 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 拓展研究：仍然成立，理由：过点作于点，过点作于点，先根据正弦的定义可得，，从而可得，同样的方法可得，由此即可得； 解决问题：先根据三角形的内角和定理可得，再根据拓展研究的结论求解即可得． 【详解】解：拓展探究：略 解决问题：在中，， ，， ， ， 答：点到点的距离为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）求点的坐标（用含的式子表示）． （2）当的纵坐标为3时，求的值； （3）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请结合函数图象求出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键． （1）令，求出点A坐标根据平移得出结论； （2）将的纵坐标为3代入求出即可； （3）由对称轴为直线得出，当时，解得，，结合图象得出结论； 【小问1详解】 解：在（）中，令，则， ， 将点A向右平移2个单位长度，得到点，则． 【小问2详解】 的纵坐标为3， ， ． 【小问3详解】 由题意得：抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， 解得，， 当时，结合函数图像可得，抛物线与恰有一个公共点， 综上所述，的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第二学期阶段性质量检测 九年级数学试题 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置．） 1. 方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 3. 使得式子有意义的x的取值范围是（　　） A. x≥4 B. x＞4 C. x≤4 D. x＜4 4. 点在轴上，且，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为正方形内的一点，，则到4个顶点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 已知实数，，满足，且，则下列错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 若线段，C是的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 9. 研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题． 阅读材料 立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角． 例如，正方体（如图）．因为在平面中，，与相交于点，所以直线与所成的就是既不相交也不平行的两条直线与所成的角． 解决问题 如图，已知正方体，则既不相交也不平行的两条直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知矩形ABCD的边长分别为a，b，进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，得到四边形；第二次，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形；…如此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 12. 如图，AB是⊙O的直径，BT是⊙O的切线，若∠ATB＝45°，AB＝2，则阴影部分的面积是_____． 13. 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温度，将这种植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物高度的增长情况，部分数据如下表：科学家经过猜想、推测出l与t之间是二次函数关系．由此可以推测最适合这种植物生长的温度为__________． 温度t/ 0 1 4 植物高度增长量 41 49 49 46 25 14. 已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是(-4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线______． 15. 如图，点A，B，C在圆O上，OC⊥AB，垂足为D，若⊙O的半径是10cm，AB=12cm，则CD=___cm． 三、解答题（本题共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内．） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中x满足． 17. 如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形分割成的小正方形网格．在该矩形边上取点，来表示的度数．阅读以下作图过程，并回答下列问题： （答题卷用） 作法（如图） 结论 ①在上取点，使． ，点表示． ②以为圆心，8为半径作弧，与交于点． ，点表示． ③分别以为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点，连结与相交于点． … ④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点． … （1）分别求点表示的度数． （2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点，使该点表示（保留作图痕迹，不写作法）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和都在第一象限内，轴，且，点的坐标为． （1）若反比例函数的图象经过点，求此反比例函数的解析式； （2）若将向下平移个单位长度，两点的对应点恰好同时落在反比例函数图象上，求的值． 19. 中国是世界上拥有世界级非物质文化遗产数量最多的国家，为增强学生的文化自信，某校组织了“弘扬中国文化，增强文化自信”的主题活动．其中有一项为围绕中国非物质文化遗产展开的知识竞赛．为了解全校学生知识竞赛成绩的分布情况，数学组的学生们进行了抽样调查，过程如下： 收集数据： 随机抽取50名学生的知识竞赛成绩（单位：分）如下： 10 9 9 6 8 9 6 9 7 9 6 7 8 9 10 10 8 6 8 6 8 7 7 10 9 7 8 6 10 7 9 10 9 10 7 10 6 8 7 8 9 9 10 8 8 6 7 8 9 10 整理分析： 数学组的学生们整理了这组数据，并绘制成了如下两幅不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）将条形统计图和扇形统计图补充完整； （2）这50名学生知识竞赛成绩的众数和中位数分别是多少； 数据运用： 请根据上述信息，解答下列问题： （3）若该校共有1200名学生，估计知识竞赛成绩能达到“10分”的学生人数； （4）学生们通过调查了解到，截至2023年12月，中国入选联合国教科文组织非物质文化遗产名册（名录）项目共计43项，学校想从中医针灸、中国皮影戏、中国剪纸、中国篆刻4个项目中随机选出2个项目聘请专业人士重点给学生讲解．请用列表或画树状图的方法，求所选项目恰好是“中医针灸”和“中国剪纸”的概率． 20. 如图，是的直径，为上一点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为，求圆中阴影部分的面积． 21. 【学习新知】射到平面镜上的光线（入射光线）和反射后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则． （1）【初步应用】如图2，有两块平面镜，，入射光线经过两次反射，得到反射光线，若，证明：； （2）【拓展探究】如图3，有三块平面镜，，，入射光线经过三次反射，得到反射光线，已知，，若要使，则为多少度？ 22. 阅读理解： 如图1，在中，，，，的对边分别为，，（注：）． ，，，．． ，． 拓展探究： 如图2，在锐角中，，，的对边分别为，，．思考特例中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解决问题： 如图3，为测量点到河对岸点的距离，选取与点在河岸同一侧的点，测得，，．请用前面的结论，求点到点的距离（不取近似值）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点，点在抛物线上． （1）求点的坐标（用含的式子表示）． （2）当的纵坐标为3时，求的值； （3）已知点，，若抛物线与线段恰有一个公共点，请结合函数图象求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $