精品解析：新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中练习数学试题

巴楚县第一中学2025-2026学年第二学期 高一年级期中练习 数学学科 时间：120分钟 一、单选题（本题共计8小题，每题5分，共计40分） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 2. 半径为2的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据球的表面积公式即可求解 . 【详解】由球的表面积公式可得半径为2的球的表面积. 故选：D 3. 设为虚数单位，已知，则的虚部为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以的虚部为. 4. 的内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，由正弦定理得. 故选：C 5. 已知向量，若，则的值为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系求出，再结合向量的坐标运算和模长公式求解. 【详解】由，可得，解得， ， ，则. 故选：D. 6. 设为虚数单位，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数后，得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】,. 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A. 7. 已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（ ） A. 60° B. 90° C. 150° D. 120° 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理计算直接得出结果. 【详解】由， 得， 即， 所以， 又，所以. 故选：A 8. 亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的长度，再利用圆台侧面积公式进行求解. 【详解】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为， 因为，，所以，， ，，. 故选：D. 二、多选题（本题共计3小题，每题6分，共计18分） 9. 用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是（ ） A. 六边形 B. 五边形 C. 直角三角形 D. 矩形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意分别用一个平面去截正方体，可对A、B、D判断求解；截面为，假设为直角三角形，可通过计算证明假设不成立，即可对C判断. 【详解】A：如图，用一个平面去截正方体，截面为六边形，故A正确； B：如图，用一个平面去截正方体，截面为五边形，故B正确； C：如图，截面为，点O为正方体的顶点，在三棱锥中，，，两两垂直， 若为直角三角形，不妨令，则， 因，，，化简得，故矛盾， 则不为直角三角形，故C错误； D：如图，用一个平面去截正方体，截面为矩形，故D正确； 故答案为：ABD. 10. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的共轭复数是 C. D. 复数在复平面上的对应点位于第二象限 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用复数的几何意义结合复数的加法求出后可判断其正误；对于B，求出的共轭复数后可判断其正误；对于C，利用复数乘法和减法运算规则求解运算结果后可判断其正误；对于D，利用复数的乘法运算规则求出结果后结合复数的几何意义判断其正误. 【详解】对于A，由题意得，故A错误； 对于B，，其共轭复数为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 在复平面上的对应点的坐标为，该点在第四象限，故D错误， 故选：BC. 11. 在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的外接圆的面积为 B. 若，，，则有两解 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为锐角三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据条件，利用正弦定理，可得，即可求解；对B，根据条件，数形结合，即可求解；对C，根据条件，利用余弦定理得，即可求解；对D，利用，得到，，进而可得，再利用余弦定理，即可求解. 【详解】对于选项A，由正弦定理（其中是外接圆的半径）， 得到，所以，则的外接圆的面积为，所以A正确， 对于选项B，如图，，，过作于， 则，所以在射线上不存在， 使，，，即无解，所以B错误， 对于选项C，因为，由余弦定理得， 又，所以，故是钝角三角形，所以C错误， 对于选项D，因为，则，且， 所以，则， 所以，得到，即， 由余弦定理得，又，所以，故是锐角三角形，所以D正确， 故选：AD. 三、填空题（本题共计3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知复数，若（为虚数单位），则_______． 【答案】 【解析】 【详解】由可得： ， 所以. 13. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则即可求解． 【详解】根据斜二测画法可知，原来的平行四边形为一个矩形，且该矩形的宽为2，长为4， 故原来的平行四边形的面积为， 故答案为：8． 14. 在中，角的对边分别为，且，则的面积为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理可得，结合余弦定理可得或，代入面积公式即可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 且，则，可得，即， 且，可知， 由余弦定理可得， 即，解得或， 所以的面积为 或. 故答案为：或. 四、解答题（本题共计5小题，共计77分） 15. 已知是虚数单位，复数，m为实数． （1）当实数m满足什么条件时，为纯虚数 （2）若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 【答案】（1）-1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义进行求解即可；（2）利用复数的几何意义，根据对应的点位于实轴负半轴进行求解即可. 【小问1详解】 根据纯虚数的定义，，解得； 【小问2详解】 利用复数的几何意义，复数坐标为，根据对应的点位于实轴负半轴，，解得，则 16. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方的方法来求得正确答案. （2）根据向量平行列方程来求得. 【小问1详解】 ， 所以. 【小问2详解】 由于向量与平行， 所以存在实数，使得， 所以，解得. 17. 在中，已知，，． （1）求； （2）如为的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角； （2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解. 【小问1详解】 因为，且，， 根据正弦定理可得， 解得； 又 ，且， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由可得. 因为D为AC的中点，所以， 在中， 由余弦定理可得， 则， 从而. 18. 如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2． （1）求挖掉的正三棱柱的体积； （2）求该几何体的表面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由三棱柱的体积公式计算即可； （2）根据几何图形性质解得圆锥底面圆半径和圆锥高，利用圆锥表面积、矩形的面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为正三棱柱的底面边长为，高为2， 则， 所以正三棱柱的体积． 【小问2详解】 在正三棱柱中，由（1）知，， ， 设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为， 有，即， 令的中点为，连接，则， 且，，， 于是，解得， 则圆锥的母线长， 圆锥的底面圆面积，侧面积， 三棱柱的表面积为， 所以该几何体的表面积为： . 19. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，即可求解； （2）根据正弦定理，得到，，化简得到，进而结合正弦函数的性质即可求解； （3）由（1）得到，再由为边上的中线，利用，得到，联立方程组，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，由正弦定理得， 可得，， 因为，所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为. 【小问3详解】 由题意知：， 由（1）知，即， 因为为边上的中线，所以， 两边平方得， 所以， 联立方程组，解得，所以， 所以的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴楚县第一中学2025-2026学年第二学期 高一年级期中练习 数学学科 时间：120分钟 一、单选题（本题共计8小题，每题5分，共计40分） 1. （ ） A. B. C. D. 2. 半径为2的球的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 设为虚数单位，已知，则的虚部为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 的内角，，的对边分别为，，.若，，，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知向量，若，则的值为（ ） A. 10 B. C. D. 6. 设为虚数单位，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 已知的内角A，B，C分别所对的边a，b，c，若满足，则角的大小为（ ） A. 60° B. 90° C. 150° D. 120° 8. 亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为 A. B. C. D. 二、多选题（本题共计3小题，每题6分，共计18分） 9. 用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是（ ） A. 六边形 B. 五边形 C. 直角三角形 D. 矩形 10. 已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的共轭复数是 C. D. 复数在复平面上的对应点位于第二象限 11. 在中，角的对边分别为,则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的外接圆的面积为 B. 若，，，则有两解 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题（本题共计3小题，每题5分，共计15分） 12. 已知复数，若（为虚数单位），则_______． 13. 用斜二测画法作一个水平放置的平行四边形的直观图，若直观图是一个角为，边长为2的菱形，则原来的平行四边形的面积为______． 14. 在中，角的对边分别为，且，则的面积为__________. 四、解答题（本题共计5小题，共计77分） 15. 已知是虚数单位，复数，m为实数． （1）当实数m满足什么条件时，为纯虚数 （2）若复数在复平面内对应的点位于实轴负半轴，求复数 16. 已知，，且与的夹角为120°，求： （1）； （2）若向量与平行，求实数的值． 17. 在中，已知，，． （1）求； （2）如为的中点，求的长． 18. 如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2． （1）求挖掉的正三棱柱的体积； （2）求该几何体的表面积． 19. 在中，角的对边分别为，已知，. （1）求角的值； （2）求的最大值； （3）若边上的中线长为，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $