精品解析：广东省深圳市福田区2025-2026学年九年级中考适应性考试数学试题

福田区2025—2026学年第二学期九年级中考适应性考试 数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的选项中，只有一个是正确的） 1. 在网络地图中，赤道纬度为，赤道以北纬度为正，赤道以南纬度为负，纬度数值越大表示越靠北边．在下列纬度中，最北边的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：根据有理数大小比较规则，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小， ∴， ∴是四个数值中的最大值， ∴ 最北边的是A选项． 2. 将一款台灯按如图的方式摆放，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从物体的上面看到的视图进行判断即可. 【详解】解：其俯视图为： ． 3. 福田红树林生态公园为推进“每周半天计划”，提供“潮汐湿地红树林探秘”“鸟儿调查员”“公园设计师”“水侦探”四项课程供班级随机选报，每个班级可以从中选择一项课程参加．某班级选中“水侦探”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】总共有种等可能的选报结果，选中目标课程的结果只有种，代入概率公式计算即可． 【详解】解：四项课程随机选一项，所有等可能的结果共种， 其中选中“水侦探”的结果只有种， 选中“水侦探”的概率. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：，∴A错误； 选项B：∵，∴B正确； 选项C：与不是同类项，不能合并，∴，C错误； 选项D：∵，∴D错误． 5. 电视的尺寸常指屏幕对角线的长度．如图，可以把一个英寸电视屏幕抽象成矩形，其中英寸．若，则电视屏幕宽度的长度为（ ） A. 英寸 B. 英寸 C. 英寸 D. 英寸 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦的定义求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 即：． 6. 中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主体纹饰与辅助纹饰的相似比为即可求解. 【详解】解：∵主体纹饰与辅助纹饰的相似比为， ∴， ∵， ∴ ． 7. 目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据“时间路程速度”的关系，分别表示出两种挖掘方式的用时，再结合用时差列出方程． 【详解】解：设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，硬岩掘进机挖掘速度是传统钻爆法的倍， 硬岩掘进机的挖掘速度为千米/月， 总长度为千米，且时间总路程速度， 传统钻爆法用时为个月，硬岩掘进机用时为个月， 硬岩掘进机用时缩短约个月，即传统钻爆法用时比硬岩掘进机多个月 可列方程 ． 8. 如图，圆内接四边形的对角线与相交于点，是的直径，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，利用是的直径，可得，进而求出，最后利用求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则m的值为______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：点在轴上， ， 解得． 10. 若在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，任取范围内一个x的值即可. 【详解】解：要使在实数范围内有意义，则被开方数， 解得， 即任意大于或等于的实数都符合要求. 故答案为（答案不唯一） 11. 如图1，是一个三轮滑板车．在组装车轮时需注意车轮与车身支架保持平行，可有效防止车轮磨损，即图2中．若，则的度数为______． 【答案】##130度 【解析】 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【详解】解：， ． ， ． 故答案为：． 12. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，将直线向上平移得到直线，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则，先求出，所以，则，则有，得出，所以反比例函数解析式为，同理可得：，，即，然后代入即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于点，过作轴于点，设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则， 由直线得，当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵直线向上平移得到直线， ∴， 同理可得：，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴的值为． 13. 如图，在正方形中，，将点折叠到边上的点处，折痕为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】将四边形沿折叠使重合得到四边形，交于，通过论证及，可得，则可求. 【详解】解：将四边形沿折叠使重合得到四边形，交于， ∵正方形中，， ∴由折叠可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即：， ∴. 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题11分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先算零次幂、算术平方根、负整数指数幂、特殊角三角函数，最后算加减即可. 【详解】解：原式， . 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 16. 综合实践 背景1 某校利用“AI智慧体育系统”从九年级学生中随机选出男女生各10名，收集学生在一节体育课上的中等运动强度时长，科学规划体育课的运动强度，避免运动不足或过度疲劳． 背景2 根据《健康中国行动（2019—2030年）》，有益健康的体育锻炼需同时达到以下两个要求： ①运动强度达到中等运动强度； ②中等强度运动时长达到30分钟及以上． 背景3 中等运动强度是指在运动时心率达到最大心率（单位：）的的运动强度（最大心率等于220减去年龄）． 如小福（15岁）运动时心率为，得 ，因在之间，则小福的运动强度达到中等运动强度． 数据的收集与整理 （1）10名男生的中等运动强度时长为：（单位：） 12，18，25，28，30，30，30，30，32，35 （2）10名女生的中等运动强度时长为： 数据的描述 经过计算，得到以下表格： 中等强度运动时长 平均数（min） 中位数（min） 众数（min） 方差（min2） 男生 27 a 30 43.6 女生 27 25 b 49.8 （1）九年级学生小田（15岁）在运动时的心率为，他的运动强度______（填“是”/“否”）达到中等运动强度． （2）表格中：______，______． （3）数据的分析：结合上述信息和所学的数学知识，你对一节体育课的运动强度规划有什么建议，并说明理由． 【答案】（1）是 （2）30，35 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）求出小田的最大心率即可判断； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）利用平均数、中位数、众数、方差等数学知识进行合理解释。 【小问1详解】 解：小田（15岁）运动时心率为，得， 因在之间， 故小田的运动强度是达到中等运动强度； 【小问2详解】 解：10名男生的中等运动强度时长从小到大排序为12，18，25，28，30，30，30，30，32，35， ∴中位数， 女生的中等运动强度时长出现最多的是35，共4次， 故众数； 【小问3详解】 解：①男生和女生的平均数都是27，达不到30，体育课总体强度还需要提高一点． ②男生的中位数30，女生中位数25，有一半以上的学生达不到30，总体强度还需要提高一点（或可以分组锻炼，让一半学生加强锻炼，一半学生维持锻炼）． ③男生的众数是30，女生的众数是35，男生的众数较小，可让男女生分组锻炼，加强男生的训练强度． ④女生的方差比男生的方差大，结合原始数据看，是因为女生中运动强度特别高的学生达，优秀表现突出．在提高运动强度训练方面，男生应向这些女生看齐．（言之有理即可） 17. 2026年，深圳将在所学校推进学生“舒心躺睡”服务．某校计划采购型普通款和型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下： ①买套型课桌椅与套型课桌椅共需元 ②买套型课桌椅比套型课桌椅少花费元 ③买套型课桌椅与套型课桌椅花费相同 （1）请你从上述个条件中任选个作为条件，求出型、型课桌椅的单价分别是多少元？ （2）若该校计划采购型、型课桌椅共套，且总费用不超过元，则采购型课桌椅至多多少套？ 【答案】（1）型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元 （2）套 【解析】 【分析】（1）设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元，根据价格信息可列方程组求解即可； （2）设采购型课桌椅套，则采购型课桌椅套，根据总费用不超过元，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：选①②： 设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下： ， 解得； 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； 选①③： 设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下： ， 解得， 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； 选②③： 设型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元， 则根据题意可列方程组如下： ， 解得， 答：型课桌椅单价为元，型课桌椅单价为元； 【小问2详解】 解：设采购型课桌椅套，则采购型课桌椅套， 根据题意可列不等式如下： ， 解得， 答：采购型课桌椅至多套． 18. 如图，在△中，点、在边上，且点在点右侧．以为圆心，为半径作交于点，点恰好在上．过点作的垂线交的延长线于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是2，，，求的长． （3）尺规作图：作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，证明即可； （2）利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出即可． （3）根据三角形的高的定义作出图形． 【小问1详解】 证明：连接， ∵点A在上， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∵点C在上， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：在中，∵，， ∴， ∵， ∴． 由（1）得，， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 解：法一：作垂线．线段即为所求． 法二：作（或）．线段即为所求． 法三：作的平行线．线段即为所求． 法四：以为直径作圆．线段即为所求． 法五：作且，连接交于点，线段即为所求． 19. 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 （1）如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 （2）如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 【答案】（1）4，3 （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可知：，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解； （2）过点作，垂足为H．由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分当点B在线段上时，当点B在线段外时，然后分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 即到的距离为3； 【小问2详解】 解：，证明如下： 过点作，垂足为H． ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：①当点B在线段上时， 在中，， ∴， 在中，． ②当点B在线段外时，过点作，垂足为H． ∵，，B共线， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴在中，； 综上所述，长度为或． 20. 综合与实践 【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙界”跳远之王．对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据． 【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式表示，其中，（m/s）是起跳时的速度． 【模型应用】 （1）如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度m/s时，则其跳远距离______m，在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是______m． （2）如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为，从起跳到落地的过程中： ①求其离地的最大高度是多少？（用含的代数式表示） ②记①中离地的最大高度为h，记，求证：． （3）如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远．在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线．若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到．设两次离地的最大高度分别为，． ①填空：______m； ②设其第一次起跳的速度为（m/s），求的取值范围． 【答案】（1）1， （2）①；② （3）①2；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入可得二次函数解析式，求出二次函数的最大值和交点坐标即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）设第一次跳远距离为，最大高度为，设第二次跳远距离为，最大高度为，根据（2）的解题思路即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， 令得，解得，， 则； 对称轴为，当时，， 即“尖鼻蛙”离地的最大高度是； 【小问2详解】 ①解法一：根据二次函数最值，知 最大高度为； 解法二：根据二次函数对称轴，知 当时， 最大高度为； ②证明：令，即， 解得，， ， 而，， 故； 【小问3详解】 ①设第一次跳远距离为，最大高度为，设第二次跳远距离为，最大高度为， 由（2）可知，，， 由题可知，，则，解得， 即； ②由题意得，两次跳跃的高度和均小于1.25， 由①得，， 故，． 由（2）得，，即，， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福田区2025—2026学年第二学期九年级中考适应性考试 数学 说明：全卷共6页．考试时间90分钟，满分100分．答题前，请将姓名、学校和准考证号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定位置，并粘贴好条形码．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的选项中，只有一个是正确的） 1. 在网络地图中，赤道纬度为，赤道以北纬度为正，赤道以南纬度为负，纬度数值越大表示越靠北边．在下列纬度中，最北边的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一款台灯按如图的方式摆放，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 福田红树林生态公园为推进“每周半天计划”，提供“潮汐湿地红树林探秘”“鸟儿调查员”“公园设计师”“水侦探”四项课程供班级随机选报，每个班级可以从中选择一项课程参加．某班级选中“水侦探”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 电视的尺寸常指屏幕对角线的长度．如图，可以把一个英寸电视屏幕抽象成矩形，其中英寸．若，则电视屏幕宽度的长度为（ ） A. 英寸 B. 英寸 C. 英寸 D. 英寸 6. 中国古代器物与装饰纹饰在构图上多遵循主从分明、比例相宜的传统布局原则，常将主体纹样放大突出，辅助纹样缩小衬托，其构图方式蕴含位似变换的数学思想．如图，若某主体纹饰与辅助纹饰的相似比为，辅助纹饰的宽度，则主体纹饰的宽度为（ ） A. B. C. D. 7. 目前世界上最长的高速公路隧道是乌尉高速公路天山胜利隧道，它全长约千米．该隧道启用了我国自主研发的硬岩掘进机，其挖掘速度是传统钻爆法的倍，用时缩短约个月．设传统钻爆法挖掘速度为千米/月，可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆内接四边形的对角线与相交于点，是的直径，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第二部分非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 在平面直角坐标系中，若点在x轴上，则m的值为______． 10. 若在实数范围内有意义，写出一个符合要求的x的值：______． 11. 如图1，是一个三轮滑板车．在组装车轮时需注意车轮与车身支架保持平行，可有效防止车轮磨损，即图2中．若，则的度数为______． 12. 如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，将直线向上平移得到直线，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．若，则的值为______． 13. 如图，在正方形中，，将点折叠到边上的点处，折痕为，若，则______． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题6分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题11分，第20题12分，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 综合实践 背景1 某校利用“AI智慧体育系统”从九年级学生中随机选出男女生各10名，收集学生在一节体育课上的中等运动强度时长，科学规划体育课的运动强度，避免运动不足或过度疲劳． 背景2 根据《健康中国行动（2019—2030年）》，有益健康的体育锻炼需同时达到以下两个要求： ①运动强度达到中等运动强度； ②中等强度运动时长达到30分钟及以上． 背景3 中等运动强度是指在运动时心率达到最大心率（单位：）的的运动强度（最大心率等于220减去年龄）． 如小福（15岁）运动时心率为，得 ，因在之间，则小福的运动强度达到中等运动强度． 数据的收集与整理 （1）10名男生的中等运动强度时长为：（单位：） 12，18，25，28，30，30，30，30，32，35 （2）10名女生的中等运动强度时长为： 数据的描述 经过计算，得到以下表格： 中等强度运动时长 平均数（min） 中位数（min） 众数（min） 方差（min2） 男生 27 a 30 43.6 女生 27 25 b 49.8 （1）九年级学生小田（15岁）在运动时的心率为，他的运动强度______（填“是”/“否”）达到中等运动强度． （2）表格中：______，______． （3）数据的分析：结合上述信息和所学的数学知识，你对一节体育课的运动强度规划有什么建议，并说明理由． 17. 2026年，深圳将在所学校推进学生“舒心躺睡”服务．某校计划采购型普通款和型加宽款两种可躺式课桌椅，价格信息如下： ①买套型课桌椅与套型课桌椅共需元 ②买套型课桌椅比套型课桌椅少花费元 ③买套型课桌椅与套型课桌椅花费相同 （1）请你从上述个条件中任选个作为条件，求出型、型课桌椅的单价分别是多少元？ （2）若该校计划采购型、型课桌椅共套，且总费用不超过元，则采购型课桌椅至多多少套？ 18. 如图，在△中，点、在边上，且点在点右侧．以为圆心，为半径作交于点，点恰好在上．过点作的垂线交的延长线于点，若． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是2，，，求的长． （3）尺规作图：作边上的高．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 【问题背景】旋转是一种常见的图形运动方式．某数学学习小组在学习旋转的相关知识后，深入研究了矩形的旋转．如图1，矩形绕点A旋转得到矩形，点B，C，D分别旋转到点，，． 【初步探究】 （1）如图2，若，，恰好经过点B，则______，到的距离为______． 【深入探究】 （2）如图3，若恰好经过点B，连接交于E，试判断线段与的数量关系，并证明． 【探究应用】 （3）若，，所在直线恰好经过点B，求的长． 20. 综合与实践 【问题背景】“尖鼻蛙”是“蛙界”跳远之王．对蛙类的立定跳远项目进行比较与测量，可以为研究蛙类跳跃极限、“仿蛙机器人”跳跃性能等，提供参考数据． 【模型构建】如图1，当“尖鼻蛙”以倾斜角起跳（以下简称“起跳”）时，若以地面上的起跳点为坐标原点，以地面上水平向右的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，则其运动路线可以近似地用公式表示，其中，（m/s）是起跳时的速度． 【模型应用】 （1）如图1，当“尖鼻蛙”起跳速度m/s时，则其跳远距离______m，在这个过程中，“尖鼻蛙”离地的最大高度是______m． （2）如图1，若“尖鼻蛙”起跳速度为，从起跳到落地的过程中： ①求其离地的最大高度是多少？（用含的代数式表示） ②记①中离地的最大高度为h，记，求证：． （3）如图2，“尖鼻蛙”连续两次起跳，共跳了8m远．在起跳点正上方1.25m处，设有一条平行于地面的观测线．若在两次跳跃过程中，“尖鼻蛙”均没有触碰到．设两次离地的最大高度分别为，． ①填空：______m； ②设其第一次起跳的速度为（m/s），求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $