精品解析：辽宁鞍山市第三中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025级高一年级下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则的值等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的定义可求出的值. 【详解】由三角函数的定义可得，故选A. 【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键在于三角函数的定义进行计算，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】由，得，即，解得. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】把变为就可以看出怎么平移. 【详解】∵，∴把函数的图象向右移个单位就可得到函数的图象. 故选D. 【点睛】本题考查三角函数的图象变换，属于基础题. 4. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，即可得出的值. 【详解】由题意，， ， ∵， ∴， ∴， ∴. 5. 已知函数，的部分图象如图所示，两点之间的距离为10，且，则函数的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】结合图象及已知条件得到，结合求出解析式，得到，再根据图象及周期分析判断即可. 【详解】因为，两点之间的距离为10，所以周期，则. 又，，所以，则. 又，所以，所以，，解得，. 又，所以或. 当时，， 当时，. 结合图象及周期可知，应在上升图象上，所以应取最大值，即. 6. 下列四个函数：①；②；③；④，其中既是偶函数且最小正周期为的函数个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】逐一分析4个函数的奇偶性与最小正周期：①：定义域为，，是奇函数，不符合条件. ②：定义域为，，是偶函数；由正弦函数图像及其对称特征知最小正周期，符合条件. ③：由，得，定义域为，，是偶函数；最小正周期，符合条件. ④：定义域为，关于原点对称，，是偶函数；最小正周期，符合条件.综上，符合条件的函数为②③④，共个. 7. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性可知，当时，；在区间上只取得一次最大值，可得，列出不等式求解可得. 【详解】由于函数在上单调递增， ，， 且， 解得且，所以； 又因为在区间上只取得一次最大值， 即时，； 所以，解得； 综上知，的取值范围是． 故选：B． 8. 已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定信息，确定函数的周期，再求出在上的解析式及单调性，再逐项分析判断. 【详解】函数是定义域为R的奇函数，由，得， 即， 则，函数周期为4. 当时，，则， 因此当时，，函数在上单调递增. 对于AB，，而， 则，因此，AB错误； 对于C，， 而，因此，C错误； 对于D，， 而，因此，D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 外接圆的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：根据向量的数量积求解即可；对于B：根据向量加法的平行四边形法则、向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C：根据三角形面积关系及三角形面积公式求解即可；对于D：根据正余弦定理求解即可. 【详解】选项A：向量与的夹角为， 所以，A错误. 选项B：设中点为，则，则 ， 故边上的中线长，B正确. 选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系， 即， 也即，解得，C正确. 选项D：由余弦定理得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理，则. 所以外接圆的面积，D错误. 10. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰直角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据正弦函数单调性分析判断；对于C：利用余弦定理运算求解. 【详解】对于选项A：例如，，满足， 但此时不是直角三角形，故A错误； 对于选项B：因为为锐角三角形，则，即，， 且，则，， 又因为在内单调递增， 则，， 两式相加得 ，故B正确； 选项C：由余弦定理得，即， 整理可得，解得， 所以符合条件的三角形有两个，故C正确； 对于选项D：例如，满足， 但不是等腰直角三角形，故D错误. 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，当时，函数取得最大值，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题逐一分析四选项，A，代入换元判断区间内单调性判定错误，B，利用对称轴处函数取最值列等式平方求解参数得结果正确，C，由对称中心函数值为零求出正切值，再用齐次式算出二倍角正弦值成立，D，借助辅助角公式结合最值条件推导出与关系，利用三角恒等变换与角范围取舍正切值判定正确. 【详解】选项A：时， 令，得 该范围横跨正弦函数减区间与增区间，故在此区间不单调，A错误； 选项B：关于对称，则为最值. 代入得，即. 两边平方化简得，B正确； 选项C：当时，，是对称中心，则. 即，. ，C正确； 选项D：当时，，时取最大值. 由辅助角公式，其中， 且，即. 取最大值时，，， 则，， 所以， 故. 由正切二倍角公式 整理得，解得. 因为，所以，因此选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】以为整体，利用正弦函数的标准单调递减区间构造不等式求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 13. ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的正切公式化简求值即可. 【详解】解： ． 故答案为：. 14. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点是圆内部一点及，结合向量数量积公式求出的范围，再根据模长公式求出的表达式，进而求解即可. 【详解】因为点是圆上一点，，所以， 因为， 所以， 设与的夹角为，， 则，所以， 又，所以， 又点是圆内部一点，所以， 综上； ， 因为，所以，则， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，两边平方，即可求出的值，再根据同角三角函数的平方关系可求； （2）求出的范围，得出的值，利用，结合两角差的余弦公式可求的值. 【小问1详解】 ∵， ∴， 解得：，又，所以， ∴. 【小问2详解】 由题意及（1）得， ，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴ . 16. 中，角、、的对边分别为、、，. （1）若为锐角三角形，其面积为，，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）结合已知条件和正弦定理先求解出的值，再根据三角形的面积公式求解出的值，最后根据余弦定理求解出的值； （2）根据已知条件先用表示出，然后利用余弦定理表示出，由此求解出之间的倍数关系，结合倍数关系即可计算出的值，即可求得的值. 【详解】解：∵，∴，或 （1）∵， ， （2）， ，，∴， ∴，，， 17. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在上(异于点，)，过作，，垂足分别为，，记，四边形的周长为，面积为． （1）分别求出和l关于的函数解析式，并将解析式化简为的形式，其中； （2）当为何值时，有最大值？并求出最大值． 【答案】（1），； （2）当为时，面积S有最大值，最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何图形，求出面积及周期的函数关系，再利用三角恒等变换化成指定形式. （2）由（1）的结论，利用正弦函数的性质求出指定区间上的最大值. 【小问1详解】 由，扇形是半径为1，得， 则的面积， 由，得， 同理， 因此 ， 所以S关于的函数解析式为； ， 所以关于的函数解析式为. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 则当，即时，取得最大值， 所以当为时，面积有最大值，最大值为. 18. 已知向量，． （1）若向量在向量上的投影向量为，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围； （3）对，求证：当取得最小值时，． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）利用投影向量公式，向量在向量上的投影向量为，代入坐标列出等式，即可求出参数； （2）因为向量夹角范围为：，因为夹角为锐角，故范围为，代入夹角公式计算即可； （3）根据模长公式得到关于的解析式，当取最小值时，的取值，进而根据向量数量积为0得到两向量垂直进行证明． 【小问1详解】 向量在向量上的投影向量为， 因为，，代入可得：； 故，化简得：，解得； 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角，等价于，且向量与不共线， 故需满足：，解得：； 故的取值范围为； 【小问3详解】 为关于的二次函数， 因为，所以时，取到最小值， 即在时取最小值； 此时； 故． 19. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． （1）求索道AB的长； （2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 【答案】（1）； （2）； （3）（单位：m/min）． 【解析】 【分析】(1)在中，已知两角及其夹边，可求出第三个角通过正弦定理计算AB的长； (2)甲乙最短距离时所在位置可以与A构成三角形，根据速度，可以求得路程，即三角形边长，利用余弦定理解三角形即可； (3)通过路程除以速度计算时间，根据两人到达时间，列不等式，计算范围即可． 【小问1详解】 在中，因为，， 所以，，从而： ， 由正弦定理，得． 【小问2详解】 设乙在D处时，与E处的甲距离最近： 假设乙出发后，甲、乙两游客距离为， 此时，甲行走了，乙走了， 所以由余弦定理得： ， 即， 因为乙还在缆车上，故，即， 故当时，甲、乙两游客距离最短． 【小问3详解】 由正弦定理，得． 乙从出发时，甲已走了，还需走710才能到达． 设乙步行的速度为，由题意得， 即，解得， 所以为使两位游客在处互相等待的时间不超过， 乙步行的速度应控制在（单位：）范围内． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一年级下学期期中考试 数学试题 考试时间：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则的值等于 A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. B. 2 C. D. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，的部分图象如图所示，两点之间的距离为10，且，则函数的值为（ ） A. B. 3 C. D. 0 6. 下列四个函数：①；②；③；④，其中既是偶函数且最小正周期为的函数个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义域为R的奇函数，，且当时， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，，，，则（ ） A. B. 边上的中线长 C. 边上的角平分线长 D. 外接圆的面积为 10. 在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若为锐角三角形，则 C. 若，，，则符合条件的有两个 D. 若，则为等腰直角三角形 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 若，在区间上单调 B. 若关于直线对称，则 C. 若，且为的一个对称中心，则 D. 若，当时，函数取得最大值，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为_____________． 13. ______． 14. 已知为圆心，点是圆上一点，点是圆内部一点．若，且，则的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，． （1）求的值； （2）若，，求的值． 16. 中，角、、的对边分别为、、，. （1）若为锐角三角形，其面积为，，求的值； （2）若，求的值. 17. 如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点在上(异于点，)，过作，，垂足分别为，，记，四边形的周长为，面积为． （1）分别求出和l关于的函数解析式，并将解析式化简为的形式，其中； （2）当为何值时，有最大值？并求出最大值． 18. 已知向量，． （1）若向量在向量上的投影向量为，求实数的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围； （3）对，求证：当取得最小值时，． 19. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟．在甲出发2分钟后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C，假设缆车匀速直线运动的速度为130米/分钟，山路AC长为1260米，经测量，，其中A，C均为锐角． （1）求索道AB的长； （2）问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $