11.1 以形变数——不等式章节复习课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦不等式专题，涵盖定义、解与解集、性质及应用等核心知识。课堂从汽车行驶问题导入，对比方程与等式，以数轴为主线，通过点与数、距离与式构建数形结合支架，实现从等式到不等式的知识自然生长。 其亮点是“以形变数”理念，用数轴贯穿教学，从距离问题抽象不等关系培养数学眼光，类比方程解法探究不等式性质发展数学思维，双动点问题构建模型提升数学语言表达。采用情境导入与问题驱动，助力学生发展抽象能力和几何直观，教师可借清晰脉络高效教学。

以形变数 生长数学 ——11.1不等式专题复习课 不等式 不等关系 方程 等量关系 2x=210 2y＞210 解 法 应 用 现实生活中的问题抽象 去分母、去括号、移项 合并同类项、系数化为1 步 骤 思想：转化思想（x=a） 数学问题 相等关系 方程 一元一次方程 特例 解 法 依据：等式的基本性质 类比思想 去分母、去括号、移项 合并同类项、系数化为1 步 骤 思想：转化思想（x＞a或x＜a） 不相等关系 不等式 不等式的基本性质：依据 应 用 一元一次不等式 特例 一元一次不等式组 一元一次不等式与一次函数 定义 解法 应用 不等关系 解 与 解集 三个基本性质 两个基本事实 不等式的定义 请回忆这一小节，你都学了哪些知识点？ 解不等式 学习目标 1、从实际问题中抽象出不等式，能列出不等式表示问题中的不等关系. 2、了解不等式及其相关概念，体会不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型. 3、发展抽象能力，通过观察、对比和归纳，探索不等式的性质。 重点：不等式的三个性质。 难点：性质3（乘除负数要变号）的理解与运用，以及解与解集的区分。 一条数轴，能长出多少知识？ 点 → 数 建立“数”与“形”的基本一一对应，开启数形结合的第一步。 距离 → 式 两点间的长度，自然衍生出绝对值的代数表达式，连接几何直观与代数运算。 关系 → 等式/不等式 通过左右位置关系，将几何描述转化为严谨的数量关系（等式或不等式）。 一、 从“距离”生长出不等关系 已知条件：在数轴上，点A对应的数为3，点B对应的数为x. B在点A的右侧 A和B两点间的距离 若x=5，A和B两点间的距离 x在A的右侧，且两点之间的距离大于2、不小于2、不大于2、不等于2 x在A的右侧，且两点之间的距离等于3 不等式的定义 💡 核心定义：用不等号（ >、<、≥、≤、≠ ）连接的式子，叫做不等式。 （1）-3>0; （2）4x+3y<0 （3）x=3; （4） x2+xy+y2 （5）x≠5; （6）x+2>y+5; （7）a + b＝b + a （8） 2≥7 1.判断下列各式是不是不等式？ 不等式：x - 3 > 2 能使不等式成立的未知数的值，叫做“不等式的解”，有多少个解？ 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 二、从“不等式”中生长出“解和解集、解不等式” 不等式：x - 3 ≥ 2 不等式：x - 3 > 2 能使不等式成立的未知数的值，叫做“不等式的解”，有多少个解？ 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 二、从“不等式”中生长出“解和解集、解不等式” 2.关于X的不等式的解集在数轴上表示如图所示，写出相应的解集。 不等式：x - 3 ≥ 2 在数轴上表示解集请注意： 定点、定心、定方向 3.下列说法中，错误的是（ ） A. 不等式 x<5 的整数解有无数个 C. 不等式 x+4>0的解集是 x >-4 B. 不等式 x >-5 的负数解有有限个 D. -40是不等式 2x < -8的一个解 B 4.判断对错： （1）1是不等式 x＜2解； （ ） （2）不等式 x＜10的整数解有无数个 （ ） （3）a -3≠b是不等式； （ ） （4）不等式-3x>9的解集是 x = -3. （ ） √ √ √ × 二、从“不等式”中生长出“解和解集、解不等式” 三、两个基本事实 基本事实 2：传递性 若 a > b，b > c，则 a > c 示例：6 > 5，5 > 3  →  6 > 3 💡 这两条，是不等式推理的基础。 基本事实 1：对称性 若 a > b，则 b < a 示例：3 < 5  →  5 > 3 四、从“解不等式”中生长出“三个基本性质” 不等式的性质1 如果 a＞b，那么a ± c > b ± c. ac > bc.（或 ） 不等式的性质2 如果 a＞b，c ＞ 0，那么 ac < bc.（或 ） 不等式的性质3 如果 a＞b， c ＜ 0，那么 6. 如果关于 x 的不等式（m+1）x＞3的解集为 . 求 m 的取值范围. 5、利用不等式的性质完成以下试题： m＜-1. 如果关于 x 的不等式（m+1）x＞3的解集为 . 求 m 的取值范围. m＞-1. 四、从“解不等式”中生长出“三个基本性质” A B 点A表示的数是x，点B表示的数是 y，如图所示： x y ①x+5 y+5 ②-2x -2y ③-2x+5 -2y+5 ⑦2（3-x） 2（3-y） ④-2x+m -2y+m ⑤ ⑥ 五、从“距离等式”变式为“不等关系” 7、已知：点A对应的式子为 ，代数式 对应的点B在点A的左侧，且它们之间的距离为2，请根据条件列出式子。 “距离大于2” “距离不大于2" "距离至少为2" - =2 - ＞2 - ≤2 - ≥2 六、纠错——解不等式中的“性质”辨析 步骤 操作 内容 ① 去分母 (2x - 3)- 2(2x - 1) > 2 ② 去括号 2x - 3 - 4x + 2> 2 ③ 移项 2x - 4x > 2 -2 +3 ④ 合并同类项 -2x > 3 （1）找一找： 以上解题过程中，出现错误的是第 ______ 步？ （2）想一想： 第③步的依据是 ______ ； 第⑤步的依据是 ______ 。 8、小明同学解不等式的过程： - ＞2 ⑤ 系数化为1 x > -1.5 解不等式的过程： - ＞2 ✓ 正确解法 最终解集 x ＜- 4.5 数轴表示方法 1. 在 -4.5 处画空心圆圈(不包含-4.5） 2. 从圆圈开始向左画箭头(小于向左) (2x−3) − 2(2x−3) > 12 （去分母，两边同乘6） 2x − 3− 4x + 6 > 12 （去括号） -2x +3> 12 -2x > 12 − 3（移项，性质1） -2x > 9 x ＜-4.5 （系数化为1，性质2） 七、动点问题——从等式到不等式的迁移 基础回顾 · 距离为定值 已知：点A对应数为 3，点B到点A的距离为 2。 进阶思考 · 距离为范围 变式：点B到点A的距离大于 2，求点B对应数x的范围。 结论：点B对应数为1 或 5（分类讨论） | x - 3 | > 2 分类讨论： 解：当x在A右侧：x − 3 > 2，得x > 5 当x在A左侧：3 − x > 2，得x < 1 ∴ x的取值范围是x < 1或x > 5 A 9、阅读材料：解方程 |x-1|+|x+2|=5。由绝对值的几何意义知，该方程表示在数轴上与1和-2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和-2的距离为3，满足方程的x的对应点在1的右边或-2的左边，若x的对应点在1的右边，由如图所示数轴可以看出x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x=-3。故原方程的解是x=2或x=-3。 参考阅读材料，解答下列问题： (1) 方程|x+3|=4的解为______； (2) 解不等式：|x-3|+|x+4| ≥9； (3) 解不等式：|x-3|+|x+4| ≤9. 七、动点问题——从等式到不等式的迁移 (小组实验探究） 八、双动点问题——不等式模型建构 10、已知：点A对应数为 3，点B在A右侧（对应的数为5），将点A向左移动6个单位得到点C。点P从点B出发，以每秒3个单位向右运动；点Q从点C出发，以每秒1个单位向左运动。 （1）几秒后，点P与点Q之间的距离大于12？ （2）几秒后，点P与点Q之间的距离小于16？ （1）t秒后 点P与点Q之间的距离大于12 即 PQ > 12 8 + 4t > 12 4t > 4 t > 1 答：出发后1s任意时刻距离大于12 解：由题意可得：P、Q两点的位置表达式： P(5+3t)， Q(-3-t) 两点距离公式：PQ = (5+3t) - (-3-t) =8 + 4t ， （2）t秒后 点P与点Q之间的距离小于16 即 PQ < 16 8 + 4t ＜16 4t ＜ 8 t > 12 答：出发后2s任意时刻距离小于16. （3）拓展延伸：几秒后，点 P 到原点的距离大于 点 Q 到原点的距离？ 10、已知：点A对应数为 3，点B在A右侧（对应的数为5），将点A向左移动6个单位得到点C。点P从点B出发，以每秒3个单位向右运动；点Q从点C出发，以每秒1个单位向左运动。 （1）几秒后，点P与点Q之间的距离大于12？ （2）几秒后，点P与点Q之间的距离小于16？ 📝 求解思路 (t ≥ 0) 1. 当 t ≥ 0 时，Q 点坐标为负，去绝对值后右边 = t + 3 2. 化简不等式：3t + 5 > t + 3 → 2t > -2 →t > -1 ∵ 已知 t ≥ 0， ∴ 结论：t ≥ 0 时恒成立 💡 课堂留白 · 思考题 P、Q、C三点中恰有一点在另外两点正中间， 求满足该条件的 t 的值？ 提示：需分三种情况讨论 八、双动点问题——不等式模型建构 课堂总结：今天我们“长”出了什么？ 数轴上的距离 不等关系 → 不等式的引入与定义 解 与 解集 → 利用数轴直观表示解集 三个基本性质 ⚠性质3：乘除负数变号（难点） 两个基本事实 传递性 · 对称性 动点不等式模型 数形结合解决动态问题 一根数轴，贯穿始终。以形变数，让数学自然生长。 感谢聆听！ 以形变数，让数学自然生长 2026.5.20 $