精品解析：广东省广州市黄埔区广州实验中学2025-2026学年第二学期教学期中监测 八年级数学

2025—2026学年第二学期教学期中监测 八年级数学 本试卷共6页，共25题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题与解答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上） 1. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 10. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. ______． 12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 13. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 14. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计） 15. 如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为_________． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答题应写出文字说明、必要证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 18. 求代数式的值，其中． 19. 如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，． （1）是直角三角形吗？请说明理由； （2）求证：四边形是菱形． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 21. 阅读下面问题： ； ； ． 试求： （1）（n为正整数）的值． （2）利用上面所揭示的规律计算：． 22. 如图，在中， （1）在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求线段的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，． （1）作，求的长； （2）过点作交轴于点，求的面积； （3）如图在（）的条件下，点坐标为，满足，求的值． 24. 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）当时，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若四边形为矩形，求t的值； （3）若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 25. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M，N分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线．请在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）填空： ______； （2）求线段长度的最小值； （3）方法应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，． 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第二学期教学期中监测 八年级数学 本试卷共6页，共25题，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答填空题与解答题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上） 1. 水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为r，则圆周长C与r的关系式为．下列判断正确的是（ ） A. 2是变量 B. 是变量 C. r是变量 D. C是常量 【答案】C 【解析】 【分析】根据变量与常量的定义分别判断，并选择正确的选项即可． 【详解】解：2与π为常量，C与r为变量， 故选：C． 【点睛】本题考查变量与常量的概念，能够熟练掌握变量与常量的概念为解决本题的关键． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件：1．被开方数不含分母；2．被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：，故A不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数是小数，可化为分数，含分母，故B不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数含分母，故C不是最简二次根式，不符合题意； 的被开方数不含分母，且分解后没有能开得尽方的因数，满足最简二次根式的两个条件， 故选项D是最简二次根式，符合题意． 3. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．解题的关键在于熟练掌握平行四边形的性质． 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确； 故选：A． 5. 如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形性质，三角形外角性质，先根据图中多边形可知各多边形的一个内角度数，记中间围成的三角形为，利用三角形外角性质得到，进而根据求解，即可解题． 【详解】解：正五边形的一个内角为， 正三角形的一个内角为，正方形的一个内角为， 记中间围成的三角形为， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点，将向左平移1个单位长度，则平移后点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，坐标系中图形的平移，根据等边三角形的性质求出点坐标是解题关键． 过点B作的垂线，通过点A，C的坐标确定与坐标轴的位置关系，再利用等边三角形的性质求出点B的坐标，利用坐标系中图形的平移规律求解即可． 【详解】解：如图，过点B作，垂足为D， ∵，， ∴轴， ∴轴， ∵是等边三角形，， ∴， 又， ∴，， ∴， ， ∴， ∴在向左平移1个单位长度后，点B的坐标为， 故选：A． 7. 我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是尺．根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为勾股定理问题成为解题的关键． 如图：设芦苇的长度是尺，即，再表示出水深，然后根据勾股定理建立方程即可解答． 【详解】解：依题意画出图形： 如图：设芦苇的长度是尺，即，则水深尺， ∵尺， ∴尺， 在中，， ∴． 故选B． 8. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理与勾股定理的逆定理逐一判断各选项． 【详解】解：A选项：∵，即， ∴， ∴，能判定是直角三角形，不符合题意； B选项：设，，（）， ∵， ∴能判定是直角三角形，不符合题意； C选项：∵， ∴最大角，不能判定是直角三角形； D选项：∵， ∴， ∴能判定是直角三角形，不符合题意． 9. 如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中点四边形，根据三角形中位线定理得，，证明四边形是矩形，进而得菱形的面积．四边形面积是故可得结论． 【详解】解：连接交于O， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点E、F、G、H分别是边和的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴菱形的面积， ∴， ∴， ∴四边形的面积为5， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，，分别是，的中点，，交于点，连接．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到 AB=BC=CD=AD， ∠B＝∠BCD＝90°，得到，，根据全等三角形的性质得到 ∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；求得∠CGD＝90°，根据垂直的定义得到 CE⊥ DF，故②正确；延长CE交DA的延长线 于H，根据线段中点的定义得到AE=BE，根 据全等三角形的性质得到BC=AH=AD，由AG是斜边的中线，得到， 求得∠ADG＝∠AGD，根据余角的性质得到 ∠AGE＝∠CDF，故③正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ，分别是，的中点， ，， ， 在与中， ， ， ，，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， 如图，延长交的延长线于， ∵AD//BC， ∴∠AHE=∠BCE， 点是的中点， ， ，，， ， ， 是斜边的中线， ， ， ，， ．故③正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是______． 【答案】六 【解析】 【分析】利用多边形内角和公式（为边数且且为整数 ），将内角和代入公式，通过解方程求出边数．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键． 【详解】边形的内角和为， ， 解得， 这个多边形的边数是六． 故答案为六． 13. 要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 14. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计） 【答案】10 【解析】 【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接， 由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 15. 如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出，，根据和菱形的面积求出，，则可求出的面积，然后利用求解即可． 【详解】解：连接， ∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4， ∴，， 设菱形中边上的高为h， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 16. 如图，在平面直角坐标系中，，，，，点在轴上，满足，则点的坐标为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，平面直角坐标系内点的坐标特点，勾股定理．过作 于，得到正方形，利用正方形的性质可得结论；过作 于，利用角平分线的性质与勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ，，，， ，， 四边形是正方形， 连接，则， ，重合时，有， 点的坐标为； 如图，过作 于，     ，， ， ，， ， ， 由三角形内角和定理可得：， ，， ， 设， 则，，， ，， ， 解得，， ， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分．解答题应写出文字说明、必要证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式除法，再利用完全平方公式展开平方项，最后合并同类项得到结果，本题考查二次根式的混合运算，用到的知识点为二次根式化简、二次根式除法法则、完全平方公式．熟练掌握二次根式的运算律是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 求代数式的值，其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 19. 如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，． （1）是直角三角形吗？请说明理由； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）是直角三角形，理由见解析． （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，再根据勾股定理的逆定理，即可得出结论； （2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求证． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是直角三角形． 【小问2详解】 证明：由（1）可得：是直角三角形， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，菱形的判定，解题的关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 20. 物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． 【小问2详解】 解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 21. 阅读下面问题： ； ； ． 试求： （1）（n为正整数）的值． （2）利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化； （2）先进行分母有理化，再观察抵消规律． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 22. 如图，在中， （1）在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）图见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，连接两个交点，得到线段的垂直平分线，找到这条垂直平分线与线段的交点，该交点即为点； （2）连接，依题得，先利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求： 【小问2详解】 解：连接， 依题得， 中，，，， ， 设，则， 中，， ， 解得， 即． 23. 如图，在平面直角坐标系中，点，． （1）作，求的长； （2）过点作交轴于点，求的面积； （3）如图在（）的条件下，点坐标为，满足，求的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的面积的不同表示方法列等积式即可求解； （2）设，利用勾股定理求出的坐标，进而面积可求； （3）取点，连接，过点作于点，通过论证，可得，则，进而利用，得到的值. 【小问1详解】 解：∵，， ，， ； ∵， ∴， 即：， ； 【小问2详解】 解：如图，设， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴，， ； 【小问3详解】 解：如图，取点，连接， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， 在中， ， ， ∵ ， 在和中， ∵，， ， ， ∵，则， 在中，， ， 或． 24. 在矩形中，，G、H分别是、中点，E、F是对角线上的两个动点，分别从点A、C同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，其中． （1）当时，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）若四边形为矩形，求t的值； （3）若点G向点D运动，点H向点B运动，且与点E、F以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求t的值． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）先证得，得，，然后根据“等角的补角相等”即可证明； （2）先证得四边形是矩形，再根据四边形为矩形，可得，再利用勾股定理即可求解； （3）根据“对角线互相平分且垂直是菱形”可得，四边形为菱形，则，设，则，利用勾股定理列方程即可求解． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形． 理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：①当时，连接，如图， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴， 当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当时，连接，如图， 当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形为矩形时或． 【小问3详解】 解：连接，，，设与交于，如图， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即：， 解得：， ∴， ∴， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】熟练掌握矩形的对角线相等的性质，菱形的对角线互相垂直的性质，分类讨论，运用勾股定理列方程求解是解题的关键． 25. 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点M，N分别在边，上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C、M分别作、的平行线，并交于点P，作射线．请在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）填空： ______； （2）求线段长度的最小值； （3）方法应用：如图③，某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，． 是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在上，点N在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米？ 【答案】（1）； （2）； （3）米； 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形得到； （2）将转化成，时有最小值，即可求解； （3）参考上述思路构造平行四边形，将转化成，再求得，，即可求解． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 又， ． 【小问2详解】 四边形是平行四边形， ， 当最小时，线段也有最小值， 此时， 线段最小值是； 【小问3详解】 如图，连接，过、作，的平行线，则四边形是平行四边形，过点作交延长线于点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 当时，最小，此时最小， ，， ， ， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 在中，， ， 在中，， 在中，． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等内容，熟练掌握相关知识和理解题干给的方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $