精品解析：安徽合肥八中教育集团铭传高级中学2025-2026学年下学期八年级数学期中检测试题卷

2025-2026学年（下）八年级数学期中检测试题卷 （时间：120分钟满分：150分） 一、单选题 1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义，二次根式需同时满足两个条件：根指数为2；被开方数为非负数，结合定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A中的根指数为，不符合二次根式根指数为的要求，故A不是二次根式； 选项B中，当时被开方数为负数，式子无意义，故B不一定是二次根式； 选项C中对任意实数，都有， ，满足二次根式定义，故C一定是二次根式； 选项D中，当时，被开方数为负数，式子无意义，故D不一定是二次根式． 2. 下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. B. 5，12，13 C. 3，5，7 D. 2，2.5，1.5 【答案】C 【解析】 【分析】若三角形三边中，两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，反之则不是，逐一验证即可得到答案． 【详解】解：选项A：，， ，能构成直角三角形，不符合要求； 选项B：，， ，能构成直角三角形，不符合要求． 选项C：，， ，不能构成直角三角形，符合要求． 选项D：，， ，能构成直角三角形，不符合要求． 3. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和运算法则，逐项化简即可判断正误． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 4. 将一元二次方程配方后变形为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的值为． 5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 6. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义将给定方程转化为标准一元二次方程，计算判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义运算得， 整理为一元二次方程标准形式：， ， ∴方程无实数根． 7. 如表是小高的作业，他的得分是（ ） 判断题（每小题20分）姓名：小高 1．没有平方根．（√） 2．与互为相反数．（√） 3．化简后能与合并．（√） 4．的算术平方根是a．（×） 5．是一个大于2的无理数．（×） A. 40分 B. 60分 C. 80分 D. 100分 【答案】B 【解析】 【分析】根据平方根的定义，同类二次根式，算术平方根的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：1．没有平方根，正确，作答正确； 2．与相等，原说法错误； 3．与不是同类二次根式，无法合并，原说法错误； 4．的算术平方根是，原说法错误，作答正确； 5．是一个大于2的有理数 ，原说法错误，作答正确； 所以他对3道题， 所以他的得分是分． 8. 由12个有公共顶点的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点在线段上．若，则的长为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，根据解直角三角形可得，同理即可求得的长． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴，， ∴， 同理，， ， ， ， ． 9. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 【答案】A 【解析】 【分析】在网格中利用勾股定理分别求出，，，即可得出，即可判断的形状． 【详解】由网格可得，，， ∵， ∴是直角三角形． 10. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 二、填空题 11. 二次根式有意义的条件是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数大于等于零和分式的分母不等于零列不等式求解． 【详解】解：二次根式有意义， ∴ ∴． 12. 如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20，宽15的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，则可列方程___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：改造后种植区的长为，宽为， 根据改造后种植区的面积为，可列方程． 13. 如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 【答案】4米## 【解析】 【分析】由题意可得米，米，，米，利用勾股定理可求得，，根据求解． 【详解】解：由题意得，米，米，，米， ∴（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）． 14. 长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 __． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况①当点E在线段上时，设，则，由勾股定理求出x的值即可得出答案．②当点E在线段的延长线上时，设，则，由勾股定理求出x的值即可得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， 分以下两种情况讨论： ①当点E在线段上时， ， ， 由折叠可知：， 设，则， ， 解得， 点； ②当点E在线段的延长线上时， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴点． 故答案为：或． 三、解答题 15. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】先计算二次根式的乘法，绝对值，零次幂，再合并即可. 【详解】解： . 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 17. 如图，在中，，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用等腰三角形三线合一的性质求出底边的一半，再用勾股定理求出高． 过点作于点，由得；在中，由勾股定理求出的长度；最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：过点A作 于点D， 在 中，由勾股定理得 ， ． 18. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． （1）在图1中，小颖所画的的面积为________，边上的高为________． （2）解决问题：已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）见解析，的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查网格与勾股定理，割补法求图形面积，理解图示，掌握勾股定理是关键． （1）根据网格，运用割补法求解三角形的面积，运用勾股定理得到的值，再根据等面积法即可求解高； （2）运用网格，勾股定理得到图形，运用割补法求面积即可． 【小问1详解】 解：的面积； 设边上的高为， ∵，， ∴， ∴边上的高为； 【小问2详解】 解：如图所示， 的面积． 19. 观察下列各式． （1）根据以上规律猜想，a为正整数，则______． （2）你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． （3）证明你在（2）中写出的等式是正确的． 【答案】（1）24 （2）（，n为整数） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）仔细观察从上式中找出规律：整数与分数的分子相同，分母是分子的平方减1的差，由分子写出a值即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出表达式即可； （3）利用二次根式的性质及化简公式证明即可． 【小问1详解】 解：根据前3个式子，可得： 故a为24． 【小问2详解】 解：①由前面式子得出：（，且n为整数）． 【小问3详解】 证明： （，且n为整数）． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次方程根的判别式计算即可得出结果； （2）将代入方程得，整理得出，再代入，计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵方程是一元二次方程，且有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵p是方程的一个实数根， ∴将代入方程得：， 变形得， 将其代入得：， 解得：，， ∵， ∴． 21. 阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （1）请参照例题解方程； （2）拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】（1）， （2）2或 【解析】 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． 【小问2详解】 ∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 22. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率，降至就是方程的平衡条件，列出方程求解即可； （）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为，则 ∴，（不符合题意，舍去）， 答：每次下降的百分率为． 【小问2详解】 解：设每千克应涨价元，则 ∴ ∵要求尽可能减少库存：涨价越少，日销售量越大，剩余库存越少， ∴选择较小的涨价幅度， 答：每千克应涨价元． 23. 如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． （1）_____cm，________cm（用含的代数式表示） （2）当为何值时，的长度等于？ （3）若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点从点开始沿边向终点以的速度移动，可以求得； （2）用含的代数式分别表示和的值，运用勾股定理求得为据此求出值； （3）分、、三种情况进行讨论，结合三角形面积公式列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知：，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：（舍去），； 当时，的长度等于； 【小问3详解】 解：存在， 根据题意可知，，， ①当时，， ， 整理得：，解得或（舍去）； ②当时，， ， 整理得：， ，方程无解； ③当时，， ， 整理得：，解得（舍去）或； 综上，当或时，三角形的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）八年级数学期中检测试题卷 （时间：120分钟满分：150分） 一、单选题 1. 下列各式中一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A. B. 5，12，13 C. 3，5，7 D. 2，2.5，1.5 3. 下列计算，正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 将一元二次方程配方后变形为，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 5. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A. B. 2 C. D. 6. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 7. 如表是小高的作业，他的得分是（ ） 判断题（每小题20分）姓名：小高 1．没有平方根．（√） 2．与互为相反数．（√） 3．化简后能与合并．（√） 4．的算术平方根是a．（×） 5．是一个大于2的无理数．（×） A. 40分 B. 60分 C. 80分 D. 100分 8. 由12个有公共顶点的直角三角形拼成的图形如图所示，，且点在线段上．若，则的长为（ ） A. 9 B. C. D. 9. 如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对 10. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A. B. C. D. 二、填空题 11. 二次根式有意义的条件是______． 12. 如图，为助力乡村振兴，某村规划建设“小微特色果蔬种植园”，计划将一块长20，宽15的矩形荒地改造为种植区，同时在四周保留等宽的田间步道．若改造后种植区的面积为，设步道的宽度为，则可列方程___________． 13. 如图，在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙角的距离为7米．如果消防员接到命令，按要求将梯子底部在水平方向滑动后停在的位置上（云梯长度不变），测得长为8米，那么云梯的顶部下滑到，则___________． 14. 长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 __． 三、解答题 15. 计算：． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在中，，求的面积． 18. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题．图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点，，都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边，分别经过点，，她借助此图求出了的面积． （1）在图1中，小颖所画的的面积为________，边上的高为________． （2）解决问题：已知中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并直接写出的面积． 19. 观察下列各式． （1）根据以上规律猜想，a为正整数，则______． （2）你从以上各式发现什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来．并注明n的取值范围． （3）证明你在（2）中写出的等式是正确的． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）设p是方程的一个实数根，且满足，求m的值． 21. 阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （1）请参照例题解方程； （2）拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 22. 某大型果品批发商场经销一种高档坚果，原价每千克元，连续两次降价后每千克元． （1）若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）若该坚果每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该商场要保证销售该坚果每天盈利元，且尽可能减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 23. 如图，在长方形中，，，点从点出发沿边以的速度移动，同时点从点出发沿边以的速度移动，当点运动到点时，，两点都停止运动，设运动的时间为． （1）_____cm，________cm（用含的代数式表示） （2）当为何值时，的长度等于？ （3）若点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点 Q沿射线方向从 C 点出发以的速度移动，同时出发，是否存在t，使得三角形 的面积等于；若存在，请求出t；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $