精品解析：河北张家口市高新技术产业开发区 2025-2026 学年第二学期期中检测八年级数学试题（北师大版）

经开区2025-2026学年第二学期期中检测 八年级数学试题（北师大版） 一、单项选择题（本大题有12个小题，每题3分，共36分） 1. 国际数学家大会每四年举行一次，是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议，下列四个图形分别是四届大会的会标，其中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：观察图形，A、B、D选项中图形均可绕图形中心旋转后与原图形重合，只有C选项不满足中心对称图形的定义． 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不包括的点要用空心圆圈，包括的点要用实心圆点，据此逐项进行判断即可． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示为： 3. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 4. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简分式是分子分母没有除1以外公因式的分式，据此进行判断即可. 【详解】解：选项A中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式； ∵ 选项B中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式； ∵ 选项C中，分子与分母没有除1以外的公因式，∴是最简分式； ∵ 选项D中，=，分子分母存在公因式，∴不是最简分式. 5. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不为0，列不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵该函数分母含有二次根式，要使式子有意义，需同时满足二次根式被开方数非负，分母不为0， ， 解不等式得：． 6. 下列因式分解中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的概念以及提公因式法、公式法因式分解，根据相关规则对各选项逐一判断即可。 【详解】∵ 对选项A，由平方差公式分解得，∴ A错误； ∵ 对选项B，提公因式得，∴ B错误； ∵ 对选项C，因式分解要求结果为几个整式乘积的形式，是和的形式，不符合要求，且，∴ C错误； ∵ 对选项D，由完全平方公式得，分解正确，∴ D正确。 7. 式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】解：一元一次不等式有：①，不含未知数，不符合题意； ②，含有两个未知数，不符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是代数式，不符合题意； ⑤，是一元一次不等式，符合题意； ⑥，分母中含有未知数，不符合题意； 故选：A ． 8. 将点先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中点平移的规则“横坐标右加左减，纵坐标上加下减”计算即可得到结果． 【详解】解：∵平面直角坐标系中点平移的规则为，向右平移时横坐标增加平移单位长度，向下平移时纵坐标减少平移单位长度， ∴点先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的点的横坐标为，纵坐标为． ∴平移后点的坐标为． 9. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．根据旋转的性质可得． 【详解】解:∵绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．， ∴． 10. 若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程去分母转化为整式方程，得到关于的表达式，再根据解为正数，结合分式分母不为零的要求，确定的取值范围． 【详解】解：去分母，方程两边同乘得， 展开整理得 ， 解得 ． ∵ 分式方程的解是正数， ∴ ，即 ． 解得 ． 又∵ 分式方程分母不能为， ∴ ，即 ． ∴ ，解得 ． ∵ 已经满足， ∴ 实数的取值范围为． 11. 如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，以为底边在轴右侧作等腰，将点C向左平移5个单位，使其对应点在直线上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据等腰三角形的性质可得出点C的纵坐标，代入可求出点的坐标，进而可求出点C的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ， 是以为底边的等腰三角形， ∴点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为． 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 12. 如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（ ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A. ②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 14. 当______时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为，且未知数的系数不为，未知数只含有一个，据此列出关系式求解即可． 【详解】解：∵不等式是一元一次不等式， ， 解，得，即， 由得， ∴． 故答案为：． 15. 如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先将不等式整理为，再根据直线在直线上方部分确定自变量取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴． 观察图像可知当时，， ∴当时， ， 所以不等式的解集是， 即不等式的解集是． 16. 阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【详解】解：， 当时，， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解决下列问题： （1）先化简，再从，0，2中选个合适的数代入求值； （2）解方程：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，结合分式有意义的条件确定，再代入计算即可． （2）先去分母化为整式方程，再解方程并检验即可． 【小问1详解】 解： ； 由于，， ∴， ∴当时，原式； 【小问2详解】 解：， 去分母得：，解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点），已知点A和点B的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出点B关于原点对称的点，并写出点的坐标． （2）在所给的网格图中画出绕点O顺时针旋转后的． 【答案】（1）见详解； （2）见详解 【解析】 【小问1详解】 解：如图，点即为所求，． 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 19. 已知关于的二元一次方程组（为常数）．若该方程组的解、满足，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ，得， ∵， ∴， ∴． 20. [阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] （1）因式分解：； （2）因式分解：； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用换元法设，将原式化为，再利用完全平方公式得出，再将还原即可； （2）设，则原式后，再将还原后，最后再利用完全平方公式即可． 【小问1详解】 解：令， 原式 ； 【小问2详解】 解：令， 则原式 ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． （1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； （2）连接，交于点，求的度数． 【答案】（1）2，轴， （2） 【解析】 【分析】（1）平移的距离为对应点连线的长度，对称轴为对应点连线的垂直平分线，旋转角为对应点与旋转中心连线的夹角的大小，据此判断即可； （2）可得顶角为的等腰三角形，进而根据等腰三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为， ∴， ∵等边， ∴， ∴沿x轴向右平移得到，平移的距离是2个单位长度； 与关于直线对称，根据线段被y轴垂直平分可知，对称轴是y轴； 绕原点顺时针旋转得到，根据可知，旋转角度可以是； 故答案为：2；y轴；； 【小问2详解】 解：由旋转，得，． 为等边三角形， ， ， ． 又， ， ． 22. 知识改变命运，阅读点亮人生，为激发年轻人的阅读兴趣，某市举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的读书活动．在活动中某书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本，已知种图书每本的进价比种图书贵元，且用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本． （1）求，两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共本，已知每本种图书的售价为元，每本种图书的售价为元，若该老板希望销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元，则至多购进种图书多少本？ 【答案】（1）种图书每本进价是元，种图书每本进价是元 （2）至多购进种图书本 【解析】 【分析】（1）设种图书每本进价是元，则种图书每本进价是元，根据“用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本”列方程求解即可； （2）设购进种图书本，则购进种图书本，根据“销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元”列不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设种图书每本进价是元，则种图书每本进价是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意， ∴（元）， ∴种图书每本进价是元，种图书每本进价是元； 【小问2详解】 解：设购进种图书本，则购进种图书本， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴的最大整数为， ∴至多购进种图书本． 23. 综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为． （3）解： ． 24. 如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，． （1）的度数； （2）如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为多少度时，平分； （3）如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______． 【答案】（1） （2）当时，平分； （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，，再由平角的定义即可得解； （2）由旋转的性质可得，再由角的数量关系即可求解； （3）分为旋转角小于和大于两种情况，根据平行线的性质和角的数量关系即可求解． 【小问1详解】 解：三角板中，， ，， ； 【小问2详解】 解：以点O为旋转中心旋转到的位置， ， ，平分， ， ， ， ， 当时，平分； 【小问3详解】 解：如图，当旋转角小于时， ， ； 如图，当旋转角大于时， ， ， 旋转角为， 综上所述，旋转角为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 经开区2025-2026学年第二学期期中检测 八年级数学试题（北师大版） 一、单项选择题（本大题有12个小题，每题3分，共36分） 1. 国际数学家大会每四年举行一次，是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议，下列四个图形分别是四届大会的会标，其中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 3. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列各分式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列因式分解中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 将点先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到的点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ） A. B. C. D. 10. 若关于x的分式方程的解是正数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 11. 如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，以为底边在轴右侧作等腰，将点C向左平移5个单位，使其对应点在直线上，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（ ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A. ②③ B. ①②④ C. ①②③④ D. ②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 分解因式：______． 14. 当______时，不等式是一元一次不等式． 15. 如图所示，直线与直线交点的横坐标是4，那么不等式的解集是_____． 16. 阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解决下列问题： （1）先化简，再从，0，2中选个合适的数代入求值； （2）解方程：． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点），已知点A和点B的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出点B关于原点对称的点，并写出点的坐标． （2）在所给的网格图中画出绕点O顺时针旋转后的． 19. 已知关于的二元一次方程组（为常数）．若该方程组的解、满足，求的取值范围． 20. [阅读材料] 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式． 再将“A”还原，原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． [问题解决] （1）因式分解：； （2）因式分解：； 21. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，等边经过平移或旋转都可以得到． （1）沿轴向右平移得到，则平移的距离是______个单位长度；与关于直线对称，则对称轴是_______；绕原点顺时针旋转得到，则旋转的角度是______； （2）连接，交于点，求的度数． 22. 知识改变命运，阅读点亮人生，为激发年轻人的阅读兴趣，某市举办了以“与书香为伴，携快乐同行”为主题的读书活动．在活动中某书店老板发现，两种图书很受大家喜欢，决定购进若干本，已知种图书每本的进价比种图书贵元，且用元购进种图书的本数比用元购进种图书的本数多本． （1）求，两种图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店老板第二次购进两种书共本，已知每本种图书的售价为元，每本种图书的售价为元，若该老板希望销售完第二次购进的书后所获的利润不少于元，则至多购进种图书多少本？ 23. 综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 24. 如图①，我们把一副三角板如图摆放在一起，其中在一条直线上，，． （1）的度数； （2）如图②，将图①中的以点O为旋转中心旋转到的位置，当的度数为多少度时，平分； （3）如图③，两个三角尺的直角边摆放在同一条直线上，另一条直角边也在同一条直线上，将绕点O顺时针旋转一周，在旋转过程中，当时，旋转角的度数可能是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $