精品解析：2026年湖南省娄底市初中学业水平适应性检测数学试题

初中学业水平适应性检测 数学 （请把答案写在答题卡上 时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 3. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 4. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．如图，此微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 8和9之间 8. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 12. 中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是______． 13. 若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 14. 如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 15. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则________．（结果保留根号） 16. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”． ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 以上结论正确的是_____________．（写出所有正确结论） 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：； 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知内接于，点在的延长线上，连接，，满足，_____________．请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求的度数； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 20. 为做好安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（满分分）．该校从学生成绩都不低于分的八年级（）班和（）班中，各随机抽取了名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】八年级（）班名学生成绩： ． 八年级（）班名学生成绩： ． 【描述数据】八年级（）班名学生成绩统计表 分数 人数 【分析数据】 八年级（）班和（）班名学生成绩分析表 班级/统计量 平均数 中位数 众数 方差 八年级（）班 八年级（）班 【应用数据】根据以上信息，回答下列问题． （1）请补全条形统计图； （2）填空：_____________，_____________； （3）请在平均数、方差中选择一个统计量，分析哪个班级的成绩更好一些，并说明理由（言之有理即可）． 21. 我市某中学计划举行以“心理健康，阳光少年”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买，两种奖品．已知2件种奖品和3件种奖品共需41元，4件种奖品和2件种奖品共需46元． （1）这两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种奖品共100件，且种奖品的数量不少于种奖品数量的，则最多购进多少件种奖品． 22. 小明的书桌上有个书架，如图1，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使阅读时的感受更加舒适．小明使用时发现，如图2，当书架与桌面的夹角时，看书最为舒适．小明的眼睛位于C处，旋转点P到点B的距离为．（以下结果均保留整数，参考数据：，，） （1）求此时点B到桌面的距离； （2）如果小明的眼睛在点C处看B处的俯角为，眼睛到桌面的垂直高度为，点P到点D的距离为，求此时眼睛到B点的距离（即的长度）． 23. 如图，二次函数的图象经过点，点，，是此二次函数图象上的三个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）已知，，且． ①若直线，分别交y轴于点，求证：； ②过点作轴的垂线分别交，于点，设，试探究当取何值时，取得最大值？请求出的最大值． 24. 【问题背景与动手操作】 如图，在菱形纸片中，，点在边上，且，点在边上，连接，把菱形纸片沿着折叠，点的对应点为点． 【初步感知】 如图，连接． （1）_____________；（直接写出结果） （2）若折叠后满足，请探究线段与之间的位置关系和数量关系； （3）【问题探究】 若折叠后点恰好位于菱形纸片的对角线上，请在备用图中补全图形，并求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中学业水平适应性检测 数学 （请把答案写在答题卡上 时量：120分钟 满分：120分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上点P表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键． 根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 故选：A． 2. 在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键． 根据题意，结合众数的意义，即可求解． 【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数， 故选：D． 3. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 4. 分式方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴方程的解为． 5. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，逐一进行计算判断即可． 【详解】A． 中的和不是同类项，无法合并，故错误． B．，正确． C． 应展开为 ，选项漏掉，故错误． D．，选项中结果为，计算错误． 故选：B． 7. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．如图，此微观粒子的能量E可以用公式表示，当，时，该微观粒子的能量的值在（　　） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 8和9之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根，掌握无理数大小的估算方法是解题的关键． 先把，代入，再进行无理数大小的估算即可求解． 【详解】解：当，时，， ， ，即该微观粒子的能量的值在8和9之间． 故选：D． 8. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转，得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换规律来求解点的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点绕原点逆时针旋转的坐标变换，熟练掌握坐标变换规律是解题的关键． 【详解】解：设点绕原点逆时针旋转后的点为，则，． ∵，即，． ， 点的坐标为， 故选： ． 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点为的中点，交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分及中点定义可得与的数量关系，证明，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，  点为的中点， ， ， ， ， 即，  ． 10. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ） A. 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B. 当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C. 要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D. 若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键． 根据“大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿根大串和根小串冰糖葫芦”即可列代数式． 【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：， 故答案为：． 12. 中国古代杰出的数学家祖冲之、刘徽、赵爽、秦九韶、杨辉，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查运用概率公式求概率，根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：共有5位数学家，赵爽是其中一位， 所以，从中任选一个，恰好是赵爽的概率是， 故答案为： 13. 若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 14. 如图，是的直径，是的弦．若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直径所对的圆周角为，可知，求出，得到，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵是的直径， ， ∵与对应同一段弧， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角为，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等性质，掌握圆周角定理的推论是解题的关键． 15. 如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交于两点，再分别以为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，则________．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的正切值、等边三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角的正切的定义是解题关键．连接，交于点，先得出垂直平分，再证出是等边三角形，则可得，然后利用勾股定理可得，最后根据角的正切的定义求解即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由题意得：，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 16. 若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”． ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若是函数与函数的“对偶值”，则； ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 以上结论正确的是_____________．（写出所有正确结论） 【答案】②③ 【解析】 【分析】结合关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，逐一判断各结论即可． 【详解】解：根据定义，若和具有“对偶关系”，则函数图象上存在两点纵坐标相等，横坐标相反， ①对于，， 令 ， 整理得 ，解得，方程有解， 因此两个函数具有“对偶关系”，故①错误； ②当对偶值为时，令，解得； 令 ，解得. 两点和关于轴对称，符合定义， 因此对偶值为，故②正确； ③若是对偶值，令，解得上对应点坐标为. 由关于轴对称得上对应点坐标为， 代入得，解得，故③正确； ④设 ，其中，则点坐标为， 令纵坐标相等得，整理得，． 中，中， ∴在上，和均随m的增大而增大， 函数在上随增大而增大， 当时，， 当时，， 因此的取值范围是 ，不符合，故④错误； 综上，正确结论为②③． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：； 【答案】2 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： 当时，原式． 19. 如图，已知内接于，点在的延长线上，连接，，满足，_____________．请从“①；②”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求的度数； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）与相切，理由见解析 【解析】 【分析】（）选择①：由圆周角定理得，进而得到是等边三角形即可求解；选择②：由邻补角性质得，进而得到是等边三角形即可求解； （）证明即可求证． 【小问1详解】 解：选择①：∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 选择②：∵， ∴ ， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：与相切，理由如下： 由（）知，， ∵， ∴ ，即， ∵是的半径， ∴与相切． 20. 为做好安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（满分分）．该校从学生成绩都不低于分的八年级（）班和（）班中，各随机抽取了名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】八年级（）班名学生成绩： ． 八年级（）班名学生成绩： ． 【描述数据】八年级（）班名学生成绩统计表 分数 人数 【分析数据】 八年级（）班和（）班名学生成绩分析表 班级/统计量 平均数 中位数 众数 方差 八年级（）班 八年级（）班 【应用数据】根据以上信息，回答下列问题． （1）请补全条形统计图； （2）填空：_____________，_____________； （3）请在平均数、方差中选择一个统计量，分析哪个班级的成绩更好一些，并说明理由（言之有理即可）． 【答案】（1）补图见解析 （2）， （3）八年级（）班成绩更好一些，理由见解析 【解析】 【分析】（）统计出分和分的人数，进而补全条形统计图即可； （）根据平均数和中位数的定义解答即可求解； （）根据平均数、方差的意义分析判断即可求解； 本题考查了条形统计图，平均数、中位数和方差，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：由八年级（）班名学生成绩可知，分的人数有人，分的人数有人， ∴补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：由统计表可得，平均数，中位数， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：八年级（）班成绩更好一些，理由如下：两个班的平均数相同，但（）班的方差小于（）班的方差，成绩更稳定，所以（）班成绩更好． 21. 我市某中学计划举行以“心理健康，阳光少年”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予奖励．现要购买，两种奖品．已知2件种奖品和3件种奖品共需41元，4件种奖品和2件种奖品共需46元． （1）这两种奖品的单价各是多少元？ （2）学校准备购进这两种奖品共100件，且种奖品的数量不少于种奖品数量的，则最多购进多少件种奖品． 【答案】（1）A种奖品的单价是7元，B种奖品的单价是9元 （2）最多购进件A种奖品 【解析】 【分析】(1)根据两种购买方案的总费用，设未知数列二元一次方程组求解单价； (2)根据B种奖品数量和A种奖品数量的不等关系，列一元一次不等式求解，得到A种奖品的最大购进数量． 【小问1详解】 解：设A种奖品单价为元，B种奖品单价为元 根据题意得   解得 答：A种奖品的单价是7元，B种奖品的单价是9元； 【小问2详解】 解：设购进A种奖品件，则购进B种奖品件 根据题意得    解得， 答：最多购进75件A种奖品． 22. 小明的书桌上有个书架，如图1，使用时可以通过调整书架和桌面的夹角大小使阅读时的感受更加舒适．小明使用时发现，如图2，当书架与桌面的夹角时，看书最为舒适．小明的眼睛位于C处，旋转点P到点B的距离为．（以下结果均保留整数，参考数据：，，） （1）求此时点B到桌面的距离； （2）如果小明的眼睛在点C处看B处的俯角为，眼睛到桌面的垂直高度为，点P到点D的距离为，求此时眼睛到B点的距离（即的长度）． 【答案】（1）B点到桌面的距离为 （2）眼睛到B点的距离约为 【解析】 【分析】（1）过点B作于点E，求出，利用正弦函数定义，结合已知，计算的长度，即点B到桌面的距离． （2）过点B作于点E，，于F，令过点C的水平线为，先由矩形性质得到，，在中用余弦函数求出，结合算出，即；再在中利用余弦函数定义求出即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：B点到桌面的距离为； 【小问2详解】 解：如图，过点B作于点E，，于F，令过点C的水平线为，由题意得，，， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 答：眼睛到B点的距离约为． 23. 如图，二次函数的图象经过点，点，，是此二次函数图象上的三个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）已知，，且． ①若直线，分别交y轴于点，求证：； ②过点作轴的垂线分别交，于点，设，试探究当取何值时，取得最大值？请求出的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）①设 ，则，可得，，，得到直线的表达式为，即得，得到，同理得到直线的表达式为，进而求得，即得到，即可求证； ②设的表达式为，可得直线的表达式为，得到，同理可得，即得 ，，进而得到 ，，即得到，再根据二次函数的性质即可求解； 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①设，则，， ∴，，， 设直线的表达式为，把点和代入， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴， 同理可得直线的表达式为， 当时，， ∴， ∵点在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∴， ②设的表达式为，把点代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴， 由于直线的表达式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，的值最大，． 24. 【问题背景与动手操作】 如图，在菱形纸片中，，点在边上，且，点在边上，连接，把菱形纸片沿着折叠，点的对应点为点． 【初步感知】 如图，连接． （1）_____________；（直接写出结果） （2）若折叠后满足，请探究线段与之间的位置关系和数量关系； （3）【问题探究】 若折叠后点恰好位于菱形纸片的对角线上，请在备用图中补全图形，并求出的值． 【答案】（1） （2）位置关系：，数量关系： （3）补图见解析，的值为或 【解析】 【分析】（）根据菱形的性质解答即可求解； （）由翻折可知，，即得，进而得到，又由已知得，过点作于，由等腰三角形的性质得，利用直角三角形的性质和勾股定理得，即得 ，即得到，即可求解； （）分点在对角线上和点在对角线上两种情况，分别画出图形，利用菱形和折叠的性质解答即可求解． 【小问1详解】 解：∵菱形纸片中，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：位置关系：，数量关系：，理由如下： ∵， ∴， 由翻折可知， ，， 在菱形中，，， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当点在对角线上时，如图，，，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 当点在对角线上时，如图，作，，，垂足分别为点， 不妨设， ∵， ∴， ∴ ，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在 中，， ∴， 解得， ∴，， ∴； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $