2026年湖南省长沙市初中学业水平数学考试第二次模拟考试全真模拟卷（一）

**基本信息** 2026年长沙中考二模数学卷以珠峰科考、比亚迪建筑等时代情境为载体，覆盖初中数学核心知识，通过基础题、综合题及创新题梯度设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、视图、统计、几何初步|结合珠峰科考（第1题）等情境，考查数感与空间观念| |填空题|6/18|方程、坐标变换、扇形面积、因式分解|设置动态几何（第16题），渗透空间观念与创新意识| |解答题|9/72|方程应用（马拉松补给包）、圆切线证明、函数新定义（友好函数）|24题新定义“友好函数”考查推理能力，25题圆与几何综合体现模型观念|

2026年湖南省长沙市初中学业水平数学考试第二次模拟考试全真模拟卷（一） 说明: 1. 答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好. 2. 全卷共6页，25小题考试时间120分钟，满分120分. 3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—25，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。 4.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。) 1．年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年．为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发．科考队从海拔米的珠峰大本营出发，如果向上（往峰顶方向）攀登米记作米，那么完成任务后，他们向下（往返回方向）行走米应记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的左视图是（   ） A． B． C． D． 3．我国国土面积约为9600000平方千米，用科学记数法表示我国国土面积约为（   ） A．平方千米 B．平方千米 C．平方千米 D．平方千米 4．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．科学用眼，保护视力．在一次视力检查中，某班7位学生的左眼视力检查结果为：、、、、、、，则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．如图两直线m、n与的边相交，且m、n分别与平行．根据图中所示角度，可知的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．某商品原价400元，连续两次降价后售价为256元，若每次降价率相同，则每次降价率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，以点C为圆心、为半径作圆，交于点D，则的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①； ②二次函数图象与轴的另一个交点是； ③； ④三点都在该二次函数的图象上，则． 其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．②④ 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11．方程的解为________． 12．已知点M（3，﹣2），将它先向左平移4个单位，再向上平移3个单位后得到点N，则点N的坐标是___． 13．如图，扇形中，，，C是弧的中点，D为半径上一点，则图中阴影部分的面积为______． 14．分解因式：__________． 15．如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______． 16．如图，在中，，，点为直线上一动点，连接，，若，则的最小值为______． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．计算：． 18．先化简，再求值：，其中 ． 19．如图，小刚想利用学到的数学知识测量大桥立柱在水面以上的高度．在桥面观测点处测得某根立柱顶端的仰角为，测得这根立柱与水面交汇点的俯角为，向立柱方向走米到达观测点处，测得同一根立柱顶端的仰角为．已知点，，，，在同一平面内，桥面与水面平行，且垂直于桥面．             (1)求大桥立柱在桥面以上的高度（结果保留根号）； (2)求大桥立柱在水面以上的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，，） 20．远光中学开展了以“书香润校园，好书伴成长”为主题的系列读书活动，学校为了解学生周末的阅读情况，采用随机抽样的方式获取了若干名学生的周末阅读时间数据，整理后得到下列不完整的图表： 类别 类 类 类 类 阅读时长（小时） 频数 请根据图表中提供的信息解答下面的问题： (1)此次调查共抽取了________名学生，________，________； (2)扇形统计图中，类所对应的扇形的圆心角是________度； (3)已知在类的学生有名初三学生，其中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人参加阅读分享活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21．为保障“长沙银行·2025湘江马拉松”选手参赛体验，赛事组委会计划在赛道沿线投放两种补给包．A种补给包（含矿泉水、香蕉等），成本为10元/份；B种补给包（增加能量胶、盐丸等），成本为20元/份．两种补给包共准备15000份． (1)若本次补给包总采购费用为20万元，则A，B两种补给包各采购多少份？ (2)为满足不同阶段选手需求，购进B种补给包的数量不少于A种补给包的倍．请问最少需购进B种补给包多少份？ 22．如图，在中，对角线，交于点O，E，F分别为，的中点，连接，． (1)求证：； (2)若，求四边形的最大面积． 23．如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得． (1)求证：与相切； (2)若，且，求阴影部分的周长（结果保留）． 24．在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知两个函数，如果对于任意的自变量，这两个函数对应的函数值记为，，恒有点和点关于点成中心对称（此三个点可以重合），则称这两个函数互为“友好函数”．例如：和互为“友好函数”． (1)判断：①和；②和；③和，其中互为“友好函数”的是_____（填序号）； (2)若直线的解析式为：，此函数的“友好函数”与抛物线交于，两点，当，满足时，直线总经过一个定点，试求该定点的坐标； (3)若，，三个不同的点均在二次函数为常数，且的“友好函数”的图象上，且满足，若存在常数，使得恒成立，求的取值范围． 25．如图，中，，为的直径，在上且为的中点，过点作，连接，于点． (1)求证：为的切线； (2)记的面积分别为，若，求的值： (3)若的半径为1，设，试求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D A A C A C B 二、填空题 11． 12．（﹣1，1）． 13． 14． 15．12 16． 三、解答题 17．【详解】原式 ． 18．【详解】解：原式 ， 当a时，原式； 19．【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴（米）， 在中，（米） 答：大桥立柱在桥面以上的高度为米； （2）解：在中，（米）， ∴（米）， 在中，（米）， ∴(米) , 答：大桥立柱在水面以上的高度为米． 20．【详解】（1）解：（名）， （名）， ∴（名）， 故答案为：，，； （2）解：， 故答案为：； （3）解：画树状图为： 共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21．【详解】（1）解：设A种补给包采购a份， B种补给包采购b份，根据题意得： ， 解得：， 答：A种补给包采购10000份， B种补给包采购5000份； （2）解：设购进B种补给包x份，根据题意得： ， 解得：， 答：最少需购进B种补给包9000份． 22．【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵在平行四边形中，对角线， ∴四边形是菱形， 设，则， 在中，， ∴， 由得， 则，即， ∴， 当且仅当时，四边形的面积取得最大值． 答：四边形的最大面积为． 23．【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2）解：如图， ∵ ∴设，则 ∴， ∴， ∴ ∴ 由（1）知， ∴ ∴半径， ∴的长度， ∴阴影部分的周长为． 24．【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴图象上的点和图象上的点关于成中心对称， ∴①是“友好函数”； ∵，， ∴， 故②不是“友好函数”； ∵，， ∴， ∴图象上的点和图象上的点关于成中心对称， 故③是“友好函数”； （2）解：设直线的友好函数为， 故， 即， ∴， 依题意，， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故， ∵， ∴， ∴， 把代入直线， 得， 依题意，对于任意m恒成立，则令， 解得， 此时， 故直线总经过定点． （3）解：依题意，设函数的友好函数为， 则， ∴， ∵，在函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 则， 由解得， 由解得， 即， 即， ∵点M，P的纵坐标相等， ∴， 即， ∴， ∴， 设， ∴， ∵恒成立， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 25．【详解】（1）证明：如图，连接， 点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， ， 又是半径， 为的切线； （2）解：， ， ，即， ， ， ， ， 解得：或（舍）， 设，， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ； （3）解：的半径为1， ， 点是的中点，， ， 在中，， ， ， ， 由（2）可知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得，， ， ，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $