期末专题05 导数与函数中的零点问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学冲刺人教A版选择性必修第二册

专题05 导数与函数中的零点问题 题 型 题型1零点个数的判断 题型2根据零点（个数）情况求参数范围 题型3零点的和、差、积、商的范围问题 题型4三角函数的零点问题 题型5隐零点问题 导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的函数零点（方程根）问题在高考中占有很重要的地位，是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，高考常考查函数零点的个数判断或求参问题，三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，复习是要加强这方面的训练. 题型1 零点个数的判断 例1 （25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数. 【类题演练】 1．（25-26高二下·河北唐山·月考）函数的零点的个数为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26高二下·新疆阿克苏·阶段检测）已知函数，则方程的根的个数为 ______． 题型2根据零点（个数）情况求参数范围 已知方程根的个数，求参数的取值范围的常用方法： （1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解； （3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种是转化为直线与函数的图象的交点个数问题；另一种是转化为两个函数的图象的交点个数问题. 例2 （25-26高二下·云南德宏·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【类题演练】 1．（25-26高二下·山东·期中）已知函数，若与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·天津南开·期中）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·天津·月考）已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南京·期末）设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型3零点的和、差、积、商的范围问题 例3 已知函数，函数有三个不同的零点，且，则实数的取值范围是______；的取值范围是______ 【类题演练】 1.已知函数若方程有三个不同的零点，则实数的取值范围是_________；设，则的取值范围是_________．（第一空2分，第二空3分） 2.已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2﹣x3x4的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 3．已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是______；的值为______. 4．（多选）（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数有三个零点 B． C．曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D．若方程有三个不同的实数根，，，则 题型4 三角函数的零点问题 例4 已知函数. (1)若，求在上的最大值； (2)若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围. 【类题演练】 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围． 题型5 隐零点问题 例5（2026湖北名校联盟检测）已知函数． (1)若存在大于零的极值，求a的取值范围； (2)对于函数，若，则称为的不动点．判断是否存在a，使得的极值点同时也是不动点，并说明理由． 【类题演练】 已知函数，. （1）若直线与函数的图象相切，求实数的值； （2）当时，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数与函数中的零点问题 题 型 题型1零点个数的判断 题型2根据零点（个数）情况求参数范围 题型3零点的和、差、积、商的范围问题 题型4三角函数的零点问题 题型5隐零点问题 导数是高中数学的重要考查内容，而导数中的函数零点（方程根）问题在高考中占有很重要的地位，是高考的热点内容.从近几年的高考情况来看，高考常考查函数零点的个数判断或求参问题，三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现，难度较大，复习是要加强这方面的训练. 题型1 零点个数的判断 例1 （25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)当，在上有0个零点；当，在上有1个零点；当时，在上有2个零点 . 【分析】（1）求解导数，判断函数单调性，可求极值； （2）由函数单调性得到简图，结合图象可判断零点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 由，得， 令，即，解得； 令，即，解得，则当时，单调递增； 令，即，解得，则当时，单调递减； 所以当函数取极小值，无极大值. （2）由得方程，令， 则函数零点的个数就是与交点的个数，由（1）可知 当时，单调递减， 当时，单调递增， 时，;时，； 画出函数的图象如下： 当时，函数与无交点； 当或时，函数与有一个交点； 当时，函数与有两个交点- 所以当，在上有0个零点； 当，在上有1个零点； 当时，在上有2个零点 . 【类题演练】 1．（25-26高二下·河北唐山·月考）函数的零点的个数为 （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，求出极值，然后判断函数零点的个数． 【详解】因为函数，求导得， 当或时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 由此可知函数的极大值为，极小值为，并且当时，， 因此函数的零点个数为个，故B正确. 2．（25-26高二下·新疆阿克苏·阶段检测）已知函数，则方程的根的个数为 ______． 【答案】3 【分析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图象；将方程视为一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图象即可求解． 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 题型2根据零点（个数）情况求参数范围 已知方程根的个数，求参数的取值范围的常用方法： （1）直接法：直接根据题设条件列出关于参数的不等式，求解即可得出参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题进行求解； （3）数形结合法：对解析式适当变形，构造两个函数，在同一平面直角坐标系中，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，然后数形结合求解．常见类型有两种：一种是转化为直线与函数的图象的交点个数问题；另一种是转化为两个函数的图象的交点个数问题. 例2 （25-26高二下·云南德宏·期中）若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数有两个不同的零点，转化为函数的图象与直线有两个交点，利用求导判断函数单调性和图象趋势，分析即得参数范围. 【详解】函数有两个不同的零点， 则方程有两个不同的实根，也即函数的图象与直线有两个交点. 由求导得，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增，且当时，， 当时，，且，当时，取得极小值. 作出函数的图象： 由图可知，当且仅当时，函数与直线有两个交点， 故实数的取值范围是. 【类题演练】 1．（25-26高二下·山东·期中）已知函数，若与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用转化法，构造新函数，结合函数导数与函数单调性、最值分析求解即可. 【详解】若与的图象恰有两个交点等价于方程 有两个不同的实数根， 即方程有两个不同的实数根， 因为，所以有， 问题等价于函数与函数有两个不同的交点， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，，函数的图象如下图所示： 所以要使得函数与函数有两个不同的交点， 则，所以实数的取值范围为. 2．（25-26高二下·天津南开·期中）已知函数有两个极值点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，令其为零，再通过分离变量得到，借助导数研究的单调性和极值即可求解最终结果． 【详解】，令，即， 移项整理得，设，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值， 而时，；时，，但此时， 因此，的大致图象为： 则直线与曲线有两个交点， 必有，解得． 3．（25-26高二下·天津·月考）已知函数有三个极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为函数有三个极值点，所以其导函数有三个不同的变号零点，先对原函数求导，转化为方程​有三个不同实根的问题，构造函数，对求导，分析其单调性与极值，确定范围 【详解】对求导得 有三个极值点有三个不同实根，整理得​， 设， 时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减 因此的极小值为，极大值为​；且当时，时，恒大于0 要使​有三个不同实根，则. 4．（25-26高二上·江苏南京·期末）设函数，若关于x的方程恰好有4个不相等的实数解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将方程转化为两个方程或，再由函数图象数形结合可得所求范围. 【详解】由方程变形为， 所以或， 当时，，所以当时，；当时，. 所以函数在上有极大值也是最大值，此时. 画出图像如下：    由图可知与只有一个交点；所以与必有3个交点. 所以，解得. 故选：B 题型3零点的和、差、积、商的范围问题 例3 已知函数，函数有三个不同的零点，且，则实数的取值范围是______；的取值范围是______ 【答案】 【分析】分析分段函数的性质，画出草图，易知有三个不同的零点，有，进而可得，即可求范围. 【详解】由题设，当时，， 当时，，当且仅当时等号成立， 故，又，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，单调递增，且， 综上可得如下函数图象：    要使有三个不同的零点，则， 所以实数的取值范围是； 由图知：当时，有，当时，令，则， 有，， 所以且，而在上递减， 所以. 故答案为：； 【类题演练】 1.已知函数若方程有三个不同的零点，则实数的取值范围是_________；设，则的取值范围是_________．（第一空2分，第二空3分） 【答案】（1.3），（7,15） 2.已知函数f（x）＝，若函数F（x）＝f（x）﹣b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4，且满足：x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2﹣x3x4的值是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【解答】解：作出f（x）的函数图象如图所示： 因为函数F（x）＝f（x）﹣b有四个不同的零点x1，x2，x3，x4， 即y＝f（x）与y＝b有四个不同的交点， 由图象知 x1+x2＝﹣2×＝﹣2，由﹣log2x3＝log2x4，得：得：x3x4＝1， ∴x1+x2﹣x3x4＝﹣3，故选：B． 3．已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是______；的值为______. 【答案】 1 【分析】①令，则方程有两个不等的实根，，数形结合，根据的图象得出结果；②由韦达定理代入求值即可. 【详解】由， 令，∴， 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，. 作出大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点，    （*）式关于t的一元二次方程有两个不等的实根，，其中，， 令，∴，    且，，， ∴， 故答案为：；1. 4．（多选）（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数有三个零点 B． C．曲线上不同的两点，处的切线分别为，，若，则 D．若方程有三个不同的实数根，，，则 【答案】BCD 【分析】求导，根据导数得函数单调性，根据零点的存在性定理判断A；根据对称性质及单调性计算判断B；根据导数的几何意义解方程判断C；根据题意化简计算判断D. 【详解】由，得， 令，得，令，得或， 所以在区间单调递减，在区间，单调递增. 对于A，因为，，， 所以在区间内存在1个零点，故在上有2个零点，故A错误； 对于B，因为， 所以的图象关于点中心对称， 令，得， 又，所以，故B正确； 对于C，依题意，即， 所以，因为，所以.故C正确； 对于D，设， 所以，所以为定值，故D正确. 题型4 三角函数的零点问题 例4 已知函数. (1)若，求在上的最大值； (2)若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)-1 (2) 【解题思路】（1）由函数解析式，求导，根据指数函数单调性以及三角函数的性质，可得函数的单调性，可得答案； （2）利用分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性，求得给定区间上的最值，根据方程与函数的关系，可得答案. 【解答过程】（1）若，则， 因为当时，，仅当时，“＝”成立， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为. （2），令，则， 当时，由，即，得或. 当时，，递增； 当时，，递减； 当时，，递增； ，，，， 因为在上恰有两个零点， 所以直线与曲线（）恰有两个交点， 所以实数a的取值范围为. 【类题演练】 已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若且函数在上没有零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出时的导数，然后利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求得，然后对参数a的取值进行分类讨论，根据的符号讨论出函数的单调性，再由函数在上没有零点，结合零点存在性定理以及极值取值范围解不等式可得结果. 【解答过程】（1）当时，； 易知，则； 因此切线方程为， 即； （2）设函数，； 显然； 令，其中，即； 当时，， 则时，，，此时在上单调递减； 当时，，，此时在上单调递增； 因此，可知，因此在上存在零点，不合题意； 当时，由可得； 所以，使得； 可得时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 所以要使函数在上没有零点，只需，解得， 所以实数a的取值范围为. 题型5 隐零点问题 例5（2026湖北名校联盟检测）已知函数． (1)若存在大于零的极值，求a的取值范围； (2)对于函数，若，则称为的不动点．判断是否存在a，使得的极值点同时也是不动点，并说明理由． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 【分析】（1）对函数求导，分类讨论的范围，根据存在大于零的极值，求解即可； （2）根据定义得出方程，再由换元法构造函数，由导数得出单调性，结合零点存在性定理即可得解． 【详解】（1）已知，其定义域为，则， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令得（负根舍去）， 当时，，则在单调递减， 当时，，则在单调递增， 所以是的极小值点， 则， 所以． （2）由（1）知时，的极小值点为， 假设存在使得的极值点同时也是不动点，即， 则， 令，得， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以存在使得， 所以存在使得，满足， 因此，存在a，使得的极值点同时也是不动点． 【类题演练】 已知函数，. （1）若直线与函数的图象相切，求实数的值； （2）当时，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）设出切点坐标，利用导数求得切线方程，对比系数求得的值. （2）当时，构造函数，利用导数求得的最小值为，由此证得不等式成立. 【解答过程】（1）设切点为，由，∴. ∴切线方程为：.即. ∵直线与函数的图象相切，∴，. 解得，. （2）证明：当时，， 令， . 令，.则， ∴函数在上单调递增. ∵，. ∴函数在区间上存在一个零点，即函数在区间上存在唯一零点. ∴当时，，即，此时函数单调递减； 当时，，即，此时函数单调递增. ∴，由可得：. 两边取对数可得：. 故， ∴，即. 学科网（北京）股份有限公司 $