导数与单调性、极值讲义-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数与单调性、极值 【知识梳理】 1、利用导数研究函数的单调性 （1）函数在区间内可导，则： ①如果在内，，则在此区间是增函数，是函数的单增区间； ②如果在内，，则在此区间是减函数，是函数的单减区间； ③如果在内，恒成立，则在此区间是常函数，不具有单调性。 （2）利用导数研究函数单调性的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）； ③由（或）解出相应的的取值范围。当时，在相应的区间内是单调增函数；当时，在相应的区间内是单调减函数. 2、利用导数研究函数的极值、最值 （1）已知函数，设是定义域内任意一点，如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取得极大值，记作，并把称作函数的一个极大值点。 如果对附近的所有点，都有，则称函数在点处取得极小值，记作，并把称作函数的一个极小值点。 （2）求函数的极值的方法： ①确定函数的定义域； ②求导，并对导数进行整理（常用方法：通分、因式分解）； ③求方程的所有实数根； ④考察在每个根附近，从左到右，导函数的符号如何变化。如果的符号由正变负，则是极大值；如果的符号由负变正，则是极小值；如果的符号不变，则不是极值。 （3）一般地，求函数在区间内最大值与最小值的步骤： ①求出函数在区间内所有极值； ②将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； ③如果区间不是闭区间，在非闭的一端可能有三种情况：无穷大、端点数值可取、渐近线。这三种情况可以帮我们解决较难的非闭区间问题。 （4）最值与极值的区别与联系： ①极值只是对一点附近而言，是局部最值；而最值是对整个区间而言； ②最值和极值都不一定存在； ③极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值。 3、导函数分类讨论 （1）一元一次不等式型 （2）一元二次不等式型（二次项实数是否含参、是否可因式分解） （3）分式不等式型，一般转化为一元二次不等式型 （4）指数不等式型 （5）对数不等式型 【例题精讲】 1、已知函数。求函数的单调区间。 2、设函数。 （1）求函数的单调区间； （2）若函数在区间内单调递增，求的取值范围。 3、已知函数是定义在上的偶函数，当时，。那么函数的极值点个数是 。 4、函数，已知函数在时取得极值，则 。 5、已知函数，当时，求函数的单调区间和极值。 6、已知，其中。 （1）求函数的单调区间； （2）若函数在上的最大值是0，求的取值范围。 【课堂练习】 1、设函数，其中。 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数取得最大值和最小值时的的值。 2、设函数，其中。 （1）求函数的定义域，用区间表示； （2）讨论函数的单调性； （3）若，求定义域上满足条件的解集。 3、已知的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为。 （1）求的值； （2）若，判断函数的单调性； （3）若函数有极值，求的取值范围。 4、设函数。 （1）讨论函数极值点的个数，并说明理由； （2）若成立，求的取值范围。 5、设函数。 （1）若函数在处取得极值，确定的值，并求此时函数在点处的切线方程； （2）若函数在上为减函数，求的取值范围。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$