期末专题03 函数的极值与最值讲义-2025-2026学年高二下学期数学冲刺人教A版选择性必修第二册

专题03 函数的极值与最值 题 型 题型1 函数图像与最值。极值的关系 题型2 求函数的极值、最值 考向1 不含参函数的极值、最值 考向2 含参函数的极值、最值 题型3 已知函数极值（点）求参数 题型4 已知函数最值求参 知识点一 函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 ． 知识点二 函数的最值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的 ； ②将函数y＝f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 常用结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 题型1函数图象与函数极值、最值的关系 例1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示， ①； ②函数在处取得极小值，在处取得极大值； ③函数在处取得极大值，在处取得极小值； ④函数的最小值为. 以上正确的序号是__________. 【类题演练】 1．（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 2．（多选）（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 3．（多选）（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 题型2求函数的极值、最值 命题点1 求不含参函数的极值与最值 例2（25-26高二下·安徽合肥·月考）函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【类题演练】 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．3 3．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 命题点2 求含参函数的极值与最值 例3．已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【类题演练】 1.（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 2．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 题型3已知函数的极值（点）求参数 例4 （24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【类题演练】 1．已知函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·重庆·期末）已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4已知函数的最值求参数 例5（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【类题演练】 1．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山西·期中）已知函数有最大值，则a的值为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的极值与最值 题 型 题型1 函数图像与最值。极值的关系 题型2 求函数的极值、最值 考向1 不含参函数的极值、最值 考向2 含参函数的极值、最值 题型3 已知函数极值（点）求参数 题型4 已知函数最值求参 知识点一 函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 知识点二 函数的最值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 常用结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 题型1函数图象与函数极值、最值的关系 例1（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示， ①； ②函数在处取得极小值，在处取得极大值； ③函数在处取得极大值，在处取得极小值； ④函数的最小值为. 以上正确的序号是__________. 【答案】③ 【分析】利用原函数和导函数的关系得到原函数的单调性，利用单调性得到极值，结合单调性得到不是最小值. 【详解】当时，，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 当时，，是单调递增函数； ，，故①错误； 因为当时，，是单调递增函数； 当时，，是单调递减函数； 所以函数在处取得极大值，在处取得极小值； 故②错误，③正确； 当时，，是单调递减函数，且，， 所以，函数的最小值不是. 故④错误. 【类题演练】 1．（24-25高二下·北京·期中）已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值点 D．曲线在点处的切线斜率小于零 【答案】C 【分析】根据导函数的正负，可确定的单调性，即可结合极值和选项逐一求解. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，也是上的最小值点，故A错误，B错误，C正确， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D错误， 故选：C 2．（多选）（25-26高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 【答案】BC 【分析】通过导函数图象，确定函数的单调区间，再结合选项逐个判断即可. 【详解】由导函数图象可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 选项A：因为 在上单调递增，且，因此在 处取不到最大值，A错误， 选项B：左侧 ， 单调递增；右侧 ， 单调递减， 且，因此 时 取得极大值，B正确， 选项C：由 ，且 在 单调递增，可得 ，C正确， 选项D：在单调递增，因此 ，故不成立，D错误. 3．（多选）（25-26高三上·江苏扬州·月考）已知函数的导函数的图象如图所示，下列选项中正确的有（   ） A．函数必有极值 B．函数必有最值 C．函数必有零点 D．函数必为非奇非偶函数 【答案】ABD 【分析】由图得出导数正负情况，进而可得函数单调性情况，再结合极值、最值、奇偶函数和零点定义即可得解. 【详解】由图可知，，当且仅当时， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数有极大值和最大值均为，且导函数图象不关于原点对称也不关于y轴对称， 故函数必为非奇非偶函数， 导数反映的是函数单调性，无条件可明确函数值正负情况，故函数零点情况不确定. 故选：ABD 题型2求函数的极值、最值 命题点1 求不含参函数的极值与最值 例2（25-26高二下·安徽合肥·月考）函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 得. 令，得或， 当或时，，在和上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以的极小值为， 又当时，且，当时，， 所以也是的最小值. 【类题演练】 1．（25-26高二下·江苏无锡·期中）函数的极小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，确定函数单调性，即可求解. 【详解】对求导：， 因为恒成立，令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此是的极小值点， ，​ 即函数极小值为. 2．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）函数的极小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】由得， 由得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极小值为. 3．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数在处取得极值为2，则在的最大值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据函数极值的定义，结合导数的性质进行求解即可. 【详解】， 因为在处取得极值为2， 所以 ， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以在处取得极值， 当时，单调递增，所以. 命题点2 求含参函数的极值与最值 例3．已知函数. (1)若，求在上的最值； (2)若，求在上的最小值. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）通过导数，可判断在上的单调性，即可得最值； （2）注意到，然后结合，讨论，，三种情况下单调性可得最小值. 【详解】（1）时，，. 因，则，. 从而在上单调递减，在上单调递增. 则， ； （2）. 若，时，在上单调递增， 则此时； 若，时，令. 则，， 则)在上单调递减，在上单调递增， 此时； 若，时，)在上单调递减， 则此时. 综上，时，； 时，； 时，. 【类题演练】 1.（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可； （2）按照，，分类讨论研究函数的单调性，进而求出极值. 【详解】（1）当时，，因为，所以切点为， 又，所以切线斜率， 故切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以在上单调递减，无极值． 当时，令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 所以的极小值为，无极大值． 2．（24-25高二下·陕西西安·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求在上的最大值． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【分析】（1）由函数解析式明确定义域，求导，利用导数与函数单调性的关系，可得答案； （2）由（1）所得函数单调性，利用分情况，可得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，则． 因为时，由，可得，由，可得． 此时，函数的增区间为，减区间为． 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为． （2）当时，函数在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，； 当时，函数在上单调递增，此时，． 综上所述：. 题型3已知函数的极值（点）求参数 例4 （24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 【类题演练】 1．已知函数有极值，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设得有变号零点，再等价转化为有两个不同的实数根即可求解. 【详解】由题可得有变号零点， 有两个不同的实数根， 所以或. 所以满足题意的a的取值范围是. 故选：C 2．（26-27高二上·重庆·期末）已知函数，若函数在处取得极小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据的取值分成，和三类情况，讨论函数的单调性，根据极值情况分析判断即得. 【详解】因的定义域为， 求导得， 若，则，由可得，由，可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 即函数在处取得极小值，符合题意； 若，则由可得或，由，可得， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，符合题意； 若，则，函数在上单调递增，无极值点，不合题意； 若，则由可得或，由，可得， 即此时函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极大值，不合题意. 综上可得，实数的取值范围为. 故选：A. 3．已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，再由题意转化为与函数在区间恰有2个交点，再利用函数的导数分析函数的图像和性质，即可求解. 【详解】，令，得或， 即或，设函数，则， 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增， 故，因为，所以，则，即，因为有 3 个不同的极值点， 所以不是关于的方程的解，所以 故选：A 题型4已知函数的最值求参数 例5（24-25高二下·云南昆明·期中）已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的极小值点，进而求出的范围即可. 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 【类题演练】 1．已知函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，易知在区间上单调递增，由在区间上有最小值，可得，即可求解. 【详解】由题意得， 易知在区间上单调递增， 若在区间上有最小值， 则，即，解得. 这时存在，使得在上单调递减，在上单调递增， 即函数在上有极小值，也是最小值， 所以的取值范围是. 故选：A. 2．（24-25高二下·山西·期中）已知函数有最大值，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导并根据参数的取值进行分类讨论得出其单调性，再由最大值解方程可得. 【详解】易知，且； 令，解得或（舍）； 显然当时不合题意， 当时，若，易知，此时函数在上单调递增， 若，易知，此时函数在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，即， 解得，符合题意； 当时，若，易知，此时函数在上单调递减， 若，易知，此时函数在上单调递增； 此时无最大值，不符合题意； 综上可知，. 故选：A. 学科网（北京）股份有限公司 $