期末专题04 导数与函数中的构造法讲义-2025-2026学年高二下学期数学冲刺人教A版选择性必修第二册

专题04 导数与函数中的构造法 题 型 题型1 导数型函数的构造问题 命题点1 利用与构造函数 命题点2 利用与xn构造函数 命题点3 利用与构造函数 命题点4 利用与构造函数 题型2 同构法 命题点1 利用同构法比较大小 命题点2 不等式的恒成立问题 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 题型1 导数型函数的构造问题 导数型函数的构造问题是高考中的难点之一，其特点是不给出具体的 函数解析式，而是给出函数及满足的条件，求解函数中的比较大小、解不等式、恒成立等问题.这就需要根据条件构造函数，使问题在新函数下进行转化，并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等）求解. 命题点1 利用与构造函数 对于形式，则构造 更一般地，遇到，即导函数大于某种非零常数(若a=0，则无需构造)，则可构 例1（25-26高二下·深圳·期中）若定义在上的函数满足，其导函数，则下列结论中一定错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】试题分析 令，则，因此，所以选C. 【类题演练】 1．（25-26高二下·江苏镇江·期中）定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先通过构造函数，根据已知条件判断其单调性，再结合得到的值，最后将不等式转化为关于的不等式，利用单调性求解. 【详解】对任意，， 设，求导得：，即为增函数， ，故， 可化为，即， 因为增函数，所以，解得， 则不等式的解集为. 2．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 因为，所以，即函数在上单调递增， 由可得，当时，即时，必有， 对于，等价于， 故可得，解得或， 即不等式的解集是. 命题点2 利用与xn构造函数 （1）出现形式，构造函数形式； （2）出现形式，构造函数形式. 例2（25-26高二下·山东临沂·期中）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论. 【详解】构造函数，， 当时，，所以，所以在上单调递减， 因为，函数是定义在区间上， 所以，即， 不等式化为，即， 所以，即， 所以不等式解集为. 【类题演练】 1．（25-26高二下·吉林·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，通过求导确定单调性，即可求解. 【详解】构造函数​，， 求导得： ，​ 由题，且， 因此，即在上单调递减， 又，因此， 则不等式等价于， 两边同除以得： . 因为在上单调递减，所以，解得， 即解集为. 2.（25-26高二下·四川凉山·期中）定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，结合函数单调性，奇偶性和特殊点的函数值得到不等式，求出解集 【详解】为定义在上的奇函数，故，此时，不合要求， 当时，设，， 所以为偶函数，， 时，，， 故在上单调递增， 当时，， 又，故，所以，故， 为偶函数，故在上单调递减， 时，， 又，所以，故， 所以不等式的解集为 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知定义在上的偶函数，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知构造新函数，对函数求导，根据函数的单调性，求出函数的取值范围，并根据偶函数的性质，进行求解，即可得到答案． 【详解】当时，由，得， 两边同乘得， 设，则当时，， ∴在单调递减， 由，则，即， 因为是偶函数， 所以也是偶函数，则不等式等价， 即，则或， 即实数的取值范围是. 命题点3 利用与构造函数 （1）出现形式，构造函数形式； （2）出现形式，构造函数形式. 例3（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数是定义在R上的函数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过构造辅助函数，根据导数与单调性关系得到在R上单调递增，结合单调性逐项判断即可. 【详解】令，则， 因为，所以，所以在R上单调递增. 又，所以. 对于A：当时，，A错误. 对于B：，即，又，所以. 故，B错误. 对于C：，即，又，所以. 故，C错误. 对于D：，即，又，所以. 又，所以，D正确. 【类题演练】 1．（25-26高二下·安徽安庆·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造新函数，利用函数导数与函数单调性分析求解即可. 【详解】对任意，，所以不等式的解集等价于不等式的解集， 令，由，所以， 所以不等式的解集等价于不等式的解集， 又对任意，， 所以， 所以函数在上单调递增，由，则有， 所以不等式的解集为：. 2.（25-26高二下·北京房山·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，再结合已知条件得在上单调递增，进而将问题转化为求解即可. 【详解】令， 则， 因为定义在上的函数满足，即， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 因为，所以， 因为，即， 所以，即不等式的解集为. 命题点4 利用与构造函数 （1）F(x)＝f(x)sin x，则F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； （2）F(x)＝，则F′(x)＝； （3）F(x)＝f(x)cos x，则F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； （4）F(x)＝，则F′(x)＝. 例4（25-26高二下·北京丰台·期中）已知函数的定义域为，其导函数满足，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数判断函数在定义域内为单调递增，将不等式转化为，利用函数的单调性即可求解. 【详解】令，， 因为， 则 ， 所以在上单调递增. 因为，所以关于的不等式， 可化为，即 因为在上单调递增，所以由 可得， 由定义域知，解得. 即不等式的解集为 【类题演练】 1．（多选）（25-26高三上·四川广元·月考）已知是函数的导函数，，且对于任意的满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，设，利用条件判断其在上单调递增，且为偶函数，结合各选项的具体自变量的值，利用上述函数的性质即可逐一判断. 【详解】设，则， 因对于任意的满足， 即在上恒成立，故函数在上单调递增. 又，则，即函数为偶函数. 对于A，因，且，则， 即，于是，，化简得，故A正确； 对于B，因，且，则 ， 即，于是，，化简得，即，故B正确； 对于C，因，且，则 ，即， 于是，，化简得，故C错误； 对于D，因，且，则 ，即， 于是，，化简得，故D正确. 故选：ABD. 2.已知函数在上单调递减，为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得，且，进而构造函数得在上单调递增，再根据单调性依次讨论各选项即可. 【详解】∵函数在上单调递减 ∴时， ∵对任意都有 ∴，且 令，则， ∴在上单调递增， ∴，即 ∵， ∴选项A,B,C不一定成立 由以上分析可得 故选：D 题型2 同构法 如果不等式或不等式的两侧呈现同构特征(指除了变量不同，其余地方均相同的表达式)，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，可以比较大小、解不等式、解决不等式恒成立问题、证明不等式等． 命题点1 利用同构法比较大小 例5（25-26高二下·河南信阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得， 设，则. 当时，，则，所以在上单调递减； 当时，则，所以在单调递增. 所以，即. 【类题演练】 1.（25-26高二下·山东青岛·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数与函数单调性的关系，求出的单调减区间，进而利用单调性比较大小即可. 【详解】令，则. 由，得. 所以当时，，；当时，，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以， 即. 2．（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，则. 当时，则，可得，所以在上单调递减. 因为，且， 所以，即． 3．（25-26高二下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目条件和作差法比较大小，构造函数，根据函数导数判定函数单调性，进而判定函数值的正负，判定各数值的大小. 【详解】由题可知， 设函数，则， 在上，即函数在单调递减， 可知，当时，恒成立， 所以，即， 设函数，则， 在上，即函数在单调递增， 可知，当时，恒成立， 所以，即， 综上所述，可知. 4.（25-26高二下·广西河池·月考）设，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数判断单调性，得出的大小关系，构造函数，利用导数判断单调性，得出的大小关系，从而得到的大小关系，构造函数，利用导数判断单调性，得出的大小，即可得到答案. 【详解】记， 则，所以当时，， 所以在上单调递增， 所以当时，，即，所以. 记 则， 所以在上单调递减， 所以当时，，即，所以， 所以， 记， 则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以. 所以， 综上所述：. 命题点2 不等式的恒成立问题 与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 例5（25-26高二下·江西抚州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同构变形，由函数单调性得到不等式，参变分离，求出函数单调性和最值，得到答案 【详解】，对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，易知在单调递增， ，，，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，故， 又，的取值范围. 【对点演练】 1.（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数后对函数求导，通过分析导数的符号确定函数的单调性，找到函数的最大值，即可求解的范围. 【详解】将原不等式移项整理得：， 构造函数，对求导得：，令，得唯一临界点， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 原不等式对任意恒成立等价于：对任意，都有， 因为任意，都有，，而在上单调递增， 因此等价于： 变形得对任意恒成立，只需， 令，求导得，令得， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 因此的最大值为，故. 2.（25-26高二下·重庆·月考）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由原式可变形为，则可构造函数，利用该函数单调性可得，再构造函数，求出最大值即可得解. 【详解】由题可得，则由，可得， 即，则， 即有， 令，则有恒成立， 由单调递增，故， 则，令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，即，即， 即实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 导数与函数中的构造法 题 型 题型1 导数型函数的构造问题 命题点1 利用与构造函数 命题点2 利用与xn构造函数 命题点3 利用与构造函数 命题点4 利用与构造函数 题型2 同构法 命题点1 利用同构法比较大小 命题点2 不等式的恒成立问题 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题． 题型1 导数型函数的构造问题 导数型函数的构造问题是高考中的难点之一，其特点是不给出具体的 函数解析式，而是给出函数及满足的条件，求解函数中的比较大小、解不等式、恒成立等问题.这就需要根据条件构造函数，使问题在新函数下进行转化，并利用函数的有关性质（单调性、极值、最值等）求解. 命题点1 利用与构造函数 对于形式，则构造 更一般地，遇到，即导函数大于某种非零常数(若a=0，则无需构造)，则可构 例1（25-26高二下·深圳·期中）若定义在上的函数满足，其导函数，则下列结论中一定错误的是（ ） A. B. C. D. 【类题演练】 1．（25-26高二下·江苏镇江·期中）定义在R上的函数满足，且对任意，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·云南怒江·阶段检测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 命题点2 利用与xn构造函数 （1）出现形式，构造函数形式； （2）出现形式，构造函数形式. 例2（25-26高二下·山东临沂·期中）已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】 1．（25-26高二下·吉林·期中）已知定义在上的函数，是的导函数，满足且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·四川凉山·期中）定义在上的奇函数可导，其导函数为，且满足时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）已知定义在上的偶函数，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则使得成立的的取值范围为（    ） A． B． C． D． 命题点3 利用与构造函数 （1）出现形式，构造函数形式； （2）出现形式，构造函数形式. 例3（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数是定义在R上的函数，且，，则（   ） A． B． C． D． 【类题演练】 1．（25-26高二下·安徽安庆·期中）定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·北京房山·期中）已知定义在上的函数满足，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 命题点4 利用与构造函数 （1）F(x)＝f(x)sin x，则F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x； （2）F(x)＝，则F′(x)＝； （3）F(x)＝f(x)cos x，则F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x； （4）F(x)＝，则F′(x)＝. 例4（25-26高二下·北京丰台·期中）已知函数的定义域为，其导函数满足，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【类题演练】 1．（多选）（25-26高三上·四川广元·月考）已知是函数的导函数，，且对于任意的满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数在上单调递减，为其导函数，若对任意都有，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型2 同构法 如果不等式或不等式的两侧呈现同构特征(指除了变量不同，其余地方均相同的表达式)，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系，可以比较大小、解不等式、解决不等式恒成立问题、证明不等式等． 命题点1 利用同构法比较大小 例5（25-26高二下·河南信阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【类题演练】 1.（25-26高二下·山东青岛·期中）设，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西榆林·三模）已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·广东广州·期中）设，，，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·广西河池·月考）设，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 命题点2 不等式的恒成立问题 与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 例5（25-26高二下·江西抚州·期中）已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【对点演练】 1.（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知不等式 对任意恒成立，则正数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·重庆·月考）若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $