04函数与导数：含参单调性讨论讲义-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数与导数：含参单调性讨论 函数与导数：含参单调性讨论 1.求单调性的基本流程：知识点解析 （1）求函数的定义域. （2）求函数的导数. （3）令函数的导数等于0，求根. （4）根据的根把定义域分区间，确定不同区间导数的正负，进而由导数的正负确定函数单调性. 2.含参问题的基本讨论点： （1）的根的个数（0个、1个、2个）. （2）的根的意义（自身意义、定义域问题）. （3）的根的大小（多根且能因式分解）. （4）在不同区间的正负. 3.若有两个根且定义域为，需要结合韦达定理进行讨论,对于二次方程： （1）. （2）. （3）若，则方程有两个不相等的正数根. 若，则方程有两个不相等的负数根. 若，则方程有一个正数根与一个负数根. 考点一 讨论根的意义 1．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，. 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，令导数，求根（只有一根）； 步骤3：讨论的根自身是否有意义以及根是否在定义域内； 步骤4：根据根的意义，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 2．（24-25高三上·海南三亚·期末·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）， ①当时，在上单调递增，无递减区间， ②当时，，可得，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上当时，在上单调递增，无递减区间， 当时，在上单调递增，在上单调递减． 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习·节选）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）， 当时，在恒成立，在上单调递增； 当时，令，得，令，得， 在上单调递增，在上单调递减， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 4．（2025·陕西渭南·一模·节选）已知，函数． (1)讨论的单调性： 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）的定义域为， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域为， 若恒成立，在上单调递增． 若时，单调递增； 时，单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 6．（23-24高二下·广东广州·期末·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 【详解】（1）， 当时，在上单调递增， 当时，令得， 当得， 当得， 所以当时，在上单调递增；在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递增. 考点二 讨论根的数量 1．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习·节选）设函数． 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根； 步骤3：根据判别式的正负讨论的根的数量； 步骤4：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 故在处的切线方程为． （2）因为，则， 若，即时，恒成立，故在R上单调递增； 若，即或时， ． 0 0 递增 递减 递增 则在和上为增函数； 在上为减函数． 综上所述，当时，在R上单调递增； 当或时，在和上为增函数； 在上为减函数． 2．（23-24高二下·黑龙江·阶段练习·节选）已知函数 (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）的定义域为，对求导得： ， 令，， （1）若，则，即，所以在上单调递增． （2）若， ①当时，即，则，即，所以在上单调递增． ②当时，即，由，得， 当时，， 当时，， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在 上单调递增， 在上单调递减． 考点三 讨论根的大小 1．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数. 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数可因式分解为的形式，令导数，求根； 步骤3：讨论的两个根的大小； 步骤4：根据根的大小，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得. 当，即时.由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，恒成立，则在上单调递增； 当，即时，由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 2．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)极小值为，极大值为 (2)答案见解析 【详解】（1）. 所以或时，，时，， 则在上递减，在递增， 所以的极小值为，极大值为. （2）， 当时，，所以在上递增， 当时，或时，；时，， 所以在上递增，在上递减， 当时，或时，；时，， 所以在上递增；在上递减． 3．（2025·江西·一模）已知函数． (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以，， 所以，又， 所以所求切线的方程为，即． （2）的定义域为， ， 当时，或． 由，得或，由，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值． 由，解得． 4．（2025·云南昆明·一模）已知函数（）． (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)无极大值，极小值为 (2)答案见解析 【详解】（1）时，，定义域为， ，由得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以有极小值，无极大值，极小值为； （2）， ①当时，，， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减； ②当时，，，， ， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增； ③当时，，在上单调递增； ④当时，，，， 时，，，，单调递增， 时，，，，单调递减， 时，，，，单调递增； ⑤当时，， 时，，，单调递减， 时，，，单调递增. 5．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 【答案】(1). (2)见解析 【详解】（1）当，， 所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）因为， 所以. 当时，，令，得， 令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，令，解得或. 当时，，所以在上单调递增. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，令，解得或， 令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时， 在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 6．（2024·广东佛山·一模·节选）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为， 所以，，则， 所以函数在处的切线方程为； （2）函数的定义域为， 且， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，则当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，则当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 考点四 讨论根的大小与根的意义 1．（24-25高三上·天津河北·期末·多选）已知函数（）. 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数可因式分解为的形式，令导数，求根； 步骤3：讨论的两个根的大小，以及是否在定义域内； 步骤4：根据根的大小以及是否在定义域内，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)， (2)答案见解析 【详解】（1），则． 曲线在点处的切线方程为， 则，解得， 由，解得， （2），其中，函数定义域为， 则， 令，解得或， 若，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 若，则当时，，单调递减， 当和时，，单调递增， 若，则在上恒成立，单调递增， 若，则当时，，单调递减， 当和时，，单调递增， 综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为， 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间， 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，()． (1)若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）， 由题意可得，解得； （2），， 当时，若，则，若，则， 故在上单调递增，上单调递减； 当时，若，则， 若，则， 故在、上单调递增，上单调递减； 当时，则， 故在上单调递增； 当时，若，则， 若，则， 故在和上单调递增，上单调递减； 综上所述：若，则在上单调递增，上单调递减； 若，则在、上单调递增，上单调递减； 若，则在上单调递增； 若，则在、上单调递增，上单调递减. 3．（24-25高三下·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）由题意知的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，由，得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在单调递减，在单调递增. ①当，即时，在单调递减， 当时，有最小值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，有最小值； ③当，即时，在上单调递增， 当时，有最小值； 综上：. 4．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)（或） (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 从而， 故所求切线方程为，即（或）. （2）由题意可得的定义域为. 当，即时， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 当，即时，恒成立，则在上单调递增. 当，即时， 由，得或，由，得， 则在上单调递减，在和上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 5．（24-25高三上·辽宁大连·期中·节选）已知函数，，. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在，上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 所以时，的递减区间是，递增区间是； 时，的递增区间是，无递减区间； 时，的递增区间是和，递减区间是； 时，的递增区间是和，递减区间是. 6．（2025·江西·一模·多选）已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，. （2）因为，其中， 则， 当时，即当时，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，即当时， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数的增区间为，无减区间；当时，即当时， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为、，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 考点五 讨论根的数量与根的意义 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习·节选）已知函数. 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根； 步骤3：根据判别式的正负讨论的根的数量； 步骤4：确定根的数量之后，用求根公式写出根的表达式，进而利用韦达定理确定根的正负； 步骤5：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 ※已知二次方程有两个不相等的实数根、. (1)若，则且. (2)若，则且. (3)若，则. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）函数的定义域是. 因为，则. ①当即时，，， 此时，函数的增区间为，无减区间； ②当即时，由得，. 若，，时， 此时，函数的增区间为，无减区间； 若，， 当时，，当时， 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述，时，的增区间为，无减区间； 时，的减区间为，增区间为. 2．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期末·节选）已知函数 (1)当时， 求曲线的斜率为1的切线方程； (2)讨论的单调性； 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，其中 【详解】（1）当时，，求导可得， 设在处的切线斜率为1，所以， 整理得，解得，所以，所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）对求导得， 令， ①当时，，，故在上单调递增， ②当时，，的两根都小于零，在上，， 故在上单调递增， ③当时，，的两根为正数， 当时，；当时，；当时，； 故分别在上单调递增，在上单调递减.时，上单调递增， 综上所述：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，其中. 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）由题意得的定义域为， . ①当时，， 所以，在上单调递增. ②当时，， 由解得， 故在上单调递减，在 上单调递增，在上单调递减. ③当时，， 可得，所以在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减. 4．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)或； (2)答案见解析 【详解】（1）由于，则， 点在上， 故； 又，则， 则，解得或； （2）由题意得的定义域为， 则， 令， 当时，即，所以在上单调递减； 当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，的根为， 由于，即， 当或时，， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. 当时，在上单调递增； 5．（2025高三上·山东聊城·一模·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【详解】（1）的定义域为. 求导可得：. 令，其判别式. 当，即时，因为，所以，则，所以在上单调递增. 当，即或时，方程的两根为，.(根同号)，. 因为，当时，，则，，此时，，在上单调递增. 当时，，则，，且， 此时在和上，，，单调递增； 在上，，，单调递减. 综上所得， 当时， 在上单调递增. 当时，在和上单调递增；在上，单调递减. 6．（24-25高三上·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 则曲线在点处的切线斜率为， 因为，所以曲线在点处的切线方程为． （2）的定义域为． 当时，． 令，则在上单调递减，在上单调递增， 因此，的最小值为 当时，则，此时，在上单调递增， 当时，令，得． 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增 综上，当时，在上单调递增，当时， 在上单调递增， 在上单调递减． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：含参单调性讨论 函数与导数：含参单调性讨论 1.求单调性的基本流程：知识点解析 （1）求函数的定义域. （2）求函数的导数. （3）令函数的导数等于0，求根. （4）根据的根把定义域分区间，确定不同区间导数的正负，进而由导数的正负确定函数单调性. 2.含参问题的基本讨论点： （1）的根的个数（0个、1个、2个）. （2）的根的意义（自身意义、定义域问题）. （3）的根的大小（多根且能因式分解）. （4）在不同区间的正负. 3.若有两个根且定义域为，需要结合韦达定理进行讨论,对于二次方程： （1）. （2）. （3）若，则方程有两个不相等的正数根. 若，则方程有两个不相等的负数根. 若，则方程有一个正数根与一个负数根. 考点一 讨论根的意义 1．（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，. 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，令导数，求根（只有一根）； 步骤3：讨论的根自身是否有意义以及根是否在定义域内； 步骤4：根据根的意义，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 2．（24-25高三上·海南三亚·期末·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 3．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习·节选）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； 4．（2025·陕西渭南·一模·节选）已知，函数． (1)讨论的单调性： 5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习·节选）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 6．（23-24高二下·广东广州·期末·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 考点二 讨论根的数量 1．（24-25高三上·山西晋中·阶段练习·节选）设函数． 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根； 步骤3：根据判别式的正负讨论的根的数量； 步骤4：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性； 2．（23-24高二下·黑龙江·阶段练习·节选）已知函数 (1)讨论函数的单调性； 考点三 讨论根的大小 1．（24-25高三下·广东·开学考试）已知函数. 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数可因式分解为的形式，令导数，求根； 步骤3：讨论的两个根的大小； 步骤4：根据根的大小，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 2．（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 3．（2025·江西·一模）已知函数． (1)当时，求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求当的极大值等于时，实数的值． 4．（2025·云南昆明·一模）已知函数（）． (1)若，求的极值； (2)讨论的单调性． 5．（24-25高三下·河南新乡·阶段练习）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)试讨论的单调性． 6．（2024·广东佛山·一模·节选）已知函数. (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 考点四 讨论根的大小与根的意义 1．（24-25高三上·天津河北·期末·多选）已知函数（）. 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数可因式分解为的形式，令导数，求根； 步骤3：讨论的两个根的大小，以及是否在定义域内； 步骤4：根据根的大小以及是否在定义域内，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 (1)若曲线在点处的切线方程为，求a和b的值； (2)当时，讨论函数的单调性； 2．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，()． (1)若函数的图象在处的切线平行于x轴，求a的值； (2)讨论的单调性． 3．（24-25高三下·四川内江·阶段练习）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，求函数在的最小值. 4．（24-25高三上·广东湛江·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性. 5．（24-25高三上·辽宁大连·期中·节选）已知函数，，. (1)讨论的单调性； 6．（2025·江西·一模·多选）已知函数， (1)若，求函数的最小值； (2)设函数，讨论函数的单调性； 考点五 讨论根的数量与根的意义 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习·节选）已知函数. 步骤1：确定函数的定义域为； 步骤2：求导，且导数为不可因式分解的二次函数的形式，令导数，求根； 步骤3：根据判别式的正负讨论的根的数量； 步骤4：确定根的数量之后，用求根公式写出根的表达式，进而利用韦达定理确定根的正负； 步骤5：根据根的数量，分区间讨论导数的正负，进而讨论函数的单调性。 ※已知二次方程有两个不相等的实数根、. (1)若，则且. (2)若，则且. (3)若，则. (1)讨论函数的单调性； 2．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期末·节选）已知函数 (1)当时， 求曲线的斜率为1的切线方程； (2)讨论的单调性； 3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 4．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 5．（2025高三上·山东聊城·一模·节选）已知函数. (1)讨论的单调性； 6．（24-25高三上·山西晋城·期末）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论的单调性． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$