期末复习核心考点讲义 导数的几何意义与函数的单调性、极值与最值-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

专题1 导数几何意义与函数单调性、极值与最值【讲*人教A版】 【必备知识】 几何意义： 函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间t的导数）.相应地，切线方程为. 【考向归类】 考向一： 导数与切线方程 【典例1】（24-25高二下·天津和平·期中）过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为 . 【答案】 【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为， 且设和的切点为， 因为，所以，由导数的几何意义得， 则切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则切线方程为， 设和的切点为，且， 由斜率的几何意义得，解得，代入中，得到切点为，代入中，得到，解得. 故答案为：. 【备考提醒】 1.导数的几何意义是曲线的切线斜率；反过来，在曲线上取定一点作曲线的切线时，能根据切线判断斜率的符号，即导数的符号，进而根据符号确定在该点附近曲线的升降情况（或函数的增减情况）.同时可以根据切线倾斜程度的大小，判断此曲线升降的快慢情况. 2.函数在处导数的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，据此可求曲线的切线方程. 【举一反三】 （24-25高二下·广东东莞·期中） 1．已知曲线在处的切线方程是，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据切点在切线上，得到，由导数几何意义得到，相加得到答案. 【详解】切点在上，故， 由导数几何意义得到，所以. 故选：D （24-25高二下·广东清远·期中） 2．已知，则过点且与相切的直线方程为 . 【答案】或 【分析】方法1：根据导数的几何意义，可求出切线的斜率，由点斜式写出直线方程；方法2：设切线方程为，与抛物线方程联立，利用求出可得答案. 【详解】方法1：，设切点为，切线的斜率， 得，，两式联立方程解得或5， 时，， 此时切线方程， 时，， 此时切线方程， 即或. 方法2：由题意切线的斜率存在，设为， 切线方程为， 与抛物线方程联立，，整理得 ， 由得或， 切线方程为或， 即或. 故答案为：或. 考向二：切线与距离最值 【典例2】（24-25高二下·安徽池州·期中）点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【详解】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小， 求导得，令，解得或（舍去）， 当时，，即， 由点到直线的距离公式可求得点到直线的距离为. 故选：C. 【备考提醒】 两曲线上的动点间距离问题，通常转化为两条切线平行，进而转化为求两平行线间的距离问题. 【举一反三】 （24-25高二下·重庆·阶段练习） 3．已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求出切点坐标，求点到直线的距离的最小值等价于求斜率为3的切线的切点到直线的距离，最后利用平行线间的距离公式计算即可． 【详解】函数的定义域为，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 作出和的图象如图： 令，可得，（舍去）， 所以曲线上斜率为3的切线的切点为， 该切线方程为，与直线平行， 两平行线间的距离即为到直线的距离， 即的最小值即为． 故选：A． （24-25高二下·浙江·期中） 4．动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先求得过曲线上的某点且与直线平行的切线方程，再将的最小值转化为两平行直线的距离，即可得到结果. 【详解】设过曲线上的点的切线方程与直线平行， 则，所以，解得或（舍）， 即，则切点为， 切线方程为，化简可得， 则的最小值即为切线与直线的距离， 所以. 故选：C 【必备知识】 1.函数的单调性与导数的关系 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数； 在上为减函数.2.函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 【考向归类】 考向一：利用导数求函数单调性（或单调区间） 【典例1】（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数. （1）若，求函数的极值点； （2）讨论的单调性. 【思路引导】（1）由函数解析式求导，令导数等于零，根据导数与零的单调关系，结合函数极值的定义，可得答案； （2）根据函数解析式求导，并对导数分解因式，结合二次函数的性质以及导数与函数单调性的关系，可得答案. 【详解】（1）当时，函数，求导得， 令，则，列表有 1 + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以的极大值点为，极小值点为1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在（0，1）上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，，递减区间为. 【备考提醒】 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，应做到“不重不漏”； 2.确定函数的单调区间时，一要在函数定义域内讨论，二还要确定导数为零的点和函数的间断点； 3.要对分类讨论后的结论进行整合，体现“分类与整合”的数学思想. 【举一反三】 （24-25高二下·江西宜春·期中） 5．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导数，再利用导数求函数的单调减区间即可. 【详解】由，当，得， 所以的单调递减区间为． 故选：B （24-25高二下·湖北武汉·阶段练习） 6．已知函数. (1)若，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）当时，求出、，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间. 【详解】（1）当时，，所以，则，， 故当，函数在的切线方程为，即. （2）因为，其中， 当时，，由得；由得. 当时，令， 令得，， 当时，由得；由得. 当，即时，由得； 由得. 当，即时，对任意的恒成立； 当，即时，由得， 由得. 综上，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 考向二：已知单调性（或单调区间）求参数 【典例1】（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】D 【详解】函数的定义域为，当时，恒成立， 即，构造函数，则， 所以，函数在区间上为增函数， 则对任意的恒成立，所以， 令，其中，则. 因为，所以函数在上单调递减； 又，所以. 因此，实数的取值范围是. 故选：D 【备考提醒】 根据单调性确定参数： 1.若在区间上单调递增（减），则在区间上恒成立； 2.若在区间上存在单调递增（减）区间，则在区间上有解. 【举一反三】 （24-25高二下·湖北武汉·阶段练习） 7．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解表达式的最小值，然后推出的范围，结合选项即可判断． 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意． 故选：CD. （24-25高二下·江苏南京·期中） 8．若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导，化为在区间上有解，再应用参变分离或二次函数性质研究不等式能成立，求参数范围. 【详解】由，则． 函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 方法一：即在区间上有解，所以． 令，则， 令在上单调递增，所以，即， 所以． 方法二：当时，在恒成立，不符合； 当时，开口向上，只需或，所以． 故选：D 【必备知识】 如图，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，； 而且在点附近的左侧，右侧. 类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，； 而且在点附近的左侧，右侧. 我们把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【考向归类】 考向一：利用求函数极值（或极值点） 【典例1】（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知实数，函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）记为的导函数，试讨论的极值点的个数. 【思路引导】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，设，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为实数，函数，该函数的定义域为， ， 令，则， 令，则， 对于方程，， 设函数的两个零点分别为、，且， 由韦达定理可得，，必有，， 由可得，由可得或， 所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为， 因为，， 所以，，则， 所以函数在内有且只有一个异号零点， 当时，；当时，， 所以函数在区间、上各有一个异号零点， 综上所述，函数的极值点个数为. 【备考提醒】 1.研究含参数的函数的极值（或极值点），要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，应做到“不重不漏”； 2.确定函数的极值（或极值点），一要在函数定义域内讨论，二还要确定导数为零的点和函数的间断点； 3.要对分类讨论后的结论进行整合，体现“分类与整合”的数学思想. 【举一反三】 （24-25高二下·安徽合肥·期中） 9．已知函数的图象关于原点对称. (1)求的值； (2)求函数的极值点. 【答案】(1)； (2)极大值点为，极小值点为 【分析】(1)根据的图象关于原点对称得到是奇函数，利用可求得 (2)由可得.先求导后列出表格，得到极值点. 【详解】（1）由题可知定义域：. 因为函数为奇函数，所以， 即，解得. （2）由（1）得： 当时，因为，所以. 令，解得. ，变化情况如下表： - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以在上单调递减，在上单调递增. 故当时，有极小值，并且极小值为 又因为为奇函数，所以在上单调递增，在上单调递减. 故当时，有极大值，并且极大值为. 综上：有极大值点，极小值点 （24-25高二下·北京大兴·期中） 10．已知函数. (1)若，求a的值； (2)设，讨论函数的极值点个数； (3)若在区间上存在极值，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）求出导数，利用给定导数值求出. （2）利用导数分类探讨函数的单调性，进而确定极值点个数. （3）利用（2）的结论，列出不等式求解. 【详解】（1）函数，求导得， 因为，所以. （2）由（1）知，令，而，则， ①当时，即，此时，则， 所以在上单调递增，无极值点； ②当时，即，有两个不等的实根，， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此是的极大值点，是的极小值点， 所以当时，没有极值点；当时，有2个极值点. （3）若在区间上存在极值，由（2）知，，解得， 所以a的取值范围是. 考向二：已知函数极值（或极值点）求参 【典例2】（24-25高二下·贵州黔东南·期中）若函数有极值，则a的取值可能是（ ） A.    B.    C.1    D.2 【答案】AD 【分析】根据有两个不相等实数根，即可根据判别式求解. 【详解】， 若有极值，则有两个不相等实数根， 则，则， 故AD符合，BC不符合， 故选：AD 【备考提醒】 已知极值情况求参数问题时要注意： 1.是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验； 2.若函数在区间内有极值，那么在内一定不是单调函数，反之，若函数在某区间上单调，则函数没有极值. 【举一反三】 （24-25高二下·广东清远·期中） 11．函数的极小值点和极大值点分别为，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求出导函数，根据极值点的概念及二次函数零点分布列不等式得，，，逐项判断即可. 【详解】， 由题可得，是方程的两根， 又，分别为的极小值点和极大值点，且， 则由二次函数的性质可知，所以，，， 所以，，所以A、B、D正确； 无法判断与0的大小关系，C错误. 故选：ABD. （24-25高二下·湖北武汉·阶段练习） 12．若函数在上有极大值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对函数求导，设，利用对勾函数性质求出单调性和最值，根据极大值的概念结合对勾函数的性质可得实数的取值范围． 【详解】由题意， 因为函数在上有极大值， 所以在内有解，且该解两侧导函数符号由正变负， 所以在内有解，记， 由对勾函数单调性可知，在上单调递减，在上单调递增；且， 所以，此时在有解，在解左侧满足，右侧， 满足极大值条件，所以. 故答案为： 【必备知识】函数在闭区间上的最值的求法 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 1.求函数在区间上的极值； 2.将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【考向归类】 考向一：利用导数求函数最值 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数. （1）若直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）求在区间上的最大值. 【思路引导】（1）设切点坐标为，写出切线方程，对比所给切线方程即可求解； （2）求导，对分类讨论得到函数在上的单调性，进一步得最大值. 【详解】（1）由题意知，， 设曲线上一点，则， 曲线的过点的切线斜率为， 于是曲线在点处的切线方程为， 即， 又直线是曲线的一条切线， 所以. 令， 则， 所以在上单调递减， 由于，所以方程有唯一解， 因此的解为， 代入，得. （2）易知在上单调递增， 当时，，在上，所以在上单调递增，的最大值为； 当时，，在上，所以在上单调递减，的最大值为； 当时，，，存在，使得， 当时，，当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以的最大值是或， 当时，，所以的最大值为； 当时，，所以的最大值为； 当时，，所以的最大值为. 因此，当时，的最大值为；当时，的最大值为. 【备考提醒】 1.函数在闭区间上的最值的求法 ①求； ②求函数在区间上的极值； ③将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2.含参函数在区间上的最值通常有两类： ①是动极值点定区间； ②是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论. 【举一反三】 （24-25高二下·浙江绍兴·期中） 13．已知函数，其图象上点处的切线的斜率是-4. (1)求实数，的值； (2)求在区间上的最小值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义得，求解即可； （2）利用导数知在和上递增，在上递减，所以. 【详解】（1）， 所以由已知得， 解得，. （2）由（1），， 令，则或，令，则， 所以在和上递增，在上递减， 所以 （2025·甘肃白银·二模） 14．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】由已知和函数的性质，若，则和都是增函数，它们的解相同，可得，即，代入构造函数，利用导数即可求得的最小值，即为答案. 【详解】函数的定义域为，函数是增函数，且， 当时，，不合题意，故，函数是增函数， 令，得，由题意， 并结合，的图象， 则，即， 则，设，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，即的最小值为． 故选：D. 考向二：已知函数最值求参 【典例2】（2025·河北·三模）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【思路引导】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类求出单调区间，再结合区间及最小值讨论求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减， ，解得，无解； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，满足，则； ②当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，无解. 所以. 【备考提醒】 1.已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值.结合已知求出参数，进而使问题得以解决.要注意极值点是否在区间内； 2.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解. 【举一反三】 （24-25高二下·天津·期中） 15．已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【答案】## 【分析】求导，分、和三种情况讨论的符号，进而可得的单调性和最值，结合题意运算求解即可. 【详解】因为，，则， 若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意； 若，则，可知在内单调递减， 则在内最小值为，解得，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内最小值为，解得； 综上所述：. 故答案为：. （2025·福建三明·三模） 16．已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】求定义域，求导，，令，分，，，和五种情况，得到函数单调性，进而确定实数a的取值范围. 【详解】的定义域为R， ， 令， 若，则，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，， 若，则，此时， 其中，， 当且时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，即时，恒成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故存在最大值，不存在最小值，舍去； 若，则或， 当时，设的两根为， 开口向上，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 即为的最小值，故满足要求； 当时，设的两根为 开口向下，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 当趋向于时，趋向于，不存在最小值， 综上， 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 导数几何意义与函数单调性、极值与最值【讲*人教A版】 【必备知识】 几何意义： 函数在点处的导数的几何意义是在曲线上点处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数对时间t的导数）.相应地，切线方程为. 【考向归类】 考向一： 导数与切线方程 【典例1】（24-25高二下·天津和平·期中）过原点的直线与及的图象都相切，则实数的值为 . 【答案】 【详解】因为切线方程过原点，所以设切线方程为， 且设和的切点为， 因为，所以，由导数的几何意义得， 则切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则切线方程为， 设和的切点为，且， 由斜率的几何意义得，解得，代入中，得到切点为，代入中，得到，解得. 故答案为：. 【备考提醒】 1.导数的几何意义是曲线的切线斜率；反过来，在曲线上取定一点作曲线的切线时，能根据切线判断斜率的符号，即导数的符号，进而根据符号确定在该点附近曲线的升降情况（或函数的增减情况）.同时可以根据切线倾斜程度的大小，判断此曲线升降的快慢情况. 2.函数在处导数的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，据此可求曲线的切线方程. 【举一反三】 （24-25高二下·广东东莞·期中） 1．已知曲线在处的切线方程是，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 （24-25高二下·广东清远·期中） 2．已知，则过点且与相切的直线方程为 . 考向二：切线与距离最值 【典例2】（24-25高二下·安徽池州·期中）点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】C 【详解】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小， 求导得，令，解得或（舍去）， 当时，，即， 由点到直线的距离公式可求得点到直线的距离为. 故选：C. 【备考提醒】 两曲线上的动点间距离问题，通常转化为两条切线平行，进而转化为求两平行线间的距离问题. 【举一反三】 （24-25高二下·重庆·阶段练习） 3．已知点在曲线上，点在 直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D． （24-25高二下·浙江·期中） 4．动直线分别交直线和曲线于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【必备知识】 1.函数的单调性与导数的关系 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0. 在上为增函数； 在上为减函数.2.函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”. 【考向归类】 考向一：利用导数求函数单调性（或单调区间） 【典例1】（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数. （1）若，求函数的极值点； （2）讨论的单调性. 【思路引导】（1）由函数解析式求导，令导数等于零，根据导数与零的单调关系，结合函数极值的定义，可得答案； （2）根据函数解析式求导，并对导数分解因式，结合二次函数的性质以及导数与函数单调性的关系，可得答案. 【详解】（1）当时，函数，求导得， 令，则，列表有 1 + 0 - 0 + 递增 极大值 递减 极小值 递增 所以的极大值点为，极小值点为1. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在（0，1）上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，，递减区间为. 【备考提醒】 1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，应做到“不重不漏”； 2.确定函数的单调区间时，一要在函数定义域内讨论，二还要确定导数为零的点和函数的间断点； 3.要对分类讨论后的结论进行整合，体现“分类与整合”的数学思想. 【举一反三】 （24-25高二下·江西宜春·期中） 5．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． （24-25高二下·湖北武汉·阶段练习） 6．已知函数. (1)若，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性. 考向二：已知单调性（或单调区间）求参数 【典例1】（24-25高二下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A.    B.    C.    D. 【答案】D 【详解】函数的定义域为，当时，恒成立， 即，构造函数，则， 所以，函数在区间上为增函数， 则对任意的恒成立，所以， 令，其中，则. 因为，所以函数在上单调递减； 又，所以. 因此，实数的取值范围是. 故选：D 【备考提醒】 根据单调性确定参数： 1.若在区间上单调递增（减），则在区间上恒成立； 2.若在区间上存在单调递增（减）区间，则在区间上有解. 【举一反三】 （24-25高二下·湖北武汉·阶段练习） 7．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． （24-25高二下·江苏南京·期中） 8．若函数在上存在单调递增区间，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【必备知识】 如图，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，； 而且在点附近的左侧，右侧. 类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，； 而且在点附近的左侧，右侧. 我们把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 【考向归类】 考向一：利用求函数极值（或极值点） 【典例1】（24-25高二下·浙江杭州·期中）已知实数，函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）记为的导函数，试讨论的极值点的个数. 【思路引导】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）求得，设，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为实数，函数，该函数的定义域为， ， 令，则， 令，则， 对于方程，， 设函数的两个零点分别为、，且， 由韦达定理可得，，必有，， 由可得，由可得或， 所以函数的单调递增区间为、，单调递减区间为， 因为，， 所以，，则， 所以函数在内有且只有一个异号零点， 当时，；当时，， 所以函数在区间、上各有一个异号零点， 综上所述，函数的极值点个数为. 【备考提醒】 1.研究含参数的函数的极值（或极值点），要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，应做到“不重不漏”； 2.确定函数的极值（或极值点），一要在函数定义域内讨论，二还要确定导数为零的点和函数的间断点； 3.要对分类讨论后的结论进行整合，体现“分类与整合”的数学思想. 【举一反三】 （24-25高二下·安徽合肥·期中） 9．已知函数的图象关于原点对称. (1)求的值； (2)求函数的极值点. （24-25高二下·北京大兴·期中） 10．已知函数. (1)若，求a的值； (2)设，讨论函数的极值点个数； (3)若在区间上存在极值，求实数a的取值范围. 考向二：已知函数极值（或极值点）求参 【典例2】（24-25高二下·贵州黔东南·期中）若函数有极值，则a的取值可能是（ ） A.    B.    C.1    D.2 【答案】AD 【分析】根据有两个不相等实数根，即可根据判别式求解. 【详解】， 若有极值，则有两个不相等实数根， 则，则， 故AD符合，BC不符合， 故选：AD 【备考提醒】 已知极值情况求参数问题时要注意： 1.是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验； 2.若函数在区间内有极值，那么在内一定不是单调函数，反之，若函数在某区间上单调，则函数没有极值. 【举一反三】 （24-25高二下·广东清远·期中） 11．函数的极小值点和极大值点分别为，，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． （24-25高二下·湖北武汉·阶段练习） 12．若函数在上有极大值，则实数的取值范围是 . 【必备知识】函数在闭区间上的最值的求法 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. 1.求函数在区间上的极值； 2.将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 【考向归类】 考向一：利用导数求函数最值 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数. （1）若直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）求在区间上的最大值. 【思路引导】（1）设切点坐标为，写出切线方程，对比所给切线方程即可求解； （2）求导，对分类讨论得到函数在上的单调性，进一步得最大值. 【详解】（1）由题意知，， 设曲线上一点，则， 曲线的过点的切线斜率为， 于是曲线在点处的切线方程为， 即， 又直线是曲线的一条切线， 所以. 令， 则， 所以在上单调递减， 由于，所以方程有唯一解， 因此的解为， 代入，得. （2）易知在上单调递增， 当时，，在上，所以在上单调递增，的最大值为； 当时，，在上，所以在上单调递减，的最大值为； 当时，，，存在，使得， 当时，，当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以的最大值是或， 当时，，所以的最大值为； 当时，，所以的最大值为； 当时，，所以的最大值为. 因此，当时，的最大值为；当时，的最大值为. 【备考提醒】 1.函数在闭区间上的最值的求法 ①求； ②求函数在区间上的极值； ③将函数的各极值与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2.含参函数在区间上的最值通常有两类： ①是动极值点定区间； ②是定极值点动区间，这两类问题一般根据区间与极值点的位置关系来分类讨论. 【举一反三】 （24-25高二下·浙江绍兴·期中） 13．已知函数，其图象上点处的切线的斜率是-4. (1)求实数，的值； (2)求在区间上的最小值. （2025·甘肃白银·二模） 14．设函数，若，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 考向二：已知函数最值求参 【典例2】（2025·河北·三模）已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【思路引导】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类求出单调区间，再结合区间及最小值讨论求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递减， ，解得，无解； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， ①当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，满足，则； ②当，即时，在上单调递减， 则，解得，不满足，无解. 所以. 【备考提醒】 1.已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值.结合已知求出参数，进而使问题得以解决.要注意极值点是否在区间内； 2.当函数多项式的次数大于2或用传统方法不易求最值时，可考虑用导数的方法求解. 【举一反三】 （24-25高二下·天津·期中） 15．已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . （2025·福建三明·三模） 16．已知函数存在最小值，则实数a的取值范围为 . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$